УДК 532.5.031+612.13
Уравнение состояния крови при течении в мелких сосудах
A.E. Medvedev
Особенности течения крови. Кровь (с точки зрения механики) представляет собой суспензию, состоящую из плазмы (вязкая несжимаемая жидкость) и эритроцитов (двояковогнутые деформируемые диски размером 8 мкм на 2.5 мкм, заполненные гелем). Одной из основных характеристик крови является показатель гематокрита - объемное содержание эритроцитов в крови. Течение крови в сосудах отличается особенностями (эффектами): I) зависимость показателя гематокрита от диаметра сосуда (эффект Фареуса); II) существование пристеночного слоя плазмы без эритроцитов; III) тупой (по сравнению с профилем течения Пуазейля) профиль скорости крови; IV) вязкость крови падает с уменьшением размера сосуда (эффект Фареуса-Линдквиста.
Модель течения крови. Рассмотрим кровь как суспензию, состоящую из двух несжимаемых фаз. Первая фаза - плазма крови, вторая - эритроциты. Относительная вязкость суспензии зависит от концентрации и, согласно формуле Эйнштейна, имеет вид
где - объемная доля эритроцитов (локальный показатель гематокрита); , - динамическая вязкость крови и плазмы, соответственно. Для крови зависимость от зададим в виде .
Известно ([2]), что эритроциты неравномерно распределены по сечению сосуда - объемная доля эритроцитов монотонно убывает от максимума на оси сосуда до нуля на стенке. Решение уравнений, аналогичных уравнениям Пуазейля, но с переменной вязкостью, дает формулы для скорости крови
,
где - безразмерный радиус, - максимальная скорость течения Пуазейля.
Скорость крови имеет более тупой профиль, по сравнению с параболическим решением Пуазейля . Это связано с тем, что концентрация эритроцитов и относительная вязкость имеют максимум на оси сосуда и минимум на стенке. В силу этого по всему сечению сосуда, лишь на стенке .
Для простоты примем, что распределение объемной доля эритроцитов по сечению сосуда задается ступенчатой функцией:
где - относительная толщина пристеночного слоя плазмы.
Эффект образования пристеночного слоя связан с поперечной миграцией эритроцитов при движении по сосуду. При этом эритроциты могут деформироваться и слипаться, образую “монетные столбики”. Для нахождения уравнения состояния крови были взяты экспериментальные данные по зависимости показателя гематокрита от диаметра сосуда (рис. 1a).
Задача нахождения уравнения состояния крови сводится к решению алгебраического уравнения на толщину пристеночного слоя и объемной доли эритроцитов :
,
где , - функция, аппроксимирующая экспериментальные данные на рис. 1a.
После определения и находим зависимость относительной вязкости и скорости крови от диаметра кровеносного сосуда . кровеносный сосуд гематокрит плазма
Относительная наблюдаемая вязкость (вязкость, наблюдаемая в капиллярных вискозиметрах) определяется как отношение пуазейлевского расхода воды к расходу крови :
.
Проведено сравнение с известными экспериментальными данными [1-3] по относительной наблюдаемой вязкости (рис. 1b), по толщине пристеночного слоя (рис. 2a) и профилю продольной скорости крови (рис. 2b). Как видно из рис. 1 и 2, несмотря на грубое приближение профиля локального гематокрита ступенчатой функцией (3), результаты расчета по модели находятся в пределах погрешности экспериментальных измерений.
Рис. 1. Зависимость отношения показателей гематокрита
Получено уравнение состояние крови - зависимость вязкости крови, показателя гематокрита и толщины пристеночного слоя от диаметра сосуда. Данные зависимости имеют единые вид для сосудов всех размеров и переходят в формулы течения Пуазейля при больших диаметрах сосудов.
Работа выполнена при поддержке междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН № 91.
(a) и относительной наблюдаемой вязкости (b) от диаметра сосуда для фиксированных значений показателя гематокрита. Значки - экспериментальные данные [2]. Линии (a) - аппроксимация экспериментальных точек [2], линии (b) - результаты расчета вязкость по формуле (5).
Рис. 2. (a) Зависимость относительной толщины пристеночного слоя плазмы от диаметра сосуда для 4-x значений показателя гематокрита . Точки - эксперименты из [3].
Сплошные линии - расчет по предложенной модели. (б) Сравнение экспериментального (точки из [4]) и расчетного по фомуле (2) (сплошная красная кривая) распределения скорости крови в стеклянной трубке диаметром 54.2 мкм (, градиент давления Па/м3). Пунктирная кривая - скорость течения Пуазейля.
Библиографический список
Левтов В.А., Регирер С.А., Шадрина Н.Х. Реология крови. М.: Медицина, 1982.
Pries A.R., Secomb T.W. Blood flow in microvascular networks // Handbook of Physiology: Microcirculation / ed. R.F. Tuma, W.N. Dura, K. Ley. Academ Press, 2008.
Sharan M., Popel A.S. A two-phase model for flow of blood in narrow tubes with increased effective viscosity near the wall // Biorheology. 2001. Vol. 38. P. 415-428.
Long D.S., Smith M.L., Pries A.R. et al. Microviscometry reveals reduced blood viscosity and altered shear rate and shear stress profiles in microvessels after hemodilution // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 2004. Vol. 101. N 27.
Аннотация
При течении крови в мелких сосудах (менее 200 мкм) наблюдается зависимость реологических свойств крови от размера сосуда - кажущаяся вязкость крови падает с уменьшением диаметра кровеносного сосуда. Для описания течения крови в мелких сосудах необходимо создание уравнения состояния, зависящее (кроме остальных параметров) от диаметра сосуда.
В работе предложена единая двухфазная модель крови для описания течения, как в крупных, так и в мелких кровеносных сосудах. Модель дает уравнение состояния крови - зависимость вязкости от диаметра сосуда и описывает характеристики течения, такие как, показатель гематокрита и скорость крови. На основе данной модели дано объяснение давно известным особенностям (эффектам) течения крови в сосудах: зависимости показателя гематокрита от диаметра сосуда; существованию бесклеточного слоя плазмы вблизи стенки сосуда; тупому (по сравнению с профилем течения Пуазейля) профилю скорости крови; зависимости вязкости крови от диаметра сосуда. Получены аналитические зависимости для скорости, вязкости и показателей гематокрита крови в зависимости от диаметра кровеносного сосуда. Проведено сравнение с экспериментальными данными.
Ключевые слова: показатель гематокрита, течение Пуазейля, математическая модель, двухфазное течение, относительная вязкость.
When blood flow in small vessels (less than 200 microns) was observed dependence of rheological properties of blood vessel size - an apparent blood viscosity decreases with decreasing diameter of the blood vessel. To describe the blood flow in small vessels is necessary to establish the equation of state power (except for other parameters) on the diameter of the vessel.
The paper presents a single phase model to describe blood flow in both large and small blood vessels in the. The model yields an equation of the blood - the dependence of viscosity on the diameter of the vessel, and describes the flow characteristics, such as hematocrit and blood velocity. Based on this model was explained long ago known features (effects) of blood flow in vessels: depending on the hematocrit of the diameter of the vessel, the existence of cell-free layer of plasma near the vessel wall, stupid (as compared with the profile of Poiseuille flow) velocity profile of blood, depending on the viscosity blood on the diameter of the vessel. Analytical dependences for the velocity, viscosity and hematocrit blood, depending on the diameter of the blood vessel. A comparison with experimental data.
Key words: hematocrit, Poiseuille flow, mathematical model, two-phase flow, the relative viscosity.