Решать задачу
Fx > extr, lx = 0 (3.1)
будем методами, разработанными на Пермском семинаре. Наиболее подходящим является метод двойной W-подстановки. Положим, что x - элемент H2[0, b]-пространства дважды абсолютно непрерывных функций, вторая производная которых принадлежит L2[0, b]. В качестве вспомогательной задачи возьмем
jx'' = z, x(0) = x(b) = 0. (3.2)
Ее решение описано выше. Подставим его в выражение для F, получим функционал в L2:
,
- в дискретном и непрерывном случае соответственно.
Используя для каждого слагаемого в F1 формулу, устанавливающую равенство скалярного произведения двух элементов гильбертова пространства, выражающихся с помощью линейных операторов, (Ax, By) = (B*Ax, y) (B* - сопряженный к B оператор), находим
(3.3)
Здесь K - самосопряженный линейный оператор соответственно для дискретного и непрерывного случая:
,
Функционал (3.3) поглотил два краевых условия. Оставшиеся в пространстве L2 обретут вид
, i = 2, … , N-1. (3.4)
Используя теорему Рисса [5], найдем, что функционалу l'i взаимно однозначно соответствует элемент L2 такой, что l(i)(s) = G(ai, s)/j(s). Следовательно, решение z должно быть ортогонально этому элементу, а поскольку это верно для любого i = , оно ортогонально линейной оболочке элементов l(i) (обозначим ее Y). Проектор на ортогональное дополнение Y^ к этому подпространству задается следующим образом:
y(t) = = ((I-P)z)(t).
Здесь mij - элементы матрицы, обратной матрице скалярных произведений {(l(i ), l(j ))}.
Данное выражение и есть вторая W-подстановка, сводящая задачу в подпространство L2, с тем лишь отличием, что проектор применяется к H, а не H применяется к нему.
Нам следует исследовать оператор Ay = (I-P)Hz = [I - (I-P)K0]z : Y^>Y^ Поскольку P - проектор на Y, то PI есть нулевой элемент в пространстве Y?.. Необходимым условием минимума F1 является Ay = 0. Это - уравнение Фредгольма второго рода, следовательно, если единица - собственное значение l' оператора (I - P)K0, оно разрешится неоднозначно. Значит, функционал F будет иметь неединственный минимум. Соответствующее собственному значению l' значение скорости вращения вала получается из выражения
n = l-1/2,
где l - собственное значение оператора (I - P)K.
Таким образом, доказана теорема 1**.
Теорема 1**. Собственные значения оператора A однозначно определяют критические обороты вала.
Для примера рассмотрим вал, размещающийся на трех опорах, на двух из которых расположены его концы (дискретный случай). Поместим левый конец вала в точку, соответствующую началу координат, правый будет иметь координату b. Третья опора - в точке a О (0, b). Тогда функционал F имеет вид
при условиях x(0) = x(a) = x(b) = 0.
Решим задачу
Fx > extr, x(0) = x(a) = x(b) = 0
по вышеприведенной схеме.
Первая фаза решения такая же, как и в общем случае. В качестве вспомогательной задачи берем (3.2), ее решением будет (1.2); после подстановки этого решения в F и в оставшееся краевое условие получим задачу в L2, где соответствующий оператор F1 будет иметь вид (3.3), а оставшееся условие связи (3.4) перепишется в виде
,(3.5)
функционалу l3' взаимно однозначно соответствует элемент L2 l(3)(s) = G(a,s)/j(s). Следовательно, решение должно быть ортогонально этому элементу. Проектор на ортогональное дополнение к этому элементу задается следующим образом:
y(t) == ((I-P)z)(t).
Нам следует исследовать оператор A = (I-P)Hz = I - (I-P)K0 : Y^>Y^. Собственные значения оператора
где (Qj z)(t) = , определяют критические обороты вала.
Для трехопорного вала можно использовать и другой метод решения при некоторых ограничениях.
Решать задачу
Fx > extr, x(0) = x(a) = x(b) = 0
будем следующим образом. Положим, что x - элемент H3[0, b] - пространства трижды абсолютно непрерывных функций, третья производная которых принадлежит L2[0, b]. Проводя вышеописанные манипуляции с первой W-подстановкой, мы переведем задачу в H1 с функционалом (3.3) и краевым условием (3.5).
В качестве второй вспомогательной задачи возьмем
z' = w, = 0, z О L2.
Ее решением будет
z(t) (L2w)(t) = ,
где s, t О [a, b],
- функция Грина второй вспомогательной задачи (здесь w О L2).
Таким образом, рассматриваемый функционал приобретает вид
(здесь (Rjw)(t) = m (L1 L2 w)2(tj)/b - линейные преобразования L2[0, b]). Применяя к F2 формулу для скалярного произведения элементов гильбертова пространства, выражающихся с помощью линейных операторов A и B (Ax, By) = (B*Ax, y), имеем
Здесь - самосопряженный линейный оператор, определённый в L2.
В монографии [4] установлено, что уравнение Нw = 0 является необходимым условием того, что его решение - минимум функционала F2, а его минимумы взаимно однозначно соответствуют минимумам функционала F. Поэтому необходимо решить уравнение (I - K0)w = 0.
Оно, очевидно, разрешится неоднозначно, если единица - собственное значение оператора K0 = I - H. Так как собственное число последнего зависит только от частоты вращения вала, то, приравняв его единице, мы найдём критические частоты.
Следовательно, критические скорости вращения вала взаимно однозначно соответствуют собственным значениям оператора K0.
С формальной точки зрения уравнение Hw = 0 ((I-K0)w = 0) - уравнение первого рода. Для его решения проводилась регуляризация.
4. Интегральные неравенства
Рассмотрим канонический функционал
Fx=
и задачу Fx > min, lx = 0 (l: Hn > Rn).
Минимум, если он существует, достигается на функции y(t) ? 0. Путем W-подстановки решаем задачу отысканием безусловного минимума в L2 у следующего функционала:
F1z = .
Тогда для функций x, удовлетворяющих краевым условиям lx =0, должно выполняться неравенство
? .
Это неравенство позволяет получить множество интегральных неравенств.
Для получения "неулучшаемых" неравенств следует иметь в виду, что для самосопряженного оператора K норма оператора равна его спектральному радиусу и оценка ||K||<1 необходима и достаточна для существования минимума.
В качестве примера рассмотрим неравенство Виртингера:
(4.1)
при условии = 0.
Здесь x О H1, пространству функций, чья первая производная принадлежит L2, пространству функций, суммируемых с квадратом.
Преобразуем неравенство к виду
? 0
и рассмотрим следующую вариационную задачу:
,
.(4.2)
Вариационную задачу (4.2) будем решать методом W-подстановки, разработанным Пермским семинаром. В качестве модельной задачи возьмем x' = z c условием исходной задачи, где zОL2. Ее решением будет
x(t) = (Lz)(t) = .
Это выражение и есть W-подстановка. Здесь G(t, s) - функция Грина модельной задачи:
G(t, s) =
Совершив W-подстановку, мы получим задачу на безусловный минимум в пространстве L2:
F1z--=-->--min.
Применив ко второму слагаемому формулу (Ax, By) = (B*Ax, y), где B* - сопряженный к B оператор, получим
F1z ==> min.
С целью доказательства исследуется более общая задача:
> min, =0,
где p(t) - суммируемая на [a,b] функция. Получив условия разрешимости этой задачи, можно проверить их для случая (1) и, таким образом, получить доказательство неравенства Виртингера. После редукции задачи (2) к задаче на безусловный экстремум в пространстве L2 с помощью W-подстановки получаем
Fz = > min,
где - оператор умножения на p: (y)(t) = p(t) y(t).
Достаточным условием разрешимости этой задачи является неравенство ||G*G||?1. Используя свойства оператора G*, можно убедиться, что это неравенство сводится к неравенству
lmax<1, (4.3)
где lmax -- максимальное собственное значение задачи для дифференциального уравнения второго порядка: z"(t) = -z(t), z(a) = z(b) = 0.
Решая эту задачу на определение собственных значений, найдем lmax = -p. Следовательно,
и справедливо неравенство
.
Поскольку это числовое неравенство, при устремлении e > 0 получим
.
5. Зависимость параметра квадратичной вариационной задачи от числа краевых условий
Пусть имеется стержень длиной b, на один из концов которого вдоль стержня действует сила P, функция x, выражающая осевую линию стержня, доставляет согласно вариационному принципу механики минимум функционалу
Fx = ,
x(0) = x(b) = 0,
где j = E - модуль упругости,--j(t) - кусочно абсолютно непрерывная функция, j >d >0, j--О L2, |j(t)|<?, E - модуль Юнга материала вала, - момент инерции его поперечного сечения относительно центра стержня. Будем полагать x О H2.
Решать задачу будем методами Пермского семинара. В качестве модельной задачи возьмём (zОL2)
x''(t) = z(t), x(0) = x(b) = 0.
Ее решение имеет вид
x(t) (Lz)(t) = .
Здесь G - функция Грина задачи x''(t) = z(t), x(0) = x(b) = 0 - имеет вид
G(t, s) = t, s О [0, b].
Осуществив W-подстановку, имеем задачу в пространстве L2
,
G1(t, s) = t, s О [0, b].
Применив равенство (Ax, By) = (B*Ax, y), получим F1z = =.
Здесь оператор K имеет вид
(Kz)(t) = =(PK' z)(t).
Условие || K || < 1 гарантирует устойчивость стержня. Следовательно, критическая сила сжатия двухопорного стержня удовлетворяет условию P0 > .
Пусть теперь мы имеем трехопорный стержень, дополнительное условие связи x(a) = 0 (a О--[0, b]) для исходного функционала и
l(3)z = = 0 для F1.
Применим метод двойной W-подстановки. Через l3 обозначим ядро оператора l(3). Имеем ортогональный проектор на подпространство Y, определяемое функцией l3(s),
.
Очевидно, из вида оператора R, ||R|| ? 1, следовательно, так как (I-R) является ортогональным проектором (на ортогональное дополнение Y), то ||I-R|| ? 1. Оператор H3 для трёхопорного стержня выглядит так:
H3 = (I-R)H = I - (I-R)K.
Оператор K, который требуется исследовать, имеет следующий вид:
K3 = (I-R)K.
Используя свойства линейных операторов и вышеприведенное соображение, получаем вариационный вал квадратичный задача
|| K3 || ? || I-R|| ||K || ? || K ||.
Следовательно, если ||K||?1, то и ||K3|| ? 1. Пользуясь видом оператора K и линейностью проектора, имеем
K3 = P K3', где K3' = (I-P)K'.
Из неравенства ||K3|| ? ||K|| получим, что критическая сила трехопорного вала P30 ? P0.
В N-опорном случае мы получаем несколько дополнительных условий в пространстве L2 c ядрами интегральных операторов li, i = 3, …, N. Проектор на их линейную оболочку имеет вид
(Rz)(t) = .
Здесь mij - элементы матрицы, обратной матрице скалярных произведений {(l(i ), l(j))}. Следует добавлять по одному условию, при этом согласно вышеприведенным рассуждениям получим на каждом шаге
Pi+1 0 ? Pi 0 .
Тем самым доказано, что при увеличении числа краевых условий критическое значение параметра увеличивается.
Список литературы
1. Цалюк В.З. Решение задачи об устойчивости стойки c несколькими дополнительными опорами // fde-perm.livejournal.com 2009.
2. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. Ч.1. М., 1976. 608 с.
3. Азбелев Н.В., Култышев С.Ю., Цалюк В.З. Функционально-дифференциальные уравнения и вариационные задачи. М., Ижевск: РХД, 2006. 122 с.