Практическое задание: Теория погрешностей

Наименьшее целое число, удовлетворяющее последнему неравенству, равно

Убедимся в том, что номер  найден верно (учтем 6 знаков после запятой):

Первая часть задачи решена.

. Теоретический материал

Пусть  - точное значение,  - приближенное значение некоторой величины.

 1) Абсолютной погрешностью приближенного значения  называется величина .

) Относительной погрешностью значения  (при  называется величина .

 Так как значение  (как правило) неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида:

При этом величины  и  называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.

 Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Нас интересует значение суммы  бесконечно убывающей геометрической прогрессии . Приближённое значение этой суммы даёт её -ая частичная сумма  Абсолютную погрешность такого приближения найдём по формуле

. Результаты вычислительного эксперимента значение частичной величина абсолютной количество верных суммы ряда  погрешности значащих цифр

  0

   1

   4

  14

Так как по условию результат должен содержать 9 верных цифр, то величина абсолютной погрешности не должна превышать значения . Для определения наименьшего значения  проведем дополнительные эксперименты:

   8

   8

  8

  9

Наконец, вычислим относительную погрешность найденного результата:

. ОТВЕТ

) номер  первого из членов заданной прогрессии, для которого, равен  

) при этом

) сумма геометрической прогрессии, вычисленная по аналитической формуле, равна

) частичная сумма  дает 9 верных значащих цифр;

) относительная погрешность этого значения равна

Приложение 1.С

Задача 1.3.0. Задана функция . Требуется вычислить значение функции в точкеи исследовать

поведение погрешностей в зависимости от погрешности аргумента.

Пусть определитель матрицы имеет вид: . Тогда, раскрывая определитель, получим

следующий вид функции: . Вычислим определитель в точке : . Для получения теоретической оценки учтем, что , то есть погрешность аргумента  для данного варианта равно 0.5. Производная функции монотонно убывает, поэтому (см график).

Таким образом, теоретическая оценка получена: . Сравним теоретическую оценку с погрешностью, полученной с помощью вычислительного эксперимента.

,

, .

Получено хорошее соответствие с теоретической оценкой. Заметим, что величина относительной погрешности невелика, например, в последнем эксперименте: .

погрешность аргумент прогрессия

Литература

1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копчёнова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. - М.: Высшая школа, 1994.