Материал: тест

IV. Векторная алгебра

4.1. Найдите расстояние между точками A(0, 1,2) и

B(2,1,1) . #

3

4.2. Найдите координаты середины отрезка AB , где

A(1, 2, 4) , B(3, 2, 2) .

(2,0, 1)

4.3. Найдите направляющие косинусы вектора

a { 1, 2, 2}.

cos 1 1/ 3, cos 2 2 / 3, cos 3 2 / 3

.

4.4. Найдите углы наклона вектора a {1, 1, 2} к

осям координат.

1 / 3, 2 2 / 3, 3 / 4 .

4.5. Найдите скалярное произведение векторов a и b , если известно, что | a | 2 , | b | 3, а скалярное произведение

(a b,a 2b) 1.

15

4.6. В каком случае скалярное произведение двух векторов отрицательно?

Если угол между ними тупой.

4.7. Может ли скалярное произведение быть больше произведения длин векторов-сомножителей?

Нет, не может.

4.8. Найдите косинус угла между векторами a { 1,1,1}

иb {2,1, 1}.

2 / 3

4.9. Найдите проекцию вектора a { 2,1,0} на

направление вектора b {2,1, 2}.

–1

4.10. При каком значении векторы a {2,1, } и

b {2, 6, 2} ортогональны?

При 1.

4.11. При каких значениях и векторы a {2,1, }

и b { , 6, 2} будут коллинеарными?

При 1/ 3, 12.

4.12. Выясните, является тройка a {1,1,1},

b {1,0, 2} и c {0,1, 1} правой или левой.

Правой.

4.13. Найдите длину векторного произведения [a,b] , если

| a | 2 , | b | 3 и их скалярное произведение равно

(a,b) 0

6

4.14. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах a {1,1,1}и b {1,0, 2}.

14

4.15. При каком векторы a {1,0,0},

b {1,1, 2}, c {1, ,4} будут компланарными.

При 2.

4.16. Найдите смешанное произведение abc векторов

a {1,0,0}, b {1,1, 2}, c {0,1, 1}.

1

4.17. Найдите объем треугольной пирамиды, построенной на векторах a { 3,0,0}, b {1,1, 2},

c {0,2, 2}.

1

4.18. Найдите вектор, перпендикулярный векторам

a {1, 2,0} и b {1,3, 2} , составляющий тупой

угол с осью ординат и такой, что его длина равна 5 .

#{ 4 / 3, 2 / 3, 5 / 3}

4.19. Найдите координаты вектора M1M 2 , где

M1(2,0, 1) , M2 (3,4, 5) .

#{1,4, 4}

4.20. При каком k векторы 1, k, 3 и 2, 5,4 перпендикулярны?

При k 2.

4.21. Вычислите векторное произведение [a,b] , если

a {4,3,6} и b {2,5, 3}.

39,24,14 .

4.22. Даны векторы a {3, 2,1} , b {5, 3, 4} и

c {1,6, 7}. Вычислите скалярное произведение

(a b)c .

33

4.23. Какой из приведенных ниже векторов ортогонален векторам a {1,3, 4} и b {2, 6, 5}?

9,13, 12 .

4.24. Вычислите углы треугольника ABC с вершинами

A( 3,5,6) , B( 2,7,9) и C(2,1,7) .

A 90 , B 60 , C 30 .

4.25. Упростите векторное произведение a b, a b .

2 b, a

4.26. Вектор x , удовлетворяющий уравнению

x (x,i)i j , равен…

…{0,1,0}.

4.27. Вектор x , удовлетворяющий уравнению x [x,i] j , равен…

… 12 j k .

4.28. Длина векторного произведения векторов

a {0,1, 2} и b { 1,1,0} равна…

…3.

IV-а. Векторная алгебра

4-а.1. Скалярное произведение векторов равно произведению длин векторов-сомножителей, если …

# … угол между векторами равен нулю.

4-а.2. Векторы a b и a b перпендикулярны тогда и только тогда, когда …

# … длины векторов a и b равны.

4-а.3. Пусть a {x,2, 1} и b { 1,3,1} . Скалярное

произведение (a,b) 2 . Тогда …

# … x 7 .

4-а.4. Даны точки A(1,2, 1) и B( 2,4,0) . Тогда

координаты вектора 2AB составляют …

# … { 6,4,2}.

4-а.5. Направляющие косинусы вектора a { 2,3,6} равны …

# …

cos 1 2 / 7, cos 2 3 / 7, cos 3 6 / 7 .

4-а.6. Известно, что | a | 2 , | b | 1, а скалярное произведение (a 3b,a 2b) 1. Тогда скалярное

произведение векторов a и b равно …

# … 3.

4-а.7. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, если …

# … если векторы взаимно перпендикулярны.

4-а.8. Косинус угла между векторами a {3, 2,6} и

b { 1, 2,2} равен …

13

# … 21 .

4-а.9. Проекция вектора a { 7,0,14} на направление

вектора b { 2,6,3} равна …

# … 8.

4-а-.10. Пусть a {3,2,1} и b { 2,4, 3}. Тогда

вектор 2a 3b имеет координаты …

# … {12, 8,11}.

4-а.11. Векторное произведение [a,b] — это …

# … вектор, перпендикулярный векторам a и b .

4-а.12. В результате упрощения векторного произведения [a 5b, 2a 3b] получим

# … 13[a,b].

4-а.13. Векторы a {2, , 2}, b {1,1, } будут коллинеарны …

# … ни при каком .

4-а.14. При перестановке сомножителей в векторном произведении …

# … оно меняет знак.

4-а.15. Площадь треугольника ABC равна 3. Тогда длина векторного произведения [ AB,CA] равна …

# … 6.

4-а.16. Пусть | a | 12 , | b | 5 , их скалярное произведение (a,b) 36. Тогда длина векторного произведения [a,b] равна …

# … 48.

4-а.17. Векторы a { 3, 4, } и b {2, 3,3}

ортогональны при …

# … 6.

4-а.18. Смешанное произведение abc трех взаимно перпендикулярных векторов …

# … равно произведению длин векторов-сомножителей, если тройка b, a,c является левой.

4-а.19. Объем параллелепипеда, построенного на векторах

a { 3,0,0}, b {1,1, 2}, c {0, 2, 2},

равен …

# … 6.

-а.21. Длина векторного произведения векторов

a{ 1, 2,1} и b { 3,1,0} равна …

#… 35 .

4-а.22. Смешанное произведение векторов a {3,1,1},

b{0, 3,0} и c {1, 2, 4} равно …

#… 39.

4-а.23. Вектор x , удовлетворяющий уравнению x [x,k ] i , равен…

# … 12 i j .

4-а.24. Векторы перпендикулярны …

# … при k 2.

4-а.25. Пусть скалярное произведение (a,b) 1, угол

между векторами a и b равен 600 . Тогда скалярный квадрат векторного произведения этих векторов

(т.е. [a,b]2 ) равен …

# …3.

V. Плоскость

5.1. Найдите, при каком значении A плоскость

Ax 2y 3z 0 будет перпендикулярна плоскости

x 3y 2z 6 0.

При A 12 .

5.2. Найдите, при каких A и B плоскости

4x 10z 5 0 и Ax By 5z 1 0

параллельны?

При A 2, B 0.

5.3. Найдите угол между плоскостью

2x y 2z 5 0 и координатной плоскостью

Oxy .

arccos 23

5.4. Найдите расстояние от точки M (0,0,1) до плоскости

2x y 2z 5 0 .

7 / 3

5.5. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки

M1(0,0,1) , M2 (0,1,1) , M3 (1,1, 2) .

x z 1 0

5.6. Найдите плоскость, проходящую через точку M (1,1,0) и прямую пересечения плоскостей

2x y z 0 и x y z 1 0 .

x 2y 1 0

5.7. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку (6,0,2) параллельно плоскости

3x 7 y 5z 1 0 .

3x 7 y 5z 28 0 .

.

5.8. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку A(3, 1,2) перпендикулярно прямой BC , где

B(2,1,4) и C( 3, 1,7) .

5x 2y 3z 7 0 .

5.9. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки

A(2,1,4) , B(1, 1,2) и C(4, 1,1) .

2x 7 y 6z 21 0 .

5.10. Найдите угол между плоскостями

2x 3y 6z 12 0 и x 2y 2z 7 0 .

arccos 218

5.11. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку (1, 5,2) , если нормальный вектор этой плоскости

N {3, 7, 4}.

3x 7 y 4z 46 0 .

5.12. Плоскость Ax By D 0

(A 0, B 0, D 0) …

… параллельна оси Oz .

5.13. Плоскость By Cz D 0 проходит через ось Ox , если…

… D 0 .

Эта плоскость не может проходить через ось Ox .

5.14. Составьте уравнение плоскости, проходящей через

x y z 1 0.

5.15. При каких B и D прямая

B 6, D 27 .

5.16. Составьте уравнение плоскостей, делящих пополам двугранные углы, образованные плоскостями

x 2y 2z 0 и 2x y 2z 4 0.

3x y 4 0 и x 3y 4z 4 0 .

5.17. Найдите расстояние между плоскостями

x 2y 2z 8 0 и x 2y 2z 14 0 .

2

5.18. Найдите объем пирамиды, образованной координатными плоскостями и плоскостью 6x 4y 3z 12 0 .

4

5.19. Найдите нормальный вектор плоскости, проходящей через начало координат и точки (1,1,1) и (2, 1,2) .

{1,0, 1}.

5.20. Определите, как расположены точки A(0,1,1) и

B(1,0,1)

3x y z 2 0.

По разные стороны от плоскости, причем точка A по ту же сторону, что и начало координат.

5.21. Составьте уравнение плоскости, проходящей через

середину отрезка AB перпендикулярно AB , если

A(1,4, 2) , B(3,0,0) .

x 2y z 3 0 .

5.22. Установить, при каком значении A плоскость Ax y z 2 0 будет параллельна плоскости

4x 2y 2z 3 0 ?

Ни при каком.

5.23. Найдите расстояние от начала координат до плоскости

3x 2y 6z 28 0 .

4

5.24. Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно векторам {0,1,0} и

{1,1,1}.

x z 0 .

5.25. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки

(1,0,0) , (0,1,0) параллельно вектору {1,1,1}.

x y 2z 1 0 .

5.26. При каком значении a точки A(2,3,1) ,

B( 1,0,2) , C(1,4, 1) и D(5, 2, a)

принадлежат одной плоскости?

При a 28 / 3.

V-а. Плоскость

5-а.1. Плоскость Ax y 2z 0 будет перпендикулярна плоскости x 2y 4z 1 0 при …

# … A 10 .

5-а.2. Плоскости 2x 3z 4 0 и

Ax By 6z 1 0 параллельны при …

# … A 4, B 0.

5-а.3. Расстояние от точки M (0, 1,0) до плоскости

3x 2y 6z 1 0 равно…

# … 1 / 7 .

5-а.4. Уравнение плоскости, проходящей через точки

M1(0,0,1) , M2 (0,1,0), M3 (1,0, 1) , имеет вид

…

# … 2x y z 1 0 .

5-а.5. Уравнение плоскости, проходящей через точку

(1,2,3) параллельно плоскости x 2y 3z 1 0 , имеет вид …

# … x 2y 3z 14 0 .

5-а.6. Угол между плоскостями

3x 2y 6z 12 0 и 2x y 2z 1 0

равен …

# … arccos 214 .

5-а.7. Уравнение плоскости с нормальным вектором

N { 3,7, 4}, проходящей через точку (1,1,1) , имеет вид …

# … 3x 7 y 4z 0 .

5-а.8. Плоскость Ax By Cz D 0 проходит через ось Oy , если…

# … B 0 и D 0 .

5-а.9. Уравнение плоскости, проходящей через прямую

# … 3x y z 0 .

5-а.10. Расстояние между плоскостями

x 2y 2z 7 0 и 2x 4y 4z 1 0

равно …

# …13 / 6 .

5-а.11. Объем пирамиды, образованной координатными плоскостями и плоскостью 2x y 3z 6 0 , равен

…

# … 6 .