Материал: Типовой расчет Кибернетика (ИИИ) 4 вар

Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

III семестр

Контрольные задания для студентов факультета Кибернетики

Контрольные задания по теме: «РЯДЫ»

https://www.zachet.ru/reshebnik-kontrolnogo-zadaniya-po-matematicheskomu-analizu-iii-semestr-kibernetika-mgtu-mirea/

Наша группа вКонтакте

https://vk.com/zachet_ru

URL в Google+

https://plus.google.com/+ZachetRu_channel

Twitter

https://twitter.com/zachet_ru

С Уважением,

https://www.zachet.ru/

Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

III семестр

Контрольные задания для студентов факультета Кибернетики

Контрольные задания по теме: «РЯДЫ»

Вариант 4

Задача 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:

а) ; б) .

Решение.

а) Это знакочередующийся ряд. По признаку Лейбница, он сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю. Первое условие выполняется, так как . Второе условие тоже выполняется, т.к. . Значит, ряд сходится.

б) Для этого ряда необходимое условие сходимости не выполняется: , значит, ряд расходится.

Задача 2. Исследовать знакочередующийся ряд на абсолютную и условную сходимость.

Решение.

Рассмотрим ряд, состоящий из абсолютных величин данного ряда . Для этого ряда необходимое условие сходимости выполняется: . Известно, что ряд  – расходится. Так как , , то по второму признаку сравнения рядов, ряд расходится.

Рассмотрим знакочередующийся ряд . По признаку Лейбница, он сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю. Первое условие выполняется, так как . Второе условие тоже выполняется, т.к. . Значит, ряд сходится.

Таким образом, ряд является условно сходящимся.

Задача 3. Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости. .

Решение.

По признаку Даламбера получим

, т.е. радиус сходимости .

Интервал сходимости найдем из неравенства . Отсюда, .

При получим: . Для этого ряда необходимое условие сходимости не выполняется: , значит, ряд расходится.

При получим: . Это знакопеременный ряд. По признаку Лейбница, он сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю. Второе условие не выполняется, т.к. . Значит, ряд расходится.

Таким образом, ряд сходится при .

Задача 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости полученного ряда. Найти .

а) , ; б) , .

Решение.

а) .

.

, .

, .

, .

, .

…

, .

Таким образом, .

.

б) .

.

, .

, .

, .

, .

…

.

Таким образом, .

.

Задача 5. Используя признак Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость функционального ряда на указанном промежутке.

, .

Решение.

Рассмотрим ряд , причем при . Так как ряд сходится, то данный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно.

Задача 6.

а) Разложить функцию , заданную на полупериоде , в ряд Фурье по косинусам. построить график второй, третьей, десятой частичных сумм. Написать равенство Парсеваля для полученного ряда. Сумму какого числового ряда можно отыскать с помощью полученного равенства?

б) Разложить функцию , заданную на полупериоде , в ряд Фурье по синусам. Построить графики второй, третьей, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда.

в) Разложить функцию в ряд Фурье, продолжая ее на полупериод функцией, равной 0. Построить графики второй, четвертой, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда.

, .

Решение.

а) Ряд Фурье по косинусам имеет вид , где .

Найдем эти коэффициенты:

.

.

Получаем, .

Равенство Парсеваля: .

б) Ряд Фурье по синусам имеет вид , .

Найдем эти коэффициенты:

.

Получаем, .

в) Ряд Фурье имеет вид , , .

Найдем эти коэффициенты:

;

;