Курсовая работа (т): Устойчивость стохастических систем

Также можно сформулировать условия устойчивости и в других смыслах. Приведем некоторые из них.

Теорема 2. Пусть существует функция Ляпунова  такая, что

Тогда тривиальное решение уравнения (2.2) асимптотически устойчиво в целом по вероятности.

Теорема3. Пусть существует функция , удовлетворяющая неравенствам

 (3.2)

 (3.3)

Тогда тривиальное решение системы (3.1) экспоненциально р-устойчиво при.

Известно, что существует  при всех , а также равенство

Дифференцируя обе части этого равенства по  и учитывая неравенства (3.2) и (3.3), получаем

Отсюда следует, что

Из этого неравенства и (3.2) вытекает оценка

означающая, что тривиальное решение уравнения (2.2) экспоненциально р-устойчиво.

Пример.

При рассмотрении работы реальных систем в условиях неопределенности можно использовать разные классы случайных величин и процессов для моделирования различных источников неполноты информации. Вопрос о выборе адекватной модели весьма существенен и крайне не прост. В каждом конкретном случае он должен специально исследоваться. Пусть, например, устойчивая скалярная система находится под действием случайных сил и описывается уравнением

. (3.4)

Тогда в соответствии с формулой Ито решение уравнения (3.4) имеет вид

Отсюда, используя закон повторного логарифма, заключаем, что при достаточно большой интенсивности  возмущения система (3.4) асимптотически устойчива по вероятности, т.е., в частности, систему можно стабилизировать (сделать устойчивой) за счет неопределенных факторов. Однако если работа системы описывается уравнением (3.4) в смысле Стратоновича, то это уже не имеет места. Действительно, в силу уравнений Стратоновича и Ито уравнение Стратоновича (3.4) эквивалентно следующему уравнению Ито:

На основании формулы Ито решение этого уравнения имеет вид

Значит, при таком способе описания скалярную систему нельзя стабилизировать случайными силами. Таким образом, этот пример показывает, что при описании конкретных физических систем в ряде случаев интеграл Стратоновича предпочтительнее.

Устойчивость линейных систем в среднеквадратическом. Исследуя условия экспоненциальной устойчивости в среднеквадратическом линейных систем вида

 (3.5)

Здесь и - заданные матрицы размера  с непрерывными ограниченными элементами, стандартные винеровские процессы  взаимно независимы.

Теорема4. Для экспоненциальной устойчивости в среднеквадратическом системы (5.6) необходимо и достаточно существование функции , удовлетворяющее оценкам (3.2), (3.3) при .

Достаточность следует из теоремы 3.

Необходимость. Зададим функцию  с помощью равенства

 (3.6)

Здесь постоянный параметр  будет выбран ниже, а через  обозначено решение уравнения (5.6) при  с начальным условием . Согласно определению экспоненциальной устойчивости в среднеквадратическом, имеем

 (3.7)

Из (3.6) и (3.7) вытекает неравенство (3.8):

 (3.8)

Для обоснования положительной определенности функции  заметим, что в силу формулы Ито стохастический дифференциал по  процесса  имеет вид

 (3.9)

где штрих означает знак транспонирования и положено .

Выражение в квадратных скобках в (3.9) с учетом производящего оператора марковского процесса есть результат применения производящего оператора , соответствующего процессу (3.5), к функции . Иными словами,

 (3.10)

Напомним, что . Поэтому  Отсюда и из ограниченности коэффициентов  и  уравнения (3.5) следует существование такой постоянной , что

 (3.11)

 (3.12)

Проинтегрируем теперь обе части равенства (3.10) по  в пределах от  до  и вычислим потом математическое ожидание. С учетом (3.10) - (3.12)заключаем, что

 (3.13)

На основании (3.7) параметр  можно выбрать так, что при всех t справедливо неравенство

Отсюда и из (3.13) следует оценка

Тем самым установлено, что функция (3.6) удовлетворяет соотношениям (3.2) при р=2. Проверим, что для функции (3.6) справедливо неравенство (3.3) при р=2, имеющее в рассматриваемом случае вид

где оператор L задается выражением

Действуя на обе части формулы (3.6) оператором L, находим

 (3.14)

Имеем  Поэтому на основании равенства (3.14) получим

Скалярные уравнения n-го порядка.

Приведем условия асимптотической устойчивости в среднеквадратическом линейного уравнения, коэффициенты которого  возмущаются взаимно независимыми винеровскими процессами . Рассматриваемое уравнение имеет вид

 (3.15)

где  и  - заданные постоянные, и введено обозначение

Решение уравнения (5.16) при  определяется заданием в начальный момент времени  значений величин  Условия асимптотической устойчивости в среднеквадратическом системы (5.16) относительно возмущений начального положения формулируются следующим образом.

Теорема5. Для асимптотической устойчивости в среднеквадратическом системы (3.15) необходимо и достаточно, чтобы детерминированная система, полученная из (3.15) при  была асимптотически устойчивой и чтобы был положителен определитель

. Устойчивость по вероятности движения спутника

Устойчивость по тангажу симметричного спутника на круговой орбите

Движение реального спутника Земли определяется многими факторами, среди которых лишь градиент силы тяжести можно рассматривать как детерминированный. Все же остальные (например, аэродинамические и магнитные моменты, солнечная радиация, электрическое поле Земли, метеоритный поток и др.) имеют случайные составляющие. Кроме того, моменты инерции спутника, на величину которых влияют термоупругие колебания антенн и солнечных батарей, перемещение экипажа, движение жидкости в баках, также являются случайными.

Второй метод Ляпунова может быть применен при рассмотрении вопросов устойчивости движения спутника под действием случайных возмущений. Рассмотрим плоское движение симметричного спутника по круговой орбите. Предполагается, что угол тангажа  и скорость  описывается системой двух уравнений Ито:

 (4.1)

Здесь - стандартный винеровский процесс, постоянные и  определяются параметрами движения спутника, - интенсивность случайных возмущений атмосферы. При этом  - динамический коэффициент аэродинамического момента, - момент сил тяготения. Задача состоит в определении условий устойчивости по вероятности нулевого решения систем (4.1). Для этого используем теорему 1 и положим

 (4.2)

где параметр будет выбран ниже.

В силу (4.1), (4.2) и формулы производящего оператора марковского процесса получаем

 (4.3)

Из соотношений (4.2), (4.3) следует, что условия (3.1) выполнены, если . Исследуя зависимость допустимых значений от  при фиксированном , заключаем, что область изменения  окажется наибольшей при

Значит устойчивость по вероятности движения спутника по углу тангажа имеет место, если

 (4.4)

Из этого условия видно, что при отсутствии возмущений () движение по тангажу устойчиво, если момент сил тяжести удовлетворяет неравенству . При наличии же возмущений на основании (6.4) получим

Следовательно, учет возмущений приводит к уменьшению возможных значений моментов сил тяготения, при которых сохраняется устойчивость по тангажу движения спутника.

Устойчивость по углу рыскания спутника по круговой и экваториальной орбитах

Рассмотрим плоские колебания симметричного спутника на круговой и экваториальной орбитах по углу рыскания, обусловленные случайными флуктуациями магнитного поля Земли. Уравнения для угла рыскания имеют вид

 (4.5)

где - интенсивность случайных возмущений магнитного поля, а и - положительные постоянные, зависящие от детерминированной составляющей магнитного поля и характеристик спутника.

Исследуем устойчивость по вероятности нулевого положения равновесия системы (4.5) с помощью теоремы (3.1). Положим

Вычислим , получим

Отсюда видно, что условия (3.1) выполнены, если

 (4.6)

Таким образом, колебания по углу рыскания относительно случайных возмущений магнитного поля Земли устойчивы по вероятности, если интенсивность этих возмущений удовлетворяет неравенству (4.6).