Материал: тест
5-а.12. Точки A(0, 2,3) и B(1, 1,0) расположены относительно плоскости x 2y 3z 2 0 …
# … по одну сторону, противоположную стороне, где лежит начало координат.
5-а.13. Уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно векторам {0,1,1} и { 1,1,1}, имеет вид …
# … y z 0 .
5-а.14. Уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка AB , где A(0,2, 5) , B(4,0,3) ,
перпендикулярно этому отрезку, имеет вид …
# … 2x y 4z 1 0 .
5-а.15. Уравнение плоскости, проходящей через точку
M (1, 1,2) перпендикулярно вектору N {1,0,3}, имеет вид…
# … x 3z 7 0.
VI. Прямая в пространстве
6.1. Какой из указанных ниже векторов является
направляющим вектором прямой |
x 3 |
|
y |
|
|
z 1 |
? |
||||||||
5 |
3 |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
{ 10,6,4}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6.2. Запишите канонические уравнения прямой, если ее |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 t, |
|
|||||
параметрические уравнения имеют вид y |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2t. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
||||||
|
x 1 |
|
y 2 |
|
z 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
6.3. Запишите параметрические уравнения прямой |
|
||||||||||||||
|
x y 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2x y z 1 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x t 1, y t 1, z t .
6.4. При каком значении l прямая |
x 3 |
|
y |
|
|
z 1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t 1, |
|
|
|
|
|
|||||
будет перпендикулярна прямой y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3t 5. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||||||
При l 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6.5. При каких значениях l |
и m прямые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x 3 |
|
|
y |
|
z 1 |
и |
|
x 5 |
|
y 2 |
|
z |
|
||||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
m |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
параллельны? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
При l 2, m 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6.6. Установите взаимное расположение прямых |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x 1, |
|
|
x 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 t, и |
|
|
y t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 2t |
|
3t 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
z |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Прямые скрещиваются. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6.7. При каких значениях A и n прямая |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x 3 |
|
y |
|
z 1 |
|
и плоскость Ax 2y 3z 0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
3 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
будут перпендикулярны?
При A 2 / 3, n 9 / 2.
6.8. Найдите угол между прямой
2x 2y z 4 0.
arcsin(1/ 3) .
|
x 2, |
|
y 4t, и плоскостью |
|
z 3t 1
6.9. Установите взаимное расположение прямой
x t, y t, z t 1 и плоскости
2x y z 1 0?
Прямая лежит в указанной плоскости.
6.10. Найдите расстояние от начала координат до прямой
x 1 |
|
y 2 |
|
z 3 |
. |
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
1 |
|
2 |
||
6 / 5
x y 0, |
|
|
6.11. Найдите расстояние между прямыми |
|
и |
y 1 |
0 |
|
1x 0y 0z .
1
6.12. Составьте канонические уравнения прямой, проходящей через точку (1, 1, 2) перпендикулярно плоскости
3x 2z 5 0 .
x 1 y 1 z 2 .
3 0 2
6.13. В какой точке прямая, проходящая через точки
A(3, 2,7) и B(13,3, 8) , пересекает координатную
плоскость xOz ?
(7,0,1)
6.14. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку (6,0,2) перпендикулярно прямой
x y 2z 4 0,3x 2 y z 1 0.
3x 7 y 5z 28 0 .
6.15. Запишите канонические уравнения прямой
x 3z 5,y 2z 8.
x 5 y 8 z .
3 2 1
6.16. Составьте параметрические уравнения перпендикуляра, проведенного через точку (1,2,3) к плоскости
4x 5y 8z 21 0 .
x 4t 1, y 5t 2, z 8t 3.
6.17. При каком значении p прямая
x 1 y 3 z 2 параллельна плоскости
1 8 p
3x 4y 7z 33 0 ?
При p 5 .
6.18. Составьте канонические уравнения прямой, проходящей через точку (0,1,0) параллельно прямой
x y z 1 0,x y z 1 0.
x y 1 z .
1 1 0
6.19. При каком D прямая
пересекает ось Oz ?
При D 3.
3x y 2z 6 0,x 4 y z D 0
6.20. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A(0,1,2) и B( 1,0,2) .
x t, y t 1, z 2 .
x t 1,
y 2,
6.21. Направляющим вектором прямой
z 3t 5
является вектор…
…{ 1,0,3}.
6.22.Канонические уравнения оси ординат имеют вид…
… 0x 1y 0z .
6.23.Параметрические уравнения медианы AM треугольника ABC , где A(0,0,2) , B( 1,0,2) ,
C(3, 6,2), имеют вид…
x t,
y 3t,
z 2.
6.24. Канонические уравнения прямой, делящей пополам угол между положительными направлениями осей Ox и Oy , имеют вид…
… 1x 1y 0z .
x y 1 0,
6.25.Направляющим вектором прямой
y 2z 3 0
служит вектор…
…{2,2, 1}.
VI-а. Прямая в пространстве
6-а.1. Направляющим вектором прямой
|
x 2 |
|
y 3 |
|
z 1 |
является вектор с координатами |
||
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
5 |
|
3 |
|
|
||
# … {2, 5,3}. |
|
|
|
|
||||
6-а.2. Направляющим вектором прямой |
||||||||
2x y z 2 0, |
|
|
||||||
|
x |
y z |
0. |
является вектор с координатами |
||||
|
|
|
||||||
…
# ... {0,1,1}.
6-а.3. Направляющим вектором прямой
2 y 3z 1 0,
является вектор с координатами …
2x y 5z 0.
# … {7,6,4}.
6-а.4. Направляющим вектором прямой
|
3x z 2 0, |
|
|
|
является вектор с координатами … |
2x y 3z 0. |
|
|
# … {1,11, 3}.
6-а.5. Направляющим вектором прямой
4 y z 5 0, |
|
|
|
x y 4 0. |
является вектор с координатами … |
|
|
|
# … {1, 1, 4}.
6-а.6. Направляющим вектором прямой
7x 2 y 3z 2 0, |
|
|
|
y z 5 0. |
является вектор с |
|
|
|
координатами …
# … { 1,7,7} .
5x z 3 0,
6-а.7. Направляющим вектором прямой
2 y z 1 0.
является вектор с координатами …
# … {2, 5, 10}.
6-а.8. Каноническими уравнениями прямой x t, y t, z t 1 являются …
# … |
x |
|
y |
|
z 1 |
. |
|
|
|
||||
|
1 |
1 |
|
1 |
||
6-а.9. Каноническими уравнениями прямой |
||||||
x 2t 1, y t 2, z t 3 являются …
# … |
x 1 |
|
y 2 |
|
z 3 |
. |
|
2 |
|
1 |
|
||||
|
|
1 |
|
||||
6-а.10. Параметрическими уравнениями прямой
x y 2z 2 0, |
|
|
|
x y 0 |
являются… |
|
|
|
# … x t, y t, z t 1.
6-а.11. Параметрическими уравнениями прямой
x y z 0, |
|
|
|
|
|
||
|
|
являются … |
|
||||
y z 5 0 |
|
|
|
|
|
||
# … x 2t 1, y t 2, z t 3. |
|||||||
6-а.12. Прямая |
x |
|
y |
|
z 1 |
принадлежит плоскости … |
|
|
|
|
|||||
1 |
|
1 |
1 |
|
|
||
# … x y 2z 2 0 . |
|
||||||
x y z 1 0, |
|
||||||
6-а.13. Прямая |
y |
2z 2 0 |
принадлежит |
||||
|
|
||||||
плоскости …
# … x 3z 1 0 . x 2
6-а.14. Прямая
3
перпендикулярна прямой
# … l 1.
|
y 1 |
|
z 1 |
|
будет |
||
|
|
|
|||||
|
|
1 |
l |
|
|||
|
x t, |
|
|
|
|||
|
y 1, |
|
|
|
|||
|
при … |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z 3t 1 |
|
||||||
|
|
|
|
x t 1, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
6-а.15. Прямые y t 2, и |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
z 2t 1 |
||||
|
x 2 |
|
y 1 |
|
z 1 |
… |
||
|
|
|
|
|||||
0 |
1 |
|
|
1 |
||||
# … пересекаются. |
|
|
||||||
|
|
|
|
x t 3, |
||||
|
|
|
|
|
1, перпендикулярна плоскости |
|||
6-а.16. Прямая |
y 2t |
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
z nt |
||||
2x Ay 6z 5 0 при …
# … A 4, n 3.
6-а.17. Расстояние от точки M (0,0,1) до прямой
x y 4 0, |
|
|
|
z 0 |
равно … |
|
|
|
# … 3.
6-а.18. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M (1,1, 3) перпендикулярно плоскости
3x 5y 2 0 , имеют вид …
# … x 1 3t, y 1 5t, z 3.
6-а.19. Прямая x 2 pt, y 1, z 3 2t
параллельна плоскости 3x 4y 6z 3 0 при …
# … p 4.
3x y 2z 6 0, |
|
||
6-а.20. Прямая |
|
|
пересекает ось |
x 4 y z |
D |
0 |
|
Oy при …
# … D 24 .
VIII. Поверхности второго порядка
8.1. При каком значении параметра a эллипсоид
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
1 будет поверхностью вращения вокруг |
a2 |
|
|
|||
4 |
9 |
|
|||
оси Oy ?
При a 3 .
8.2. Определите тип поверхности второго порядка, заданной
уравнением |
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
1. |
|
|
c2 |
||||
|
3 |
4 |
|
|
||
Двуполостный гиперболоид.
8.3. Определите тип поверхности, заданной уравнением
x2 y2 2z 0 .
9 4
Гиперболический параболоид
8.4. Определите тип поверхности второго порядка, заданной уравнением
x2 y2 z2 1.
9 4 c2
Однополостный гиперболоид.
8.5. Какую поверхность определяет уравнение
x2 y2 4z2 1?
Эллипсоид вращения вокруг оси Oz .
8.6. Какую поверхность определяет уравнение
x2 y2 z2 1?
Однополостный гиперболоид.
8.7. Какую поверхность определяет уравнение
x2 y2 z2 4?
Двуполостный гиперболоид.
8.8. Какую поверхность определяет уравнение
x2 y2 z2 0 ?
Конус второго порядка.
8.9. Какую поверхность определяет уравнение
x2 2 y2 z 0 ?
Эллиптический параболоид.
8.10. Какое из приведенных ниже уравнений определяет цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oy ?
xz 2x2 z2 3x 1.
8.11. Какая поверхность определена уравнением
x2 ( y z)2 0 ?
Пара плоскостей.
8.12. Что служит геометрическим образом уравнения
x2 ( y z)2 0 ?
Прямая.
8.13. Что служит геометрическим образом уравнения
x2 ( y z)2 1 0 ?
Это уравнение не определяет никаких действительных геометрических образов.
8.14. При каком значении параметра a гиперболоид
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
1 будет поверхностью вращения вокруг |
a2 |
|
|
|||
4 |
9 |
|
|||
оси Oy ?
Ни при каких a .
8.15. При каком значении параметра a уравнение
x2 |
|
y2 |
az2 1 определяет однополостный |
|
|
||
9 |
4 |
|
|
гиперболоид?
При отрицательных a .
8.16. При каком значении параметра a уравнение
x2 |
|
y2 |
az2 1 определяет двуполостный |
|
|
||
9 |
4 |
|
|
гиперболоид?
Ни при каких a .
8.17. Какую поверхность определяет уравнение
y2 x 1 0?
Параболический цилиндр.
8.18. Какую поверхность определяет уравнение
y2 x2 2z 1 0 ?
Параболоид вращения.
8.19. Какую поверхность определяет уравнение
y2 2x2 3z2 0 ?
Конус второго порядка.
8.20. Какую поверхность определяет уравнение
5y2 2x2 3z2 12 0 ?
Однополостный гиперболоид.
8.21. Какую поверхность определяет уравнение
x2 6y2 3z2 8x 12y 1 0 ?
Однополостный гиперболоид.