Курсовая работа (т): Устойчивость стохастических систем

Устойчивость стохастических систем

Курсовая работа

Устойчивость стохастических систем

Введение

стохастический уравнение ляпунов

Теория устойчивости получила свое развитие еще в XVIII веке, когда Леонард Эйлер сформулировал и решил задачу устойчивости состояния равновесия системы, состоящей из стержня, сжатого сжимающей силой. Дальнейшее развитие теория устойчивости получила в трудах Ляпунова А.М.

На данный момент задача устойчивости не потеряла своей актуальности. Необходимость постановки и решения таких задач при неполной информации важна в наше время, потому что данные задачи встречаются во всех отраслях жизнедеятельности человека. Сложность заключается в том, что система функционирует при наличии факторов, определяемых не точно. К примеру, можно рассмотреть явление стохастического резонанса. «Стохастический» - это относящийся к области хаоса, беспорядочному поведению, непредсказуемости. Суть явления стохастического резонанса заключается в том, что добавление в систему шума, т.е. хаотического движения, не уменьшает, а наоборот усиливает отклик системы на слабенькое периодическое воздействие. Другими словами, шум не подавляет сигнал, а помогает ему проявиться. И что интересно - наиболее сильный эффект возникает при некоторой вполне определенной, оптимальной интенсивности шума. Дабы не получить результат как в знаменитой истории про разрушение моста из-за того, что по нему в ногу прошла рота солдат, необходимо изучать те слабо контролируемые или вовсе непредсказуемые, носящие случайный характер факторы, которые сложным образом взаимодействуют друг с другом и вносят изменения работу системы.

Источник неполноты информации может быть связан с наличием помех в канале наблюдения за функционированием системы. Одним из важных источников неполноты информации является запаздывание, вызванное конечностью времени, необходимого для проведения наблюдений и обработки результатов.

Возможны разные способы изучения задач устойчивости. Мы будем придерживаться вероятностного подхода, в котором за неполноту информации будем принимать действие на систему случайных возмущений, с заданными статистическими характеристиками.

Задачи устойчивости динамических систем при случайных факторах, изменяющих действие системы, связаны с изучением условий, при которых некоторые статистические характеристики движения мало отклоняются при малом изменении возмущений.

Таким образом, посредством теории вероятностей будем изучать чувствительность некоторых систем и условий, при которых эти системы начинают отклоняться от привычного функционирования под действием случайных факторов.

1. Основные формулы, используемые в работе

Плотность вероятности гауссовского вектора:

Математическое ожидание случайного вектора:

Условное математическое ожидание  случайного вектора относительно -алгебры удовлетворяет равенству

Конечномерные распределения вероятностей случайного процесса

Корреляционная матрица случайного процесса:

Плотность конечномерного распределения вероятностей стандартного винеровского процесса

Закон повторного логарифма для винеровского процесса:

Стохастический интеграл Ито есть предел в среднеквадратическом интегральных сумм

Стохастический интеграл Стратоновича  есть предел в среднеквадратическом сумм

Стохастическое дифференциальное уравнение Ито:

Стохастическое дифференциальное уравнение Стратоновича:

Всякое решение  уравнения Стратоновича есть также решение уравнения Ито:

Формула Ито: если и , то

Теорема существования и единственности решения стохастического дифференциального уравнения Ито.

Пусть

Тогда существует, и притом единственное, решение уравнения Ито на любом отрезке .

Производящий оператор уравнения Ито:

Теорема Хасьминского. Если существует функция  такая, что

то тривиальное решение уравнения Ито устойчиво по вероятности. Если же

то тривиальное решение уравнения Ито асимптотически устойчиво в целом по вероятности.

Устойчивость линейных систем в среднеквадратическом. Для устойчивости в среднеквадратическом системы

необходимо и достаточно существование функции , удовлетворяющей оценкам

Для асимптотической устойчивости в среднеквадратическом уравнения

необходимо и достаточно, чтобы детерминированное уравнение

было алгоритмически устойчиво и чтобы был положителен определитель

2. Определение стохастической устойчивости

Вопрос об устойчивости некоторого решения уравнения (1.2) с помощью замены переменных может быть сведен к вопрос об устойчивости тривиального решения, поэтому будем считать, что

 (2.1)

При выполнении условия (2.1) стохастическое дифференциальное уравнение

 (2.2)

Имеет тривиальное решение  Под устойчивостью тривиального решения этого уравнения понимается его свойство мало изменяться при малом изменении начальных условий. В зависимости от конкретного понимания выражения «малое изменения решения» возможны различные определения устойчивости:

Тривиальное решение уравнения (2.2) называется cлабоустойчивым по вероятности, если для найдется такое , что при  и  выполняется неравенство

асимптотически слабо устойчивым по вероятности, если оно слабо устойчиво по вероятности и для  найдется такое , что при  имеет место соотношение

асимптотически слабо устойчивым по вероятности в целом, оно асимптотически слабо устойчиво по вероятности и  справедливо равенство

асимптотически слабо устойчивым по вероятности в целом равномерно по начальным данным, если в предыдущем определении стремление к нулю равномерно для  и всех

Тривиальное решение уравнения (2.2) называется:

p-устойчивым (p>0), если для  найдется  такое, что при  выполняется неравенство

асимптотически p-устойчивым, если оно p-устойчиво, и для  при некотором  имеет место соотношение

асимптотически p-устойчивым в целом, если оно асимптотически p-устойчиво и для  справедливо соотношение

Кроме приведенных определений используется также понятие устойчивости с вероятностью 1. Подразумевается устойчивость, при которой все траектории системы (кроме, может быть, множества траекторий нулевой вероятности) устойчивы в соответствующем смысле.

Предположим, что тривиальное решение уравнения (3.1) p-устойчиво (). Тогда для любого  в силу неравенства Гельдера имеем . Значит, в этом случае тривиальное решение является также и устойчивым при любом  Аналогично из асимптотической p-устойчивости следует асимптотичекая устойчивость при всех

Воспользуемся теперь неравенством Чебышева:

Здесь  произвольная неотрицательная функция, для которой существует . На основание неравенства Чебышева при  для любого p>0 имеем

.

Следовательно, из p-устойчивости тривиального решения уравнения (2.2) вытекает его слабая устойчивость по вероятности, а из асимптотической p-устойчивости - асимптотическая слабая устойчивость по вероятности. Отметим еще, что p-устойчивость при p=2 называется также устойчивостью в среднеквадратическом.

Тривиальное решение уравнения (2.2) называется:

устойчивым по вероятности, если для  выполняется соотношение

 (2.3)

асимптотически устойчивым по вероятности, если оно устойчиво по вероятности и

равномерно устойчивым по вероятности, если  стремится к нулю при  равномерно по  и ;

асимптотически устойчивым по вероятности в целом, если оно устойчиво по вероятности и для  имеет место соотношение

.

Устойчивость по вероятности значительно сильнее слабой устойчивости и означает, что траектория процесса, начинающиеся в момент  из точки , всегда остаются в любой наперед заданной окрестности тривиального решения с вероятностью, стремящейся к единице, когда .

3. Применение второго метода Ляпунова

Достаточные условия устойчивости

Сформулируем ряд достаточных условий устойчивости, используя функции Ляпунова.

Функция называется положительно определенной, если  Пусть  - непрерывные скалярные неубывающие функции такие, что  Будем говорить, что функция  если эта функция дважды непрерывно дифференцируема по  и один раз по  всюду в области U, кроме, может быть, множества  и непрерывна в замкнутом множестве при любом

Теорема 1. Пусть в области U существует непрерывная функция  для которой при x0 справедливы неравенства

, (3.1)

где оператор L=. Тогда тривиальное решение (2.2) устойчиво по вероятности.