9.2. Переход к S-матрице |
519 |
представлении между собственными состояниями с определенной энергией. *
Теперь необходимо установить, как вычислять волновые функции, являющиеся последними двумя множителями правой части формулы (9.2.3). Рассмотрим сначала простейший и наиболее важный случай — вакуум. (В разделе 6.4 мы видели, что элементы S-матрицы легко вычисляются через средние по вакууму от хронологических произведений.) Предположим, как обычно, что при t → ±∞ матричные элементы вычисляются так, как будто нет ника-
кого взаимодействия.Таким образом, «ин»- и «аут»-вакуумы могут быть определены условиями
ain (p, σ, n) |
VAC, in = 0 , |
(9.2.4) |
||||
aout (p, σ, n) |
VAC,out = |
0 , |
||||
где операторы ain è aout являются коэффициентами при экспоненте exp(ip×x − iEt) в разложении оператора Qm(x,t) по плоским волнам при t → −∞ è t → +∞, соответственно. Например, в случае действительного
скалярного поля, отвечающего нейтральной бесспиновой частице, имеем
* Для доказательства необходимо лишь заметить, что если гамильтониан имеет вид H[P(t), Q(t)] + åA z d3x eA (x, t)OA (x, t) , то S-матрица определяется
согласно (9.2.3) следующим образом:
b, out|a, in e = |
X |
Õ dqm(x, t) |
Õ (dpm(x, t)) 2p |
|||
Y |
||||||
Z t, x, m |
t, x, . m |
|||||
L ¥ |
R |
3 |
& |
|||
´ expMi z dtSz d |
x qm (x, t)pm (x, t) - H[q(t), p(t)] |
|||||
N -¥ |
| |
|||||
T |
||||||
- å z |
d3x eA |
(x, t)OA |
UO |
|||
(x, t)VP |
||||||
A |
WQ |
|||||
´ b, out q(+¥);+¥q(-¥);-¥ a, in .
Левая часть формулы (6.4.3) равна производной этого выражения по ea, eb è ò. ä. ïðè e = 0, что дает правую часть формулы (9.2.3). Вновь используя (9.2.3),
приходим к правой части формулы (6.4.3).
522 |
Глава 9. Методы функционального интегрирования |
ãäå ε − бесконечно малая положительная величина. При получении
окончательного выражения, мы воспользовались тем фактом, что для любой достаточно гладкой функции f(τ)
∞ |
||
f(+∞) + f(−∞) = lim |
ε z dτ f(τ) e−ε| τ| . |
(9.2.15) |
ε→0+ |
−∞ |
Подставляя представление (9.2.14) в формулу (9.2.3), получаем:
VAC, out T{OA Π(tA ), Φ(tA ),OB Π(tB ), Φ(tB ), . . . VAC, in
X |
Õ |
dϕ(x, τ) |
Õ |
(dπ(x, τ) 2π)T{O |
A |
π(t |
A |
), ϕ(t |
A |
) |
||||||||||||
Z |
||||||||||||||||||||||
=| N |2 Y |
||||||||||||||||||||||
τ,x |
τ,x |
|||||||||||||||||||||
× OB |
π(tB ), ϕ(tB) |
L |
∞ |
R |
τ) |
|||||||||||||||||
, . . . expMiz |
dτSz d3x ϕ& (x, τ)π(x, |
(9.2.16) |
||||||||||||||||||||
+ 1 iε |
z |
N |
−∞ |
T |
UO |
|||||||||||||||||
− H[ϕ(τ), π(τ)] |
d3xd3yE(x, y)e−ε|τ|ϕ(x, τ)ϕ(y, |
|||||||||||||||||||||
τ)VP . |
||||||||||||||||||||||
2 |
WQ |
|||||||||||||||||||||
В разделе 9.4 мы увидим, что совокупный эффект от последнего слагаемого в показателе экспоненты в правой части формулы (9.2.16) заключается в появлении добавки −iε в знаменателе пропагатора скалярного поля в импульсном пространстве: [p2 + m2 − iε]−1. Ìû íå
будем вдаваться в детали соответствующих вычислений для полей произвольного спина, а просто укажем, что в общем случае
VAC,out T{OA PA(tA), Q(tA),OB PB(tB), Q(tB), . . . VAC, in
X L |
OL |
O |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
N |
2 |
M |
x |
τ |
PM |
x |
τ |
π P O |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |
| |
Y |
MÕ |
dq |
( |
, |
) |
PMÕ |
(dp |
( |
, |
) 2 ) |
p(t |
), q(t |
) |
||||||||||||||||||||||||||||
Y |
m |
m |
P |
A |
A |
A |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Z N τ,x |
QN τ,x |
Q |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
L |
X∞ |
R |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
× O |
× |
M |
iY |
τ |
| |
3 |
å |
& |
x |
τ |
x |
τ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
p(t |
), q(t |
) |
, . . . |
exp |
d |
S |
d |
x |
q |
( |
, |
)p |
( |
, |
) |
||||||||||||||||||||||||||||
B |
B |
B |
M |
Y |
|z |
m |
m |
(9.2.17) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
N |
Z−∞ |
T |
m |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−H[q(τ), p(τ)] + iε − |
UO |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
слагаемыеVP . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
WQ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9.3. Лагранжева форма функционального интеграла |
523 |
Здесь «ie-слагаемые» приводят к появлению правильной добавки -ie
в знаменателях всех пропагаторов.
Сейчас уместно отметить, что не зависящие от полей множители в (9.2.17), типа константы |N |2, несущественны. Дело в том, что они дают вклад и в матричный элемент перехода áVAC, out|VAC, inñ.
При вычислении связной части средних по вакууму от хронологи- ческих произведений (или S-матрицы) мы избавляемся от вклада несвязных поддиаграмм вакуумных флуктуаций путем деления на áVAC, out|VAC, inñ, так что все постоянные множители в вакуум-
ных средних сокращаются.
Можно продвинуться дальше и вычислить матричные элементы между многочастичными состояниями, подставив соответствующие «волновые функционалы» в формулу (9.2.3). Последние можно вычислить, подействовав на вакуумное состояние сопряженными операторами к операторам уничтожения вида (9.2.7).
Как и для гармонического осциллятора, такие волновые функционалы оказываются полиномами Эрмита по полям, умноженными на вакуумный гауссиан. Мы не будем развивать далее эти вы- числения, поскольку, как показано в разделе 6.4, все, что нужно для вычисления матричных элементов S-матрицы, это знание средних по вакууму (9.2.17).
9.3. Лагранжева форма функционального интеграл
Подынтегральное выражение в показателе экспоненты в формулах (9.1.38) или (9.2.17) похоже на лагранжиан L для гамильтониана Н. Это сходство до некоторой степени вводит в заблуждение, так как «импульсы» pa(t) èëè pn(x,t) являются независимыми переменными, еще не связанными с qa(t) èëè qn(x,t) или их производными.
Однако существует большой и важный класс теорий, в которых интеграл по «импульсам» может быть взят путем простой замены их на те значения, которые диктуются каноническим формализмом. В этом случае подынтегральное выражение в показателе экспоненты в интегралах по путям действительно совпадает с лагранжианом.
Гамильтониан таких теорий квадратичен по «импульсам», т. е. на языке теории поля