Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

498 Глава 8. Электродинамика

что совместно с формулой (8.8.13) приводит к уравнению поля для φ:

Оно инвариантно относительно нового набора калибровочных преобразований φ → φ + dω. Исключение — случай D − p − 2 = 0, когда

калибровочное преобразование. оставляющее F инвариантным, имеет вид φ → φ + c, где с — произвольная константа. Мы видим, что в

случае D пространственно-временных измерений калибровочная теория р-формы А с током J эквивалентна калибровочной теории (D − p − 2)-формы φ с током −∂S.

Теперь можно понять, почему калибровочные теории р-форм не приводят к новым возможностям в четырех измерениях. Мы видели, что нужно рассматривать только случаи p ≤ D − 2, ò. å. ð = 0, 1, 2. 0-

формы являются скалярами S, для которых определение (8.8.5) принимает вид Fμ = ∂μS, а уравнения поля — вид 9S = −J. В данном

случае калибровочная инвариантность означает инвариантность относительно сдвига S → S + c, где с — константа. Это теория без-

массового скалярного поля с взаимодействием с производными. 1-фор- ма — это 4-вектор Aμ(x), взаимодействующий с сохраняющимся

4-вектором тока, т. е. электродинамика. Наконец, согласно приведенному выше общему результату калибровочная теория 2-формы в че- тырехмерном пространстве-времени эквивалентна калибровочной теории 0-формы, а это, как мы видели, эквивалентно скалярному полю с взаимодействием с производными.

Приложение. Следы

При вычислении матричных элементов S-матрицы и вероятностей переходов для процессов с участием частиц спина 1/2, часто приходится вычислять следы от произведения γ-матриц Дирака. По-

этому полезно привести формулы для этих следов, которые используются во всех подобных вычислениях.

500 Глава 8. Электродинамика

Trng μ g νg ρg σ g κ g ηs = 4[hμνhρσ hκη - hμνhρκ hση + hμνhρηhσκ

-hμρhνσ hκη + hμρhνκ hση - hμρhνηhσκ + hμσ hνρhκη - hμσ hνκ hρη

+hμσ hνηhκρ - hμκ hνρhση + hμκ hνσ hρη - hμκ hνηhρσ + hμηhνρhσκ (8.À.7) -hμηhνσ hρκ + hμηhνκ hρσ ] .

Для нечетного числа g-матриц результат намного проще:

Формула (8.А.1) доказывается по индукции. Заметим, прежде всего, что

Trng μ g ν s = -Trng νg μ s + 2Trnhμν × 1s = -Trng μ g ν s + 8hμν ,

òàê ÷òî Tr{gμgν} = 4hμν, в согласии с (8.А.1). Далее, предположим, что (8.А.1) верна для N £ M - 1. Тогда

Trng μ1 g μ2 . . . g μ2M s = 2hμ1μ2 Trng μ3 . . . g μ2M s - Trng μ2 g μ1 g μ3 . . . g μ2M s

= 2hμ1μ2 Trng μ3 . . . g μ2M s - 2hμ1μ3 Trng μ2 g μ4 . . . g μ2M s

+Trng μ2 g μ3 g μ1 g μ4 . . . g μ2M s

=2hμ1μ2 Trng μ3 . . . g μ2M s - 2hμ1μ3 Trng μ2 g μ4 . . . g μ2M s

+ 2hμ1μ4 Trng μ2 g μ3 g μ5 . . . g μ2M s - . . .

+ 2hμ1μ2M Trng μ2 . . . g μ2M−1 s - Trng μ2 . . . g μ2M g μ1 s .

След любого коммутатора равен нулю, так что последнее вычитаемое выражение в правой части равно исходному выражению в левой части, и поэтому

- . . . + hμ1μ2M Trng μ2 . . . g μ2M−1 s .

Если предположить, что формула (8.А.1) правильна для следа любого произведения 2N−2 матриц Дирака, то формула (8.А.9) показывает,

что эта же формула (8.А.1) правильна для следа 2N матриц. Простейший способ убедиться в том, что след нечетного числа

дираковских матриц равен нулю, это заметить, что −γμ связана с γμ преобразованием подобия: −γμ = γ5γμ(γ5)−1. Следы не меняются при та-

ком преобразовании, поэтому след нечетного числа дираковских матриц равен самому себе со знаком «минус» и следовательно равен нулю.

Мы сталкиваемся с еще одним типом следов вида

Trnγ 5 γ μ1 . . . γ μn s.

Такой след обращается в нуль при нечетных n по тем же при- чинам, что и для следов без γ5. Кроме того, этот след равен нулю

ïðè n = 0 è n = 2:

(Чтобы увидеть это, вспомним, что γ5 ≡ iγ0γ1γ2γ3, и заметим, что невозможно произвести спаривание индексов в Tr{γ0γ1γ2γ3} èëè Tr{γ0γ1γ2γ3γμγν} так, чтобы пространственно-временные индексы в ка-

ждой паре были одинаковы.) При n = 4 такое спаривание индексов в Tr{γ0γ1γ2γ3γμγνγργσ} возможно, но только в том случае. если μ, ν, ρ, σ являются какими-то перестановками 0, 1, 2, 3. Более того, этот след должен быть нечетным относительно перестановок μ, ν, ρ, σ, òàê êàê γ-матрицы с разными индексами антикоммутируют. Следовательно след Tr{γ5γμγνγργσ} должен быть пропорционален полностью антисимметричному тензору εμνρσ. Коэффициент пропорциональности можно установить, положив μ, ν, ρ, σ равными 0, 1, 2, 3 и вспомнив, что ε0123 ≡ −1. Таким образом находим

След произведения γ5 с шестью, восемью и более дираковскими

матрицами можно вычислить теми же методами, которые использовались выше при доказательстве формулы (8.А.1).

Задачи

1.Вычислите дифференциальное и полное сечения процесса e+e− → μ+μ− в низшем порядке по е. Считайте, что спины электрона и

мюона не регистрируются. Используйте для электронов и мюонов простейший лагранжиан спинорной электродинамики.

2.Проведите каноническое квантование теории заряженного скалярного поля Φ и его взаимодействия с электромагнитным по-

лем, если лагранжиан равен:

L = −(Dμ Φ)† (Dμ Φ) − m2 Φ†Φ − λ(Φ†Φ)2 − 14 FμνFμν ,

Dμ Φ ≡ ∂μ Φ − iqAμ Φ , Fμν ≡ ∂μ Aν − ∂ ν Aμ .

Используйте кулоновскую калибровку. Выразите гамильтониан через поля A, Φ è Φ† и сопряженные им импульсы. Найдите

оператор взаимодействия V(t) в представлении взаимодействия через поля в этом представлении и их производные.

3.Используя результаты задачи 2, вычислите в низшем порядке по е дифференциальное и полное сечения рассеяния фотонов на массивной скалярной заряженной частице.

4.Напишите калибровочно-инвариантный лагранжиан для теории взаимодействия заряженного массивного векторного поля с электромагнитным полем.

5.Вычислите дифференциальное сечение электрон-электронного рассеяния в низшем порядке по е. Считайте, что спины начальных и конечных частиц не регистрируются.

Список литературы

1.См., например, Green, M.B., Schwarz, J.H., and Witten, E. Superstring Theory (Cambridge University Press, Cambridge, 1987), Section 2.2. (Есть рус. пер.: М. Грин, Дж. Шварц, Ю. Виттен. Теория суперструн. Тт. 1, 2. М.: Мир, 1991)