Материал: Типовой расчет Кибернетика (ИИИ) 4 вар
.
Получаем,
.
Задача 7. Методом Фурье найти решение
уравнения колебаний струны
длины
,
закрепленной на концах:
и удовлетворяющей следующим начальным
условиям:
,
.
;
,
.
Решение.
По методу Фурье уравнение
имеет следующее решение:
.
Постоянные
и
можно найти, используя краевые условия:
,
;
,
,
,
где
.
При найденных значениях
получаем
,
или
,
т.к. каждому значению
отвечают свои постоянные
и
,
а постоянную
включаем в
и
.
Таким образом,
.
Решение должно удовлетворять начальным условиям:
,
.
,
,
.
,
откуда
.
Таким образом,
.
Задача 8. Найти приближенное решение
задачи Коши
,
,
.
Решение задачи Коши ищется в виде
степенного ряда
,
коэффициенты которого вычисляются
последовательно. Ограничиваясь суммой
,
содержащей
член ряда, получаем приближенное решение.
Оценка погрешности этого решения в
работе облегчается тем, что получающиеся
степенные ряды – знакочередующиеся.
Требуется, чтобы эта погрешность не
превосходила
при
.
,
.
Решение.
Будем искать решение этого уравнения
в виде ряда
.
Тогда
,
.
Подставляя
,
и
в исходное уравнение, получим
.
Сгруппируем члены с одинаковыми степенями
:
.
Приравнивая коэффициенты при
,
а также приравнивая нулю все остальные
коэффициенты полученного ряда, находим:
,
,
,
… ,
,
где
.
Последнее соотношение позволяет найти
последовательно все коэффициенты
искомого разложения.
Т.к.
,
то
,
т.е.
.
Т.к.
,
то
,
т.е.
.
Найдем коэффициенты:
,
,
,
,
.
Тогда
.
.
При
член ряда равен
;
—
.
Таким образом, с погрешностью
.
Задача 9. Приближенно вычислить
определенный интеграл. Для вычисления
интеграла функцию
разлагают на отрезке интегрирования в
степенной ряд, который интегрируют
почленно. Ограничившись несколькими
первыми слагаемыми полученного таким
образом числового ряда, имеем приближенное
значение интеграла. В работе погрешность
приближения не должна превышать
,
и оценка этой погрешности упрощается
по тем же причинам, что и в задаче 8.
.
Решение.
Т.к. разложение
в ряд имеет вид
,
то получим
.
Найдем такой член ряда, модуль которого не превосходит :
:
,
:
,
:
,
:
,
:
, 
:
.