Документ: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001), страницы 557-561

Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Смотрите также:

9.1. Общая формула для функционального интеграла	509

q	p = ∏	1	exp(iq	a	p	a	) .	(9.1.12)


		2p
	a

В гейзенберговской картине операторы Q и P обретают зависимость от времени:

Qa	(t) ≡ exp(iHt)Qa exp(−iHt) ,	(9.1.13)
Pa	(t) ≡ exp(iHt)Pa exp(−iHt) ,	(9.1.14)

где Н — полный гамильтониан. Собственные состояния |q; tñ è |p; tñ этих операторов

= qa

q; t ,

(9.1.15)

Qa (t)

q; t

= pa

p; t ,

(9.1.16)

Pa (t)

p; t

определяются формулами

q; t

= exp(iHt)

q ,

(9.1.17)

p; t

= exp(iHt)

p .

(9.1.18)

(Заметим, что |q;tñ есть собственное состояние оператора Qa(t) с собственным значением qa, а не результат эволюции состояния |qñ

к моменту времени t. Именно поэтому зависимость от времени определяется множителем exp(iHt), а не exp(-iHt).) Эти состояния оче-

видно удовлетворяют условиям полноты и ортонормированности:

X	∏ dqa	q; t		= 1,
X
Y			q; t			(9.1.21)
Z			q; t			(9.1.21)
Z	a
X	∏ dpa	p; t			= 1,
X
Y			p; t			(9.1.22)
Z			p; t			(9.1.22)
Z	a

510 Глава 9. Методы функционального интегрирования

а также условию

q; t	p; t = ∏	1	exp(iq	a	p	a	) .	(9.1.23)


		2p
	a

Если при измерении в момент времени t обнаруживается, что система находится в определенном состоянии |q; tñ, то амплитуда вероятности того, что при измерении в момент времени t¢ система будет находиться в состоянии |q'; t'ñ, равна скалярному произведению áq¢; t¢|q; tñ. Главная задача динамики заключается в вычислении

этого скалярного произведения.

Это легко сделать, если t¢ и t бесконечно близки, скажем, t¢ = t + dt è t = t. С помощью формулы (9.1.17) находим

q′; τ + dτ		q; τ = q′; τ		exp(−iHdτ)		q; τ .	(9.1.24)

Гамильтониан Н задается как функция H(P,Q), но поскольку операторы (9.1.13) и (9.1.14) являются преобразованиями подобия, а Н коммутирует сам с собой, можно записать гамильтониан как ту же самую функцию операторов Q(t) и P(t):

H º H(Q, P) = eiHtH(Q, P)e− iHt = H(Q(t), P(t)) .

(9.1.25)

Если менять порядок следования операторов Q и P, используя коммутационные соотношения (9.1.1) и (9.1.2), эту функцию можно представить в разных формах, отличающихся постоянными коэффициентами. Здесь удобно выбрать стандартную форму гамильтониана, когда все операторы Q находятся слева от всех операторов P. Например, если гамильтониан содержит слагаемое вида PaQbPc, мы переписываем его следующим образом: PaQbPc = QbPaPñ - idabPc. С учетом этого соглашения, операторы Qa(t) â ãà-

мильтониане в формуле (9.1.24) можно заменить * на их собственные значения q′a. Что касается P(t), то используя (9.1.23), можно разложить состояние |q; tñ по собственным состояниям |p; tñ опера-

тора Р, так что в результате

* Это возможно потому, что при бесконечно малых dτ в разложении exp(−iHdτ) можно ограничиться линейными по Н членами.

9.1. Общая формула для функционального интеграла	511

q¢;

d

q;

X

Õ

dp

q¢;

t

expa

-

iH(Q(

), P(

))d

f

p;

t

p;

t

q;

t

t + t

t = Y

a

t

Z

a

X

Õ

dpa

L

å

O

=

Y

expM-iH(q¢, p)dt + i

(q¢ - q

)p

P ,

Y

2p

M

a

a P

Z

a

N

a

Q

(9.1.26)

где по каждому рà проводится интегрирование от -¥ äî ¥.

Вернемся к более общему случаю конечного интервала времени. Чтобы вычислить матричный элемент áq¢; t¢|q; tñ ïðè t < t¢, разобъем интервал времени от t до t¢ последовательными моментами

времени t, t1, t2, ..., tN, t¢,	ãäå
τk+1 − τk	= dτ = (t′ − t) / (N + 1),	(9.1.27)

на малые участки (t, t1), (t1, t2), ..., (tN, t')и просуммируем по полному набору состояний |q; tkñ в каждый момент времени tk:

q¢; t q; t = z dq1 . . . dqN q¢; t qN ; tN qN ; tN qN −1; tN −1 . . . q1; t1 q; t .

(9.1.28)

После подстановки представления (9.1.26) получаем:

q¢; t

q; t =

X L N

O L N

dpk,a

O

Y

M

dq

P M

P

Y

MÕÕ

k,a P MÕÕ

2p

P

Z Nk=1 a

Q Nk=0 a

Q

L

N +1R

UO

(9.1.29)

´ expMi

|

(q

- q

)p

- H(q

, p

|

S

k,a

k

−

1,a

k

−

1,a

k

−

)dtVP ,

M

å|å

1

|P

N

k=1 T

a

WQ

q0

º q ,

q N+1

º

q ′.

(9.1.30)

Полученной нами формуле (9.1.29) можно придать более элегантный вид. Определим гладкие интерполирующие функции q(t) è p(t) òàê, ÷òî

qa (τk ) ≡ qk,a , pa (τk ) ≡ pk,a .

(9.1.31)

512	Глава 9. Методы функционального интегрирования

В пределе dτ → 0 (ò. å. N → ∞) показатель экспоненты в формуле (9.1.29) превращается в интеграл по τ:

N+1R

U

å

|

(q

− q

)p

− H(q

, p

|

S

k,a

k−1,a

k

k−1

)dτV

|å

|

k=1 T

a

W

=

N+1R

&

τ

−

τ

U

τ +

τ2

å

|

)p

H(q(

), p(

|

O(d

S

q

(

)

))Vd

)

|å

a

k

a

k

|

k=1 T a

W

(9.1.32)

Xt′ R

→

&

τ

−

τ

U

τ

Y

|

)p

H(q(

), p(

|

S

q

(

)

))Vd .

Y

|å

a

|

Zt

T a

W

Далее, можно определить интеграл по функциям

q(τ), p(τ):

X	Õdqa (τ)Õ		dp (τ)
Y			b	. . .
			2π
Z	τ,a	τ,b

X	Õ		k,a Õ	dp
≡ lim Y		dq		k,b	. . .	(9.1.33)

dτ→0 Z				2π
	k,a		k,b

Тогда формула (9.1.29) принимает вид

q′; t′

×

q; t =

X

Õ

dq

a

(τ)

Õ

Z

Y

τ,a

τ,b

qa (t)= qa

q

a

(t′)

=q′

a

L

t′

R

M

X

τ

&

τ

−

|

)p

)

expMiY d

S

q

(

M

Y

|å

a

Z

T

a

N

t

dpb (τ) 2π

UO	(9.1.34)
\|P
H(q(τ), p(τ))VP .

|P WQ

Правая часть формулы (9.1.34) называется также интегралом по путям *, поскольку интегрирование проводится по всем путям

* Здесь мы частично сохранили авторскую терминологию — «интеграл по путям». Этот исторически первый образный термин вполне уместен применительно к квантовой механике с конечным числом степеней свободы, поскольку здесь речь идет об интегралах по функциям одной переменной (времени) (ср. прим. на с. 509). — Прим. пер.

9.1. Общая формула для функционального интеграла	513

q(t), идущим из точки q при t = t в точку q¢ ïðè t = t¢, а также по всем p(t). Большое преимущество такой записи матричных элемен-

тов заключается в том, что, как показано в разделе 9.3, функциональные интегралы легко вычисляются, если разложить их по степеням константы связи в Н.

Формализм функциональных интегралов, или, коротко, функциональный формализм, позволяет вычислять не только амплитуды вероятностей переходов типа áq¢; t¢|q; tñ, но также и мат-

ричные элементы хронологически упорядоченных произведений произвольных операторов O [P(t),Q(t)] между состояниями áq¢; t¢| è |q; tñ *.

Удобно определить эти операторы так, чтобы (в противоположность Н) все операторы Р были слева, а все Q — справа. Тогда, вставляя любой такой оператор O [P(t),Q(t)] в (9.1.26), получаем:

q¢; t + dt

ObP(t), Q(t)g

X

Õ dpa

q; t = Y

Z

a

´

¢

; t

c

b

g

h

p; t

b

g

q; t

q

exp

-iH

Q(t , P(t) dt

OP(t), Q(t)

X

Õ

dp

L

å

O

(9.1.35)

=

a

expM-iH(q¢; p)dt + i

(q¢

- q

)p

PO(p, q) .

Y

2p

M

a

P

Z

a

N

Q

Чтобы вычислить матричный элемент произведения опе-

раторов OA(P(tA),Q(tA)) OB(P(tB),Q(tB))..., ãäå tA > tB > ..., можно вставить О-операторы между соответствующими состояниями в

правой части формулы (9.1.28) и воспользоваться формулой (9.1.35). Например, если момент времени tA попадает между tk è

tk+1, нужно вставить OA(P(tA),Q(tA)) между áqk+1;tk+1| è |qk;tkñ. Çà-

метим, что каждая последующая сумма по состояниям в формуле (9.1.28) берется в более поздний момент времени, поэтому указанная вставка является единственно возможной в силу нашего предположения, что tA > tB > ... .

* Здесь случайным образом одной и той же буквой t обозначены временные агрументы операторов P(t), Q(t), составляющих оператор O, и состояния |q; tñ.

Вообще говоря, они не совпадают. Напротив, в нижеследующей формуле (9.1.35) необходимо считать t = t, как в формуле (9.1.24), ведущей к формуле

(9.1.26). — Ïðèì. ðåä.

= δ(q′ − q) ,

= δ(p′ − p) ,