Решение задач: В задачах 4 7 составить экономикоматематические модели 4

Построим математическую модель задачи. Пусть х₁-количество изделий вида 1, шт, х₂ - количество изделий вида 2, шт запланированных к производству.Для их изготовления потребуется (7 х₁ +3х₂) единиц ресурса I, (8х₁ +12х₂) единиц ресурса II, (6х₁ +8х₂) единиц ресурса III. Так как, потребление ресурсов I, II, III не должно превышать их запасов, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:Конечную цель решаемой задачи – получение максимальной прибыли при реализации продукции – выразим как функцию двух переменных х₁ и х_2.Суммарная прибыль составит 18х₁ от реализации продукции 1 и 16х ₂ от реализации продукции 2, то есть : L = 18х₁ +16х _2. →max.Построим область допустимых решений

В первую очередь, найдем область допустимых решений, т.е. точки x1 и x2 , которые удовлетворяют системе ограничений.

По условию задачи x1 0, x2 0 ,т.е. мы рассматриваем только те точки, которые принадлежат первой четверти.

Шаг 1 Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений. 7 x1 + 3 x2 250   Построим прямую. Заменим знак неравенства на знак равенства . 7 x1 + 3 x2 = 250  Преобразуем уравнение следующим образом . x1 + x2 = 250 1/7 1/3 Каждый член уравнения разделим на 250 . x1 + x2 = 1 250/7 250/3 Мы получили уравнение прямой в отрезках. Данная форма записи позволяет легко нарисовать прямую. На оси x1 рисуем точку с координатой 250/7 . На оси x2 рисуем точку с координатой 250/3 . Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую.  Какие точки нас интересуют? 7 x1 + 3 x2 250  3 x2 -7 x1 + 250 x2 -7/3 x1 + 250/3 Знак неравенства меньше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие ниже построенной нами прямой.

Шаг 2

Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений.

8 x1

+ 12 x2

190

 Построим прямую.

Заменим знак неравенства на знак равенства .

8 x1

+ 12 x2

=

190

Преобразуем уравнение следующим образом .

x1	+	x2	= 190
1/8		1/12

Каждый член уравнения разделим на 190 .

x1	+	x2	= 1
95/4		95/6

Мы получили уравнение прямой в отрезках. Данная форма записи позволяет легко нарисовать прямую. На оси x1 рисуем точку с координатой 95/4 . На оси x2 рисуем точку с координатой 95/6 . Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую.

 Какие точки нас интересуют?

8 x1

+ 12 x2

190

12 x2

-8 x1

+ 190

x2

-2/3 x1

+ 95/6

Знак неравенства меньше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие ниже построенной нами прямой.

Шаг 3

Рассмотрим неравенство 3 системы ограничений.

6 x1

+ 8 x2

210

 Построим прямую.

Заменим знак неравенства на знак равенства .

6 x1

+ 8 x2

=

210

Преобразуем уравнение следующим образом .

x1	+	x2	= 210
1/6		1/8

Каждый член уравнения разделим на 210 .

x1	+	x2	= 1
35		105/4

Мы получили уравнение прямой в отрезках. Данная форма записи позволяет легко нарисовать прямую. На оси x1 рисуем точку с координатой 35 . На оси x2 рисуем точку с координатой 105/4 . Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую.

 Какие точки нас интересуют?

6 x1

+ 8 x2

210

8 x2

-6 x1

+ 210

x2

-3/4 x1

+ 105/4

Знак неравенства меньше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие ниже построенной нами прямой.

Шаг 4

Вернемся к нашей исходной функции L .

L =

18 x1

+ 16 x2

Допустим значение функции L равно 1 (абсолютно произвольно выбранное число), тогда

1 =

18 x1

+ 16 x2

Данное уравнение является уравнением прямой на плоскости.

Из курса аналитической геометрии известно, что данная прямая перпендикулярна вектору, координатами которого являются коэффициенты функции, а именно вектору ON = (18,16).

Следовательно, с геометрической точки зрения, функция L изображается как множество прямых перпендикулярных вектору ON = (18,16).

Построим вектор ON = (18,16).

Вектор ON изображен розовым цветом.

Значение функции L будет возрастать при перемещении прямой в направлении вектора ON.

Диапазон перемещения прямой НЕ от точки O до точки N, а именно, в направлении от точки O к точке N.

Будем перемещать прямую, перпендикулярную вектору ON, до тех пор, пока она полностью не пройдет область допустимых решений.

В нашем случае, касание прямой, перед выходом из области допустимых решений, произойдет в вершине C (95/4,0). В точке C значение функции L будет наибольшим.

Ответ :

Lmax = 855/2

x1 = 95/4     x2 = 0

Значит необходимо выпускать 95/4 штук изделий вида 1, чтобы получить максимальную прибыль в размере 855/2 ден едЧерез точку С(95/4,0) определяющую оптимальный план проходят прямые ВС и АС. Соответствующие им ограничение 8x₁+12x₂≤190 является активным, а соответствующий вид сырья номер 2 является дефицитным. Рассмотрим увеличение запасов сырья номер 2( то есть правой части ограничения). Это увеличение можно представить как перемещение прямой ВС параллельно самой себе до точки пересечения прямой 6х1+8х2=210. Тогда ограничение ВС остается активным, точка (35,0) будет определять оптимальное решение, ресурс 2 увеличиться до 8*35+12*0=280. При этом величина дохода составит 18*35+16*0=630 ден ед. Таким образом увеличение объема ресурса номер 2 с190 до 280 приведет к увеличению выпуска продукции первого типа от 23,75 до35 и увеличению прибыли от 855/2 до 630 ден ед.Определим диапазон изменения запасов недефицитных ресурсов, при котором оптимальное решение не меняется. Через точку С не проходят прямые 7х1+3х2=250,6х1+8х2=210, являются пассивными, а соответствующие им ресурсы недефицитными. Уменьшение запаса сырья номер 2 с 250 до 166,25 не изменить оптимального плана. Так же уменьшение запаса сырья номер 3 с 210 до 142,5 не изменит оптимального плана. Однако еще более существенное уменьшение запасов сырья первого и второго видов приведет к уменьшению прибыли и другому оптимального плану.