Курсовая работа (т): Тунельний ефект та його застосування

Тунельний ефект та його застосування

Міністерство освіти і науки України

Національний педагогічний університет імені М.П.Драгоманова

Фізико - математичний інститут

Кафедра експериментальної і теоретичної фізики та астрономії

Курсова робота

з теоретичної фізики

"Тунельний ефект та його застосування"

Виконала:

Дика Оксана Олександрівна

Науковий керівник:

Павлова Наталія Юріївна

Київ 2014

Зміст

Вступ

. Тунельний ефект та його застосування

.1 Проходження частинки через потенціальний бар̛ єр

1.2 Холодна емісія електронів з металу

.3 Α- розпад важких ядер

.4 Термоядерні реакції

.5 Скануючий тунельний мікроскоп

. Вивчення квантової механіки в курсі фізики середньої школи

.1 План-конспект заняття гуртка

Висновки

Література

Вступ

емісія електрон розпад квантовий

Тунельний ефект - квантово- механічне явище проходження мікрочастинки крізь потенціальний бар'єр при її повній енергії, меншій за потенціальну енергію всередині бар'єра. Зумовлений хвильовими властивостями мікрочастинок. Характеризується коефіцієнтом прозорості бар'єра, який визначається відношенням потоку мікрочастинок, що проходять крізь бар'єр, до потоку частинок, що падають на нього. Тунельний ефект лежить в основі багатьох явиш мікросвіту, зокрема іонізації атомів в електричних полях, автоелектронної емісії, альфа-розпаду радіоактивних ядер; він впливає на проходження термоядерних реакцій тощо. Також за допомогою явища тунельного ефекту можна пояснити принцип роботи скануючого тунельного мікроскопу та іонного проектора.

Мета роботи полягає у розробці методичних підходів при вивченні квантової механіки в середній школі.

Об ̓ єкт дослідження: явище тунельного ефекту.

Предмет дослідження : вивчення квантової механіки в курсі фізики середньої школи.

Завдання роботи:

‒    вивести формулу коефіцієнта прозорості бар̓ єра;

‒       розглянути явища, які є наслідком тунельного ефекту;

‒       розробити план- конспект вступного заняття при вивченні розділу "Квантова механіка" в 11 класі.

1. Тунельний ефект та його застосування

1.1 Проходження частинки через потенціальний бар̛ єр

У класичній механіці рух частинки є неможливим, якщо різниця між її повною енергією Е та потенціальною U є від̛ ємною величиною, - це означає, що кінетична енергія, за означенням величина додатна, стала б від̛ ємною. У квантовій механіці ймовірність перебування частинки в області , де E-U<0, відмінна від нуля. Це видно, зокрема, із розв̛язку задачі для гармонічного осцилятора: хвильова функція у цій області експотенціально спадає, але відмінна від нуля. Це, зрозуміло, не означає, що кінетична енергія частинки є від ̛ ємною. Легко переконатись, що її середнє значення ( а саме середнє значення є вимірювальною величиною) величина додатна.

Розглянемо рух частинки для одновимірного випадку з потенціальною енергією U=U(x), яка зображена на рис. 1.

Якщо частинка, яка рухається зліва направо, має енергію Е, меншу від максимального значення U(x), то у класичному випадку вона не зможе подолати цього потенціального бар̛ єра, а зупиниться в точці х₁,коли E = U(x₁), після чого буде рухатись у протилежному напрямку - тобто відіб̛ ється від бар̛ єра. Координату х₁ називають класичною точкою повороту. У квантовій механіці можливим є рух і в ˮзабороненій зоніˮ між класичними точками повороту х₁≤ х ≤ х₂, тому що хвильова фунція в цій області, хоча й значно зменшується, однак є відмінною від нуля, отже, і ймовірність перебування частинки у цій ˮзабороненій зоніˮ відмінна від нуля. Виникає цікава задача розрахунку ймовірності проходження частинки крізь такий потенціальний бар̓ єр. Це інший тип задач, ніж задача на власні значення та власні функції: енергія частинки є відмою величиною, вона нам задана, необхідно знайти лише хвильову фунцію.

Рис. 1. Потенціальний бар'єр.

Припустимо, зліва на бар'єр налітає частинка з заданою густиною потоку ймовірності j_0. Нехай частина j₁ цього потоку описує рух після відбивання частинки від бар'єра, а j₂ - це потік справа від бар'єра, тобто в області х ˃ х₂ . Очевидно, згідно з законом збереження потоку,

j₀ = j₁ + j₂.

Уведемо експерементально вимірювальні величини: відношення

яке бедемо називати коефіцієнтом проходження крізь бар̓ єр або коефіцієнтом прозорості бар̓ єра, та величину

 - коефіцієнт відбивання від бар̓ єра. Очевидно, що

Нагадаємо також, що густина потоку ймовірності розраховується за загальним виразом

Для розрахунку величини D та R необхідно знайти хвильову функцію частинки зліва від бар̓ єра х ˂ х₁, справа від нього х ˃ х₂ та всередині бар̓ єра х₁ ≤ х ≤ х₂ з урахуванням неперервності хвильової функції та її першої похідної (потоку) в класичниї точках повороту х₁ та х₂.

Спростимо нашу задачу і візьмемо як модель прямокутний бар̓ єр (рис. 2), коли потенціальна енергія

У першій області х ˂ 0 для хвильової функції

маємо рівняння Шредінгера:

а розв̓ язок

Рис. 2. Елементарний прямокутний бар̓ єр

У другій області 0 ≤ х ≤ а хвильову функцію           визначаємо з рівняння

Нарешті, у третій області для отримуємо:

Тепере знаходимо потоки у відповідних областях:

Коефіцієнти прозорості та відбивання

Урахуємо тепер умови неперервності хвильової функції та її першої похідної в точках х =0 та х = а:

Використовуючи явний вигляд хвильових функцій, знаходимо рівняння для коефіцієнтів А₂ , В₁ , В₂ та С₁ (коефіцієнт А₁ задається падаючим потоком j₀ ):

Розглянемо спочатку випадок E ˃U, коли величина k є дійсною.

Поділимо всі рівняння на А₁ і позначаючи

Так що

Тепер система рівнянь набуває вигляду

Додамо третє і четверте рівняння цієї системи, попередньо помноживши останнє на

та візьмемо їхню різницю

Отже отримаємо

Підставимо ці вирази у два перших рівняння, попередньо помноживши друге на

Додамо ці вирази і знайдемо

Вираз у фігурних дужках

Тепер

Отже,коефіцієнт прозорості

Або

Урахуємо тепер явний вигляд величини k та k₀ і остаточно для

Для коефіцієнта відбивання  знаходимо

Ці результати легко перенести на випадок , зробивши аналітичне продовження. Маємо

дійсна величина. Це дає

Або

У випадку, коли енергія частинки, що налітає на бар̓ єр, дорівнює його висоті, коефіцієнт прозорості

Якщо ж енергія то коефіцієнт прозорості також прямуватиме до нуля:

З виразу для коефіцієнта прозорості при випливає, що

З цього ж виразу видно також, що при  величина  Стани з такими значеннями енергії частинки називають резонансними станами:

Отже, якщо частинка має резонансне значення енергії, то коефіцієнт прозорості бар̓ єра точно дорівнює одиниці. У цьому випадку на ширині бар̓єра вкладається ціле число півдовжин хвилі де Бройля:  Цікаво, що ці значення енергії збігаються (враховучи зсув на постійну U) з енергетичними рівнями частинки, що рухається в прямокутній поненціальній ямі з безмежно високими стінками. На рис.3 зображено графік залежності коефіцієнта прозорості від енергії.

Рис.3. Залежність коефіцієнта прозорості від енергії для прямокутного бар̓єра.

Розглянемо тепер випадок бар̓ єра значної ширини та висоти, коли

У результаті

де величина

причому так що

На підставі цих формул розглянемо тепер потенціальний бар̓ єр довільної форми , який розіб̓ ємо на сукупність прямокутних потенціальних бар̓єрів (див. рис. 4).

Рис. 4. Розбиття бар̓ єра на елементарні прямокутні бар̓ єри.

Зліва від точки повороту х₁ і справа від точки повороту х₂ коефіцієнт прозорості близький до одиниці, оскільки енергія налітаючої частинки є більшою за потенціальну енергію. Це дає змогу зробити оцінку коефіцієнта прозорості, якщо прийняти, що коефіцієнт прозорості крізь і-тий прямокутний бар̓ єр ширино

Повний кофіцієнт прозорості D дорівнює добуткові парціальних коефіцієнтів прозорості

У границі безмежно вузьких парціальних прямокутних бар̓ єрів  сума Дарбу в показнику експоненти переходить в інтеграл і в результаті

Де точки повороту х_1, х₂ визначаємо з рівнянь

Передекспонентний множник D₀ має слабку залежність від енергії Е, і в наведеній оцінці коефіцієнта прозорості його можна вважати величиною сталою. Задачі, що розглядаються на основі такого підходу: α-розпад, холодна місія електронів з металу під дією зовнішнього електричного поля, явище перезарядження йонів у плазмі, хімічні реакції, дисоціація молекул.

.2 Холодна емісія електронів з металу

Явище виривання електронів з металу сильним електричним полем називать холодною емісією на відміну від термоелектроннної емісії, коли залежність сили струму від різниці потенціалів між анодом і катодом у вакуумному діоді визначається ˮзаконом 3/2ˮ.

Розглянемо просту модель вільних електронів, коли потенціальна енергія електрона в металі є постійною й меншою за її значення поза металом на величину роботи виходу U₀. Електрон у металі має перед собою потеціальний бар̓ єр висотою U₀, але безмежної ширини, і тому коефіцієнт прозорості  Іншу ситуацію маємо, коли прикладаємо постійне електричне поле напруженості  в напрямку до поверхні металу. До потенціальної енергії додається величина  де заряд електрона  - координата, що відраховується від поверхні металу. Сила  що діє на електрон, за величиною дорівнює  причому вектор  має напрямок, протилежний до напрямку осі х, а повна потенціальна енергія