Вводя прием 3·2, мы находим сумму двух слагаемых, каждое из которых равно 3. Вводя прием 6:2, при условии, что 6 - мощность множества, разбитого на равномощные подмножества, а 2 - количество этих подмножеств, мы находим число элементов каждого подмножества, или, при условии, что 2 - число элементов каждого подмножества, мы находим количество таких подмножеств.
На уроках рефлексии в основе некоторых из названных приемов будут лежать свойства арифметических действий (так, прибавление двух по единице выполняется на основе использования сочетательного свойства сложения), эти свойства учащимся явно не раскрываются.
2. Приемы, теоретической основой которых служат свойства арифметических действий. К этой группе относится большинство вычислительных приемов. Это приемы сложения и вычитания для случаев вида 53 ± 20, 47 ± 3, 30 - 6, 9 + 3, 12 - 3, 35 ± 7, 40 ± 23, 57 ± 32, 64 ± 18; аналогичные приемы для случаев сложения и вычитания чисел больших, чем 100, а также приемы письменного сложения и вычитания; приемы умножения и деления для случаев вида 14 · 5, 5 · 14, 81 : 3, 18 · 40, 180 : 20, аналогичные приемы умножения и деления для чисел больших 100 [9].
Общая схема введения этих приемов одинакова: сначала изучаются соответствующие свойства, а затем на их основе вводятся приемы вычислений.
3. Приемы, теоретическая основа которых связи между компонентами и результатами арифметических действий. К ним относятся приемы для случаев вида 21 : 3, 60 : 20, 54 : 18. При введении этих приемов сначала рассматриваются связи между компонентами и результатом соответствующего арифметического действия, затем на этой основе вводится вычислительный прием.
4. Приемы, теоретическая основа которых изменение результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов. Это приемы округления при выполнении сложения и вычитания чисел (46 + 19, 512 - 298) и приемы умножения и деления на 5, 25, 50. Введение этих приемов также требует предварительного изучения соответствующих зависимостей.
5. Приемы, теоретическая основа которых вопросы нумерации чисел. Это приемы для случаев вида а ± 1, 10 + 6, 16 -10, 16- 6, 57 · 10, 1200 : 100; аналогичные приемы для больших чисел. Введение этих приемов предусматривается после изучения соответствующих вопросов нумерации (натуральной последовательности, десятичного состава чисел, позиционного принципа записи чисел) [19].
6. Приемы, теоретическая основа которых правила. К ним относятся приемы для двух случаев: а · 1, а · 0. Поскольку правила умножения чисел на единицу и нуль есть следствия из определения действия умножения целых неотрицательных чисел, то они просто сообщаются учащимся, и в соответствии с ними выполняются вычисления. Целый ряд случаев может быть отнесен не только к указанной группе приемов, но и к другой. Например, случаи вида 46 + 19 можно отнести не только к четвертой группе, но и ко второй. Это зависит от выбора теоретической основы вычислительного приема. Все вычислительные приемы строятся на той или иной теоретической основе, причем в каждом случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительных приемов. Это реальная предпосылка овладения учащимися осознанными вычислительными навыками. Общность подходов к раскрытию вычислительных приемов каждой группы есть залог овладения учащимися обобщенными вычислительными навыками [4].
Выводы по первой главе
Итак, комплексное проведение вычислений устного характера в современное время вызывает значительный интерес к предмету «Математика» и дисциплинирует учащихся. При развитии познавательных универсальных учебных действий на уроках математики у ребят развивает внимание, смекалку, позволяет увеличить степень культуры устных математических вычислений, читать модели смыслового и логического характера, учит ребят мыслить правильным образом. Как известно, вычисления устного характера имеют значительную ценность с точки зрения методического характера, при применении в качестве подготовительной ступени при объяснении учителем того или иного материала по данному предмету. В современное время устные вычисления должны включать в себя вычислительный навык полноценного характера. Как мы определили во втором параграфе первой главы данной курсовой работы, полноценный вычислительный навык должен включать в себя следующие характеристики, а именно: правильность, осознанность, рациональность, обобщенность, автоматизм и прочность. Кроме того, нами определено, что вычислительные навыки включают в себя следующие группы приемов, а именно: приемы, теоретическая основа которых конкретный смысл арифметических действий; приемы, теоретической основой которых служат свойства арифметических действий; приемы, теоретическая основа которых связи между компонентами и результатами арифметических действий; приемы, теоретическая основа которых изменение результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов; приемы, теоретическая основа которых вопросы нумерации чисел; приемы, теоретическая основа которых правила.
Глава 2. Формы и методы организации устных вычислений на уроках математики в начальной школе
Формы организации устных вычислений на уроках математики в начальной школе
Бантова М.А. выделяет методику формирования вычислительных навыков в три этапа в процессе формирования вычислительных навыков:
1. Подготовка к введению нового приёма.
Данный этап предполагает формирование готовности к освоению вычислительного приёма, т.е. школьники должны приобрести те знания, на которых основывается вычислительный приём, и кроме того, освоить каждое действие, составляющей приём вычисления.
К примеру, можно утверждать, что учащиеся готовы к изучению вычислительного приёма ± 3, при условии, если они ознакомились с конкретным смыслом действий сложения и вычитания, усвоили состав числа 3 и овладели вычислительными навыками сложения и вычитания вида ±1, ±2; готовность к восприятию приёма внетабличного умножения (14 · 7) определяется понимание учениками правила умножения суммы на число, знание десятичного состава чисел в пределах 100, овладение навыками табличного умножения, навыками умноженная числа 10 на однозначные числа, навыками сложения двузначных чисел. Ключевой момент при ознакомлении с новым вычислительным приёмом - овладение учащимся базовыми операциями.
2. Ознакомление с вычислительным приёмом.
На данном этапе учащиеся осваивают суть приёма: какие операции необходимо выполнить, в каком порядке и почему именно так можно получить результат арифметического действия.
При введении большинства вычислительных приёмов важно использовать наглядность. В некоторых случаях это оперирование множествами. Например, прибавляя к 6 число 3, придвигаем к 6 квадратам 3 квадрата по одному.
В других случаях в качестве наглядности используется развернутая запись. Например, при введении приёма внетабличного умножения выполняется запись:
13 · 6 = (10 + 3) · 6=10 · 6 + 3 · 6 = 60 + 18 = 78.
Выполнение каждой операции важно сопровождать пояснениями вслух. Сначала эти пояснения выполняется под руководством учителя, а потом самостоятельно учащимися.
3. Закрепление знаний приёма и выработка вычислительного навыка.
На этом этапе ученики должны твердо усвоить систему операций, составляющие приём, и быстро выполнить эти операции; то есть овладеть вычислительным навыком [20].
В процессе работы здесь важно предусмотреть следующие этапы в становлении у учащихся вычислительных навыков:
1. На первом этапе закрепляется знание приема: учащиеся самостоятельно выполняют все операции, составляющие прием, комментируя выполнение каждой из них вслух и одновременно производя развернутую запись
34 · 5 = (30 + 4) · 5 = 30 · 5 + 4 · 5 = 3 ·10 · 5 + 20 = 3 · 5 · 10 + 20 = 15 · 10 + 20 = 150 + 20 = (100 + 50) + 20 = 100 + (50 + 20) = 100 + 70 = 170.
Первый множитель - 34. Второй множитель - 5. Найдем произведение. Представим 34 в виде суммы разрядных слагаемых 30 и 4. Получим выражение: сумму чисел 30 и 4 умножить на 5. Воспользуемся распределительным законом умножения относительно сложения: сначала 30 умножим на 5, затем 4 умножим на 5, полученные произведения сложим. Представим 30 как произведение 3 и 10, найдем произведение 4 и 5. Получим выражение: сумма произведения чисел 3, 10, 5 и числа 20. Воспользуемся переместительным законом умножения: поменяем местами множители 10 и 5. Получим выражение: сумма произведения чисел 3, 5, 10 и числа 20. Три умножим на 5, получим 15. 15 умножим на 10, получим 150. Сложим 150 и 20. Для этого представим 150 в виде суммы разрядных слагаемых 100 и 50. Получим выражение: к сумме чисел 100 и 50 прибавить число 20. Воспользуемся сочетательным законом сложения: сложим 50 и 20, получим 70. Затем к 100 прибавим 70. Получим 170.
2. На втором этапе происходит частичное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют операции и обосновывают выбор, порядок их выполнения, вслух же они проговаривают выполнение основных операций, т.е. промежуточных вычислений. Надо учить детей выделять основные операции в каждом вычислительном приёме. Развёрнутая запись не выполняется. Сначала проговаривание ведётся под руководством учителя, а затем самостоятельно. Проговаривание вслух помогает выделить основные операции, а выполнение про себя вспомогательных операций способствует их свёртыванию.
34 · 5 = (30 + 4) · 5 = 30 · 5 + 4 · 5 = 150 + 20 = 170.
Первый множитель - 34. Второй множитель - 5. Найдем произведение. Представим 34 в виде суммы разрядных слагаемых 30 и 4. Получим выражение: сумму чисел 30 и 4 умножить на 5. Воспользуемся распределительным законом умножения относительно сложения: сначала 30 умножим на 5, получим 150, затем 4 умножим на 5, получим 20. 150 и 20 - 170. Произведение 170.
3. На третьем этапе происходит полное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют и выполняют все операции, т.е. здесь происходит свёртывание и основных операций. Учитель предлагает детям выполнять про себя и промежуточные вычисления, а называть или записывать только окончательный результат. 34 · 5 = 170
4. На четвёртом этапе наступает предельное свёртывание выполнения операций. Учащиеся выполняют все операции в свёрнутом плане, предельно быстро, т.е. они овладевают вычислительными навыками. Это достигается в результате выполнения достаточного числа тренировочных упражнений.
В системе Л. В. Занкова формирование навыков проходит три принципиально различных этапа, при этом учитель может использовать два пути: прямой и косвенный. Прямой путь в чистом виде предполагает сообщение учащимся образца, алгоритма выполнения операции, на основании которого школьники многократно ее выполняют. В результате такой репродуктивной деятельности достигается запоминание предложенного алгоритма и вырабатывается запланированный навык. Косвенный путь предполагает, прежде всего, включение учеников в продуктивную творческую деятельность, в самостоятельной поиск алгоритма выполнения операции. В системе общего развития Л.В. Занкова главным является именно косвенный путь формирования вычислительных навыков, прямой же использует учитель тогда и в той мере, как это необходимо, так как в чистом виде ни один из путей использовать нельзя.
Первый этап - осознание основных положений, лежащих в фундаменте выполнения операции, создание алгоритма ее выполнения. На этом обязательно прослеживается, оценивается и создается каждый шаг в рассуждениях детей, устные рассуждения переводятся в запись математическими знаками. Отсюда вытекает характерный признак этого этапа - подробная запись выполнения операции, с которой в данный момент работают ученики. Результатом этого этапа является выработка алгоритма выполнения операции и его осознание.
284 · 25 = 284 · (20 + 5) = 284 · 20 + 284 · 5 = 284 · (2 · 10) + 1420 = (284 · 2) · 10 + 1420 = 568 · 10 + 1420 = 5680 + 1420 = 7100.
На этом этапе почти не используем прямой путь, если только при выполнении знакомых детям операций, т.е. промежуточных (умножение на однозначное число, на единицу с нулями и выполнение сложения).
Главным направлением второго этапа является формирование правильного выполнения операции. Для достижения этой цели необходимо не только использование выработанного на первом этапе алгоритма выполнения операции, но, может быть, в еще большей степени, свободная ориентация в ее нюансах, умение предвидеть. К чему приведет то или иное изменение компонентов операции. В силу этого на втором этапе используются оба пути формирования навыков, однако косвенный путь продолжает быть ведущим, прямой же используется в качестве подчиненного. Ученикам даются такие задания, которые ставят детей в позицию активного творческого поиска, где они используют свои знания в нестандартном преобразованном виде.
Например, даем задание: изменить в произведении 284 · 25 одну цифру так, чтобы значение произведения стало пятизначным числом.
В результате найденных преобразований каждый ученик получает от 6 - до 12 произведений, изменяя цифру во втором или в первом множителе:
284 · 35, 284 · 45, 284 · 55, 284 · 65, 284 · 75 (85, 95, 55).
384 · 25, 484 · 25 (584, 684, 784, 884,984) · 25.
От учащихся не требуется нахождения и составления всех возможных решений. Мы объединяем все случаи, которые нашли разные ученики, анализируем, находим с ними определенную закономерность, отыскиваем пропущенные варианты. Важная особенность таких заданий - возможность индивидуализации их выполнения каждым учеником, так как нет жестких установок на количество требуемых решений, а только рекомендации: «Постарайся найти не одно решение».
Третий этап формирования навыка нацелен на достижение высокого темпа выполнения операции. Именно на этом этапе на первый план выходит прямой путь формирования навыка. Главная задача учителя -построить работу так, чтобы дети хотели выполнять необходимые вычисления и получали от этого удовольствие. Неотъемлемой частью почти каждого урока математики, направленной на формирование прочных вычислительных навыков, является устный счет. Устный счет может проводиться не обязательно в начале урока, но в середине, конце, в зависимости от целей устного счета на уроке. Задачи устного счета немаловажны: воспроизводство и корректировка определённых ЗУН учащихся, необходимых для их самостоятельной деятельности на уроке или осознанного восприятия объяснения учителя; контроль учителя за состоянием знаний учащихся; мониторинг психологического состояния класса; психологическая и методическая подготовка учащихся к восприятию нового материала. На устный счет на уроке следует выделять от 5 до 10 минут, работу нужно проводить так, чтобы она не была случайной, а являлась оправданной и гармонично вливалась в урок. Устный счет разделяют на две большие к группы: к первой относятся устный счет с элементом наглядности, то есть при котором числа не просто называются, но и демонстрируются учащимся, что облегчает процесс вычисления, потому что ученикам не нужно удерживать данные числа в памяти. Но ведь, именно запоминание чисел является важным элементом устных вычислительных действий. В практической работе ученики, не умеющие задерживать числа в уме, являются плохими вычислителями. Отсюда вытекает необходимость второго вида устного счета, при котором числа воспринимаются только на слух. При этом существуют три формы восприятия устного счета: комбинированный, зрительный, бегло - слуховой. Работа над устным счетом может приводиться как с индивидуальными заданиями (с использованием раздаточного материала) так и фронтальной.