Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Приложение	569

Полезно записать выражение (9.А.6) через стационарную точку

		r	= -åKrs−1Ls
	x	r	= -åKrs−1Ls					(9.À.7)
					s
функции (9.А.2),
¶Q(x) ¶xr = 0 ïðè x =							,	(9.À.8)
¶Q(x) ¶xr = 0 ïðè x =						x	,	(9.À.8)
â âèäå
F		F	K I I		−1/2
F		F	K I I
J = G DetG				J J	expo-Q(x)t .			(9.À.9)
J = G DetG				J J	expo-Q(x)t .			(9.À.9)
H		H	2pK K

Этот результат стоит запомнить: гауссовские интегралы можно вы- числить с точностью до множителя, содержащего детерминант, положив переменную интегрирования равной значению в точке, где показатель экспоненты стационарен.

Далее, мы хотим использовать полученный результат для вычисления интегралов

	X F		I	R	1		U
				\|	1		\|
Ir1 ...r2N	º Y GÕdxr J xr1 xr2 . . . xr2N			expS-		åKrsxrxs V .		(9.À.10)
Ir1 ...r2N	º Y GÕdxr J xr1 xr2 . . . xr2N			expS-	2	åKrsxrxs V .		(9.À.10)
	Y H	r	K	\|		rs	\|
	Z			T			W

(Подобные интегралы с нечетным числом множителей x очевидным образом равны нулю.) Разложив в ряд exp(−årLrxr) в выражении

(9.А.1), получаем правило сумм

∞		1
å	å		Ir1r2...r2N Lr1 Lr2 ... Lr2N

N = 0	r1r2...r2N	(2N)!

X F

= Y GÕ dxr J expS-å Lrxr

å Krsxrxs V

Y H

I O

−1/2

−1

Det

expS

LrLsKrs

2pK P

2 års

(9. À. 11)

K I O

−1/2

∞

−

MDet

J P

å LrLsKrs1J .

2pK Q

N = 0N

570	Глава 9. Методы функционального интегрирования

Сравнивая коэффициенты при Lr1 Lr2 . . . Lr2N с обеих сторон равенства, видим, что Ir1r2 ...r2N должно быть пропорционально сумме произведений матричных элементов матрицы K−1, вид которой оп-

ределяется требованием симметрии относительно перестановки индексов r1, r2, ..., r2N:

Ir1r2 ...r2N = cN	å	∏ (K −1)спаренные индексы .	(9.À.12)
	по спариваниям по парам

r1 ...r2N

Здесь сумма берется по всем способам спаривания индексов r1...r2N, причем два спаривания считаются одинаковыми, если они отлича- ются порядком расположения пар или порядком индексов внутри пары.

Для вычисления постоянного множителя cN заметим, что число νN слагаемых в сумме по спариваниям в правой части формулы

(9.А.12) равно числу (2N)! перестановок индексов, деленному на число N! способов перестановки пар и на число 2N перестановок внутри каждой пары :

νN	=	(2N) !						(9.À.13)
					.
		N! 2		N	.
		N! 2
Поэтому из формулы (9.А.12) следует, что
å Lr1 Lr2 . . . Lr2N Ir1r2					F		I N
å Lr1 Lr2 . . . Lr2N Ir1r2	...r2N		= νNcN G			åLrLsKrs−1J .		(9.À.14)
r1r2 ...r2N					H	rs	K

Сравнивая это выражение с формулой (9.А.11), видим, что множители (2N)! и N!2N сокращаются с νN, и в результате остается

c		=	LDetF		K		I O−1/2 .	(9.À.15)
	N
			M	G		π J P
			N	H 2			K Q
Например,				(K −1)r r ,
	Ir r		= I0					(9.À.16)
		1 2				1 2

Ir1r2r3r4 = I0 (K −1)r1r2 (K −1)r3r4 + (K −1)r1r3 (K −1)r2r4 + (K −1)r1r4 (K −1)r2r3 ,

(9. À. 17)

Список литературы	571

и так далее, где I0 − интеграл без индексов:

	X F		I	R	1		U
				\|	1		\|
I0	º Y GÕdxr J expS-					åKrsxrxs V		=
I0	º Y GÕdxr J expS-				2	åKrsxrxs V		=
	Y H	r	K	\|		rs	\|
	Z			T			W

Задачи

L	F	K I O		−1/2
MDetG			J P	. (9. À. 18)

N	H	2pK Q

1. Рассмотрите нерелятивистскую частицу массой M, движущуюся вдоль оси x в потенциальном поле V(x) = Mw2x2/2. Пользу-

ясь методом функционального интеграла, найдите вероятность того, что частица, находящаяся в точке x1 в момент времени t1, окажется в момент времени t между x и x + dx.

2. Найдите волновой функционал (т. е. волновую функцию в j-

базисе) состояния поля, сотвечающего одной бесспиновой частице массы m ¹ 0. Используя полученный результат, выведите

фейнмановские правила для испускания и поглощения такой частицы.

3. Найдите вакуумный волновой функционал в теории нейтрального векторного поля массы m ¹ 0. Используя этот результат, найдите вид ie-слагаемых в пропагаторе такого поля.

4. Плотность лагранжиана свободного поля Рариты−Швингера yμ

спина 3/2 равна:

L= -yμ (g ν¶ν + m)yμ - 21 yμ (g μ¶ν + g ν¶μ )yν + 31 yμ g μ (g σ¶σ - m)g νyν .

Ñпомощью функционального метода найдите пропагатор этого поля.

Список литературы

1. Feynman, R.P. The Principle of Least Action in Quantum Mechanics

(Princeton University, 1942; University Microfilms Publication No. 2948, Ann Arbor). См. также: Feynman, R.P. and Hibbs, A.R.

Quantum Mechanics and Path Integrals (McGraw-Hill, New York,

572	Глава 9. Методы функционального интегрирования

1965) (есть рус. пер.: Фейнман Р., Хибс, А. Квантовая мезаника и интегралы по траекториям. — М., Мир, 1968.) Общие ссылки см.: Glimm, J. and Jaffe, A. Functional Integral Point of View, 2-nd edn (Springer-Verlag, New York, 1987).

2. Dirac, P.A.M., Phys. Zeits. Sowjetunion, 3, 62 (1933).

3. Feynman, R.P., Rev. Mod. Phys., 20, 367 (1948); Phys. Rev., 74, 939, 1430 (1948); 76, 749, 769 (1949); 80, 440 (1950).

4.Faddeev, L.D. and Popov, V.N., Phys. Lett., B25, 29 (1967). См. также: Feynman, R.P., Acta Phys. Pol., 24, 697 (1963); Mandelstam, S., Phys. Rev., 175, 1580, 1604 (1968).

5. De Witt, B., Phys. Rev. Lett., 12, 742 (1964).

6. 't Hooft, G., Nucl. Phys., B35, 167 (1971).

7. Gerstein, I.S., Jackiw, R., Lee, B.W. and Weinberg, S., Phys. Rev., D3, 2486 (1971).

8. Фаддеев, Л.Д., Теор. Мат. Физика, 1, 3 (1969).

8a. Schwinger, J., Proc. Nat. Acad. Sci., 44, 956 (1958).

8b. Osterwalder, K. and Schrader, R., Phys. Rev. Lett., 29, 1423 (1972); Commun. Math. Phys., 31, 83 (1973); 42, 281 (1975). Аксиомы Остервальдера–Шрадера включают требования гладкости, евклидовой ковариантности, «положительности относительно отражений», симметрии относительно перестановок и кластерного разложения.

9. Содержание этого раздела во многом определили дискуссии с Дж. Польчинским.

10. Березин, Ф.А. Метод вторичного квантования. М., Наука, 1965.

11. Laidlaw, M.G.G. and de Witt, C.M., Phys. Rev., D3, 1375 (1970).

12. Leinaas, J.M. and Myrheim, J., Nuovo Cimento, 37B, 1 (1977).

Список литературы	573

13. Ohnuki, Y. and Kamefuchi, S., Phys. Rev., 170, 1279 (1968); Ann. Phys., 51, 337 (1969); Druhl, K., Haag, R., and Roberts, J.E.,

Commun. Math. Phys., 18, 204 (1970).

14. Группа кос была введена Э. Артином. См. в сборнике: The Collected Papers of E. Artin. Ed. by S. Lang and J.E. Tate (Addison– Wesley, Reading, MA, 1965).

15. Wilczek, F., Phys. Rev. Lett., 49, 957 (1982); Fredenhagen, K., Gaberdiel, R., and Ruger, S.M., Cambridge Preprint DAMPT- 94-90 (1994). См. также [12].

Непертурбативные методы

Мы намерены теперь приступить к изучению вкладов высших порядков теории возмущений в физические процессы, вкладов, которые описываются фейнмановскими диаграммами с одной или несколькими петлями. При этом было бы очень полезно иметь в распоряжении метод, который позволяет получать результаты, справедливые во всех порядках теории возмущений (а в некоторых случаях и вне рамкок теории возмущений). Для этой цели мы будем использовать в данной главе уравнения поля и коммутационные соотношения для взаимодействующих полей в картине Гейзенберга. Связь между гейзенберговской картиной и фейнмановскими диаграммами теории возмущений устанавливается теоремой, доказанной в разделе 6.4: сумма всех диаграмм процесса α → β с дополни-

тельными вставками, отвечающими операторам oa(x), ob(y) и т. д., есть матричный элемент хронологически упорядоченного произведения соответствующих гейзенберговских операторов

dΨβ− , Tl−iOa (x),−iOb (y). . .qΨα+ i .

В частном случае, когда операторы Oa(x), Ob(x) и т. д. являются полями элементарных частиц, этот матричный элемент равен сумме вкладов всех фейнмановских диаграмм с входящими линиями на массовой поверхности, отвечающими состоянию α, и выходящими линиями на массовой поверхности, отвечающими состоянию β, ñîîò-

ветственно, и линиями вне массовой поверхности (включая пропагаторы), отвечающими операторам Oa(x), Ob(x) и т. д. Изучив некоторые получающиеся таким образом непертурбативные результаты, мы сможем приступить к вычислениям радиационных поправок.

10. 1. Симметрии	575

10.1. Симметрии

Одним очевидным, но важным следствием упомянутой теоремы является возможность использования принципов симметрии не только применительно к матричным элементам S-матрицы, когда 4-им- пульсы всех внешних линий лежат на массовой поверхности, но и к фейнмановским диаграммам, у которых некоторые или все внешние линии находятся вне массовой поверхности.

Рассмотрим, например, симметрию относительно пространст- венно-временных трансляций *. Следствием такой симметрии является существование эрмитова 4-векторного оператора Pμ, обладаю-

щего тем свойством, что для любой локальной функции O(x) операторов поля и канонических импульсов

Pμ , O(x)		∂		O(x) .	(10.1.1)
	= i
		¶x	μ

(См. формулы (7.3.28) и (7.3.29).) Кроме того, состояния a è b обычно

выбираются как собственные состояния 4-импульса:

Pμ Yα+ = pαμ Yα+ , Pμ Yβ− = pβμ Yβ− .

(10.1.2)

Отсюда вытекает, что для любого набора локальных функций Oa(x), Ob(x), ... полей и/или их производных справедлива формула

(pβμ - pαμ )dYβ− , TlOa (x1), Ob(x2 ), . . .qYα+ i

Yβ−

Yα+

Pμ , T O

(x ), O

), . . .

−

(10.1.3)

= i

J d

Yα

+. . .

Yβ , T O (x ), O

), . . .

¶x1

¶x2

Это уравнение имеет решение:

d	Yβ−		l a	1	b		2	q	Yα+	i
	Yβ−	,T O		(x ), O		(x		), . . .	Yα+
= expdi(pβ - pα ) × xiFab... (x1										- x2 , . . . ) ,	(10.1.4)
= expdi(pβ - pα ) × xiFab... (x1										- x2 , . . . ) ,

* Называемую также трансляционной инвариантностью. — Прим. ред.

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/280974

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)