Статья: Вариационные задачи в свете современной теории функционально-дифференциальных уравнений

Г. П. Бочкарев

24

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Математика. Механика. Информатика Вып.2(39)

1

Пермский государственный технический университет

Вариационные задачи в свете современной теории функционально-дифференциальных уравнений

Математика

УДК 517.972.5

Г. П. Бочкарёв

614990, Пермь, Комсомольский проспект, 29

Аннотации

Рассматривается ряд задач, либо непосредственно являющихся вариационными, либо решаемыми с помощью вспомогательных вариационных задач. Многие из этих задач решаются при более слабых условиях, чем это возможно в рамках классического вариационного исчисления.

Variational problems under contemporary theory of functional differential equation

G.P. Botschkaryov

Perm State Technical University, 614990, Perm, Komsomolskiy pr., 29

There are considered raw of problems, that is variational problems or being desided with help of variational problems. Many problems are solved under more weak condition than it is possible in classic theory.

1. Критические обороты двухопорного вала

Пермский семинар предложил новый подход к решению задач классического вариационного исчисления. Этот подход применялся к оценке критической силы сжатия стержня и прогиба балки под действием распределенной силы, перпендикулярной оси балки [1]. Суть подхода заключается в рассмотрении задачи в гильбертовом пространстве и сведении задачи к оценке спектрального радиуса.

Продолжая упомянутые исследования, мы предлагаем новый способ решения классической задачи оценки числа критических оборотов вала. Классические методы решения этой задачи требуют, чтобы функция, выражающая осевую линию вала, была четырежды непрерывно дифференцируема, в то же время известно, что третья производная ее терпит разрыв [2].

Задача ставится следующим образом. Имеется вал, расположенный на двух опорах. Проведём ось t через центры концов вала и поместим один из них в начало координат, тогда второй будет находиться в точке t = b. Вал вращается с частотой n, его упругая линия описывается функцией x(t), которая в силу вариационного принципа механики доставляет минимум функционалу F при нулевых краевых условиях:

(1.1)

где n - частота вращения вала, (E - модуль Юнга материала вала, - момент инерции его поперечного сечения относительно центра этого сечения), j(t) - кусочно абсолютно непрерывная функция, j >d >0, j--О L₂, |j(t)|<?. T_j : Hⁿ > L₂ - линейные ограниченные отображения; Hⁿ - пространство функций, n-1-е производные которых абсолютно непрерывны, а n - элемент пространства L₂ функций, суммируемых с квадратом, J - конечное множество индексов. В рамках сопротивления материалов принято считать, что первое слагаемое имеет смысл потенциальной энергии, второе - кинетической. Операторы T_j принимают различный вид в зависимости от того, какого рода вал является объектом задачи: безмассовый с точечной нагрузкой, массивный с точечной нагрузкой, массивный с распределённой нагрузкой и т.д.

Задачу удобно решать в пространстве H². Выбор этого пространства ясен из изоморфизма H² @ R² Ч L₂, наличия двух данных краевых условий. Очевидно, если F ограничен снизу, то x(t)=0 является решением задачи с функционалом (1). Если решение единственно, то состояние вала можно считать стабильным. Найдем, когда это условие нарушается.

В рамках метода принято рассматривать вспомогательную задачу, которая позволит установить соответствие между подмножеством пространства H² и пространством L₂ и одновременно привести задачу к более удобной для исследования форме. В качестве вспомогательной задачи найдем решение дифференциального уравнения (z О L₂)

jx'' = z, x(0) = x(b) = 0.

Решением задачи будет

.(1.2)

Здесь

- функция Грина задачи x'' = z, x(0) = x(b) = 0, где z О L₂. Мы свели задачу на условный минимум в H² к задаче на безусловный минимум в L₂. После проведения W-подстановки (1.2) в (1.1) имеем

Удобно обозначить Q_j = T_jL - линейное непрерывное преобразование L₂. Используя для F₁ равенство (Af, Bg) = (B*Af, g), где f, g - элементы гильбертова пространства, A, B - линейные преобразования в нем, получаем

(1.3)

Здесь (Kz)(t)= - самосопряженный линейный оператор, определенный в L₂ .

Необходимым условием того, что z₀ - минимум функционала F₁ (а соответствующее ему значение x₀ - минимум F), является то, что оно обращает уравнение Hz=0 в тождество. Поэтому следует решить уравнение

(I - K₀)z = 0

(I - тождественный оператор, K₀ = n² • K). Это уравнение, очевидно, разрешится неоднозначно, если единица - собственное значение оператора K₀. Найдем теперь такие скорости вращения вала, что собственным числом соответствующего им оператора K₀ будет единица. Тогда, если соответствующее решение будет доставлять минимум функционалу F₁, скорость вращения будет критической.

Отметим, что собственные значения операторов K и K₀ (соответственно l и l₀) находятся во взаимно однозначном соответствии l n² = l₀. Следовательно, для того чтобы l₀=1, необходимо, чтобы l > 0, так как, согласно физическому смыслу задачи, n>0. Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Критические частоты вращения вала взаимно однозначно соответствуют положительным собственным значениям оператора K согласно формуле

n----= l₀^-1/2. (1.4)

Пример 1. Рассмотрим частный случай невесомого вала, у которого в точке t--О (0, b) размещена сосредоточенная масса m. Тогда задача (1.2) примет вид

Оператор K₀ - вырожденный:

.

Его спектр состоит из двух чисел, причем ненулевое собственное значение l₀ и критические обороты вала n_кр находятся по формулам

,

.

Достаточное условие отсутствия критических оборотов:

.

Пример 2. Обратимся теперь к другому частному случаю: на валу расположены 2 массы: m₁ - в точке t₁, m₂ - в точке t₂. Функционал (1) имеет вид

при условиях x(0) = x(b) = 0 (t_j О [0, b]).

Оператор K₀ - вырожденный:

.

Его ненулевые собственные значения положительны и определяются выражением

,

(доказательство положительности собственных значений может быть получено при помощи неравенства Гёльдера), а критические обороты вала соответственно

.

Достаточное условие единственности минимума:

.

Пример 3. Наконец, рассмотрим цилиндрический весомый вал с распределением массы; q² = q²(t) - распределение массы. Функционал задачи примет вид

при условиях x(0) = x(b) = 0.

Обозначим j = ||j(·)||, q = ||q(·)|| (норма j вычислена в пространстве L_?, норма q -- в пространстве L₂).

Оператор

имеет невырожденное ядро вида Q*Q, поэтому его спектр здесь не будет точно рассчитываться. Однако оценка числа оборотов вала, при которых система стабильна, может быть получена из условия ||K₀||_S(L2) < 1. Учитывая равенства ||Q|| = ||Q*|| и неравенства ||K₀|| Ј ||Q*|| ·||Q|| и ||Q|| Ј--r(Q), положив r(Q)<1 (что приводит в силу транзитивности отношения частичного порядка к требуемому условию) и переходя в пространство H², получим задачу на собственные значения для дифференциального уравнения второго порядка. Из ее решения имеем оценку:

.

2. Задача о критических оборотах вала, опоры которого расположены в двух его точках, не обязательно на концах

Применим вышеописанную методику для исследования критических скоростей вращения вала, чьи опоры расположены не обязательно на концах. Зададим систему координат так, что левый конец вала соответствует началу координат, правый будет иметь координату b, левая опора - a, правая - b по оси t. Таким образом:

0 ? a < b ? b.

Обозначим за x функцию, выражающую осевую линию вала, тогда, согласно вариационным принципам механики, она доставляет минимум функционалу F из соотношений (1.1) (при условиях x(a) = x(b) = 0 (t О [0, b])).

Решать задачу

Fx > min, x(a) = x(b) = 0 (2.1)

будем методами, разработанными на Пермском семинаре [3]. Будем полагать, что x - элемент пространства H²[0, b] функций, чья первая производная абсолютно непрерывна, вторая производная принадлежит пространству L₂[0, b] функций, суммируемых с квадратом. В качестве модельной задачи возьмем

jx'' = z, x(a) = x(b) = 0.

Ее решением будет

. (2.2)

Здесь G(t,s) - функция Грина задачи x'' = z, x(a) = x(b) = 0 - выражается следующим образом:

(2.3)

Подстановка (2.2) в (2.1) называется W-подстановкой, она приводит к задаче на безусловный минимум в L₂ с функционалом (1.3). Проводя рассуждения, аналогичные приведенным в предыдущем пункте, получим, исходя из исследования необходимого условия на минимум функционала Hz=0, условия l₀ = 1, гарантирующего нарушение единственности минимума, соотношение между критическими скоростями вала n и собственными значениями l оператора K:

n----= l^-1/2,

аналогичное (1.4).

Таким образом, имеет место следующая теорема, аналогичная рассмотренной выше.

Теорема 1*. Критические частоты вращения вала взаимно однозначно соответствуют положительным собственным значениям оператора K.

Пример 1. Рассмотрим частный случай невесомого вала, у которого в точке t--О [0, b] размещена сосредоточенная масса m. Тогда задача (2.1) примет вид

Оператор K₀ - вырожденный:

.

Его собственное значение l и критические обороты вала n_кр соответственно равны

Достаточное условие отсутствия критических оборотов:

.

Представляет интерес частный случай консольного вала, когда одна из опор находится на конце вала, а на другом, ни на что не опирающемся конце расположен груз массой m. Не ограничивая общности, можно считать, что указанная опора находится на левом конце в точке 0, груз - в точке b. Исходный функционал приобретет вид

Решая ту же модельную задачу, что и в общем случае, получим

.

Здесь

- функция Грина задачи x'' = z, x(0)= x(b) = 0.

Оператор K₀ имеет вид

.

Здесь

При n < механическая система, содержащая вал, стабильна (отсутствуют критические обороты).

Пример 2. Обратимся теперь к другому частному случаю: на валу расположены 2 массы: m₁ в точке t₁, m₂ - в точке t₂. Получим цепочку соотношений, аналогичную той, что имелась для подобного случая в предыдущем пункте. Функционал (1) примет вид

при условиях x(a) = x(b) = 0 (t_j О [0, b]).

Оператор K₀ - вырожденный:

.

Его ненулевые собственные значения положительны и определяются выражением

,

Рассмотрим случай, когда на массивный вал с распределением в плотности q²(t) воздействует сосредоточенная (в точке t) нагрузка. Функционал (1) имеет вид

Здесь

Оператор невырожденный, поэтому критические скорости могут быть найдены только приближенно.

При сравнении двух случаев - массивный вал и его замена на немассивный с точечной нагрузкой в точке, соответствующей центру масс первого - находим, что погрешность такой замены может превышать 10%.

3. Многоопорные системы

Будем рассматривать задачу о критических скоростях вращения многоопорного круглого вала, т.е. о таких частотах его вращения, при которых система приходит в неустойчивое состояние.

Пусть вал покоится на N>2 опорах, на двух из них расположены его концы. Зададим систему координат таким образом, что левый конец вала будет соответствовать началу координат, правый - иметь координату b. Координаты опор обозначим через a_i. Не ограничивая общности, будем считать

0 = a₁ < a₂ < … < a_N = b.

Обозначим через x функцию, выражающую осевую линию вала (в качестве x возьмем элемент пространства Hⁿ функций, (n - 1)-я производная которых абсолютно непрерывна, а n-я принадлежит L₂, пространству функций, суммируемых с квадратом), тогда она, согласно вариационным принципам механики, доставит минимум функционалу (при условиях lx = 0):

- для случая, когда массы m_j сосредоточены в точках t_j (дискретный случай),

- для случая массы, распределенной по валу с линейной плотностью q²(t) (непрерывный случай), где j = (E - модуль Юнга материала вала, I - момент инерции его поперечного сечения относительно центра этого сечения), n - частота вращения вала. Граничное условие суть функционал l: Hⁿ > R^N, представимый в виде lx = {l₁x, l₂x, …, l_Nx} = {x(0), x(a₂), … , x(b)} = {0, …, 0}. Исходя из вариационных принципов механики видно, что осевая линия вала - функция, дающая минимум этому функционалу.