Проблема агрегирования возникает в том случае, когда m экспертов оценивают вероятности на одном множестве событий. Существуют различные подходы к решению этой задачи:
индивидуальные оценки рассматриваются как случайные величины на одном и том же вероятностном пространстве. Групповая вероятность представляет собой условную вероятность события 51 в предположении, что индивидуальные оценки равны Р1,Рт;
в методе взвешенной суммы групповая вероятность находится по формуле:
Р1= W1 x PX + ... +Wm x Pm,
где Wi - это веса (коэффициенты компетентности), приписанные эксперту i. Если оценки Pi являются несмещенными, то веса можно принимать так, чтобы минимизировать дисперсию величины Р1. На практике веса следует выбирать на основе анализа оценок экспертов, полученных во время предыдущих экспертиз;
в подходе, основанном на методе Делфи, субъективные вероятности, представленные экспертами, доводятся до сведения всех экспертов, после чего эксперты вновь сообщают свои вероятности. Таким образом выполняется итеративная процедура, которая позволяет каждому отдельному эксперту скорректировать свои оценки после ознакомления с оценками остальных [130].
Рассмотрим следующую постановку задачи.
Задано множество S возможных детерминированных исходов (последствий). В роли этого множества чаще всего выступает множество значений скалярного или векторного критерия, при помощи которого оценивается эффективность (качество и т.п.) вариантов решений (стратегий, планов, альтернатив и т.д.). Достигаемый исход зависит не только от реализуемого варианта решения, но и от того, какое значение примут неопределенные (случайные) факторы, распределения вероятностей которых известны. Поэтому удобно полагать, что каждому варианту решения из допустимого множества ставится в соответствие некоторая вероятностная мера, заданная на множестве S (например, распределение вероятностей или плотность вероятности). Принимающий решение должен выбрать наилучший вариант из множества S или, что эквивалентно, сделать выбор на множестве соответствующих элементам этого подмножества вероятностных мер.
Известны два основных подхода к принятию решений при риске:
базирующийся на применении так называемых объективных критериев выбора (привлечение различных моделей стохастического программирования, применение критериев типа математического ожидания, дисперсии и т.д.);
основанный на получении и использовании информации субъективного характера - сведений о структуре предпочтений (лицо, принимающее решение (ЛПР)), в том числе о его отношении к риску.
Как показывают многочисленные исследования, методы, реализующие первый подход, менее надежны, поскольку зачастую неадекватно описывают ситуацию. Например, два действия, характеризуемые одинаковым математическим ожиданием выигрыша, для ЛПР могут не быть равноценными. Поэтому далее будем рассматривать субъективный подход к принятию решений при риске. Среди методов этого подхода наиболее распространены и обоснованы те, которые опираются на аксиоматические построения: предпочтения формализуются с помощью некоторой модели, и формулируются условия, обеспечивающие ее существование. Важным направлением в развитии таких методов служит теория полезности, основанная на представлении структуры предпочтений ЛПР посредством одной или нескольких вещественных функций [36].
Впервые условия, необходимые и достаточные для представления предпочтений ЛПР на множестве вероятностных мер с помощью линейной вещественно значимой функции, так называемой функции полезности, были получены Нейманом и Моргенштерном в 1947 году. В настоящее время принято разделять эти условия на две группы.
Условия из первой группы касаются множества всех рассматриваемых вероятностных мер и в современной литературе просто включаются в определение этого множества, называемого множеством вероятностных смесей. Вторая группа условий касается описания отношения предпочтения на множестве смесей - именно она известна сейчас как система аксиом Неймана-Моргенштерна, или аксиом классического представления полезности. Оценивается лотерея L:
р(А) + (1 -Р)(В),
где: А - выигрыш с вероятностью р, В - выигрыш с вероятностью (1 -р).
Чтобы определить величину полезности, отражающую отношение индивида к какому-либо выигрышу X, мы его спрашиваем или наблюдаем за его поведением; в этом случае мы устанавливаем, при какой вероятности р' ему безразлично, что выбрать - стандартный лотерейный билет L(p') или X. Оценка полезности U сводится к определению полезности U(L(p')) на основе выражения, сформулированного Нейманом и Моргенштерном. Кроме того, Нейман и Моргенштерн постулировали пять аксиом, достаточных, чтобы гарантировать существование такой функции полезности, при которой ранжирование лотерей по их ожидаемой полезности полностью соответствует действительным предпочтениям индивида.
Требование линейности функции полезности в классическом представлении (обеспечиваемое также почти во всех представлениях, разработанных позднее) связано с его применением для решения практических задач. Дело в том, что при выполнении ряда дополнительных предположений условие линейности дает возможность выразить функцию полезности на множестве вероятностных смесей в виде математического ожидания ее значений на множестве детерминированных исходов. Это имеет большое практическое значение, поскольку позволяет свести задачу построения функции полезности на множестве смесей к задаче ее построения на множестве исходов. В ряде работ используются понятия детерминированного и вероятностного эквивалентов, на которые опирается большинство известных методов практического построения функции полезности.
Как правило, методы практического построения функции полезности опираются на сравнение простых лотерей. Рассматриваются также вырожденные лотереи, отождествляемые с детерминированными исходами. В связи с этим все методы делятся на два класса: методы, основанные на сопоставлении простой лотереи и детерминированного исхода, и методы, базирующиеся на сопоставлении двух невырожденных простых лотерей. Каждый из этих классов, в свою очередь, распадается на несколько групп. Например, методы простой лотереи предполагают сопоставление лотереи L:p(A) + (1 - р)(В) с детерминированным исходом S. Методы сравнения по предпочтению базируются на определении риска для простой лотереи L и детерминированного исхода S. Существуют два подхода к реализации подобных методов. Один из них включает предварительное исследование отношения к риску и проверке согласованности получаемых значений функции полезности. При этом каждое сравнение по предпочтению задает линейное ограничение на функцию полезности. Таким образом, могут быть получены сколь угодно узкие границы, в которых находится искомая допустимая функция полезности. Второй подход основан на схождении к точке безразличия.
Остальные методы данного класса базируются на определении различного рода эквивалентов. Определение эквивалента заключается в нахождении точки безразличия между лотереей и детерминированным исходом. Существует несколько подходов к оцениванию точки безразличия:
прямая оценка - ЛПР указывает точное значение точки безразличия;
схождение - последовательная корректировка до получения точки безразличия;
метод границ - установление нижних и верхних границ для точки безразличия [118].
Рекомендуется структурировать систему предпочтений при помощи функции многомерной полезности, придерживаясь последовательно пяти перечисленных ниже стадий:
Введение терминологии и основных допущений.
Проверка необходимых условий допущений о независимости.
Построение условных функций полезности.
Нахождение значений констант, задающих масштаб шкалы.
Проверка согласованности.
На первой стадии ЛПР знакомится с программным обеспечением, реализующим аналитическую модель, критериями и их шкалами, а также необходимыми понятиями из теории полезности (лотерея, вероятность, функция полезности, ожидаемая полезность и т.п.), причем объяснения должны быть предельно простыми, сформулированными на понятном ЛПР языке и в то же время достаточно четкими и строгими [152].
Допущение о независимости фактора (критерия) К{ от Kj по полезности проверяется, например, оценкой детерминированных эквивалентов для ряда лотерей, значения которых покрывают достаточно плотно пространство исходов. Если предпочтения оказываются почти одинаковыми для разных фиксированных Kj (о справедливости вывода относительно постоянства можно поинтересоваться у лица, принимающего решение), то проверяемое допущение о независимости можно принять. Прямая проверка взаимонезависимости полезности К{ от Kj затруднена тем, что фактически она включает п факторов разной размерности от их дополнений, и проверить справедливость их всех практически нельзя уже при п - 5. Однако эта проблема резко упрощается при уменьшении размерности независимых переменных.
Вычисление значений констант шкал
Общий подход к решению данной задачи состоит в составлении системы необходимого числа уравнений, содержащих эти константы в качестве неизвестных, путем рассмотрения лотерейных детерминированных эквивалентов, а также неслучайных исходов.
Проверка согласованности
Возможны три подхода к решению рассматриваемой проблемы. Первый основан на проведении попарных сравнений различных последствий. Такого рода проверка повторяется несколько раз, чтобы появилась уверенность в ее результатах. При этом рекомендуется начинать с простых сравнений и постепенно переходить к более сложным. Второй подход заключается в предъявлении лицу, принимающему решение, кривых условно равного предпочтения. Третий связан с выяснением склонности лица, принимающего решение, к риску.
Если в процессе анализа согласованности выявляются противоречия, необходимо повторить соответствующие стадии процедуры построения функции полезности до получения некоторой функции полезности выбранного вида или же перейти к построению функции полезности более общего вида [89].
При обработке рисков информационной безопасности необходим перечень рисков с назначенными приоритетами в соответствии с критериями оценки рисков, касающимися сценариев инцидентов, которые приводят к этим рискам.
Должны быть выбраны меры и средства контроля и управления для снижения, сохранения, предотвращения или переноса рисков, а также определен план обработки рисков.
Для обработки риска имеется четыре варианта: снижение риска, сохранение риска, предотвращение риска и перенос риска.
На рис. 4.1 иллюстрируется деятельность по обработке риска в рамках процесса управления рисками ИБ.
Варианты обработки риска должны выбираться исходя из результатов оценки риска, предполагаемой стоимости реализации этих вариантов и их ожидаемой эффективности.