576 |
Глава 10. Непертурбативные методы |
|
где x — любое среднее пространственно-временных координат |
||
xμ = c1x1μ + c2x2μ +. . . , c1 + c2 + . . . = 1, |
(10.1.5) |
|
а F зависит только от разностей координат. (В частности, вакуумное среднее может зависеть только от разностей координат.) Интегрируя отдельно по xμ и разностям координат, можно найти фурье-
образ выражения (10.1.4):
z d4x1d4x2 . . .dYβ− , TlOa (x1), Ob (x2 ), . . .qYα+ i
(10.1.6)
´ exp(-ik1 × x1 - ik2 × x2 - . . .) µ d4 (pβ - pα - k1 - k2 - . . . ) .
В разделе 6.4 было показано, что выражение для матричного элемента хронологического произведения определяется обычными правилами Фейнмана в координатном представлении применительно к сумме всех диаграмм с входящими частицами в состоянии a, выходящими частицами в состоянии b, и внешними линиями, которые оканчиваются в вершинах с координатами x1, x2, ¼ .
Соответственно, фурье-образ (10.1.6) определяется правилами Фейнмана в импульсном представлении для той же суммы диаграмм, у которых внешние линии вне массовой поверхности имеют 4-импульсы k1, k2, ¼ , направленные в диаграмму. Формула (10.1.6)
утверждает тогда, что эта сумма фейнмановских диаграмм сохраняет 4-импульс. Такой результат очевиден в теории возмущений, т. к. 4-импульс сохраняется в каждой вершине, поэтому неудивительно, что тот же результат можно получить, и не опираясь на теорию возмущений.
Затратив несколько больше усилий, можно воспользоваться свойствами гейзенберговских полей и ин- и аут-состояний (9.6.16) по отношению к преобразованиям Лоренца, чтобы показать, что сумма всех диаграмм с данным набором линий, находящихся как на массовой поверхности, так и вне ее, обладает теми же свойствами относительно лоренцовских преобразований, что и слагаемые низшего порядка.
Аналогичные аргументы применимы к сохранению внутренних квантовых чисел, таких как электрический заряд. Как показано в разделе 7.3, поле или другой оператор Oa(x), уничтожающий заряд qa (или рождающий заряд −qa), удовлетворяет уравнению
10. 1. Симметрии |
577 |
|
[Q, Oa (x)] = −qaOa (x) |
||
как в гейзенберговском представлении, так и в представлении взаимодействия. Кроме того, если состояния свободных частиц α è β имеют заряды qα è qβ, то такие же заряды имеют соответствующие
ин- и аут-состояния. Тогда
(qβ − qα )dΨβ− , TlOa (x), Ob(y), . . .qΨα+ i
=dΨβ− , Q, TlOa (x), Ob(y), . . .qΨα+ i
=−(qa + qb + . . . )dΨβ− , TlOa (x), Ob(y), . . .qΨα+ i .
Следовательно, амплитуда d β |
l a |
b |
q |
α i обращается в |
Ψ− |
, T O |
(x), O |
(y), . . . |
Ψ+ |
нуль, если только не выполнено условие сохранения заряда |
||||
qβ = qα − qa − qb − . . . |
(10.1.7) |
|||
Несколько менее тривиальный пример — инвариантность относительно зарядовогоC сопряжения. Как показано в гл. 5, существует оператор , преобразующий электронные операторы в позитронные и обратно:
Ca(p, σ, e− )C−1 = ξ*a(p, σ, e+ ) ,
Ca(p, σ, e+ )C−1 = ξa(p, σ, e− ) ,
ãäå ξ — фазовый множитель. Для свободного электронного поля ψ(x) ýòî
означает, что
Cψ(x)C−1 = ξ*βCψ(x)* ,
ãäå βC — матрица 4×4, имеющая (в используемом нами представлении дираковских матриц, где диагональна матрица γ5) âèä
L0 |
0 |
0 |
1O |
|||
M0 |
0 |
−1 |
0P |
|||
βC = |
M |
P |
, |
|||
M |
−1 |
0 |
0 |
P |
||
0 |
P |
|||||
M |
||||||
M |
0 |
0 |
P |
|||
N1 |
0Q |
|||||
10.2. Полология |
579 |
|
Для каждой такой петли происходит сокращение диаграмм, отли- чающихся направлением обхода петли по стрелкам. Таким образом, теорема Фарри представляет несколько менее тривиальное следствие принципа симметрии, чем трансляционная или лоренцовская инвариантность: теорема верна не для отдельных диаграмм, а для определенной их совокупности. Рис. 10.1 иллюстрирует применение теоремы Фарри, которое оказалось исторически наиболее важным: доказательство того, что при рассеянии фотона внешним электромагнитным полем отсутствуют вклады первого (или любого нечетного) порядка по внешнему полю.
Рис. 10.1. Диаграммы низшего порядка для рассеяния фотона электромагнитным полем. Прямые линии отвечают виртуальным электронам, волнистые линии — реальным или виртуальным фотонам, жирная линия соответствует тяжелой частице типа атомного ядра, которая служит источником электромагнитного поля. Вклады указанных двух диаграмм сокращаются, как и требуется инвариантностью относительно зарядового сопряжения
10.2. Полология
Одним из наиболее важных применений непертурбативных методов, о которых идет речь в этой главе, является выяснение полюсной структуры фейнмановских амплитуд как функций импульсов внешних линий. Часто матричные элементы физического процесса могут быть хорошо аппроксимированы вкладом одного полюса. Кроме того, понимание полюсной структуры поможет
10.2. Полология |
581 |
|
z d4x1 . . . d4xre-iq1 ×x1 . . . e-iqr ×xr cΨ0 , T{A1(x1). . . Ar (xr )}Ψp,s h
= (2π)4 δ4 (q |
+ . . . + q |
− p)M |
(q |
. . . q |
) , |
(10.2.4) |
||||||||||||
1 |
r |
0|p,s |
2 |
r |
||||||||||||||
z d4xr +1 . . . d4xne-iqr+1 ×xr+1 . . . e-iqn ×xn cΨp,s , T{Ar +1(xr +1). . . An (xn )}Ψ0 h |
||||||||||||||||||
= (2π)4 δ4 (q |
r |
+1 |
+ . . . + q |
n |
+ p)M |
p,s|0 |
(q |
r +2 |
. . . q |
n |
) |
|||||||
(10.2.5) |
||||||||||||||||||
(p0 ≡ p2 + m2 ), а сумма берется по всем спиновым (и другим)
состояниям частицы массой m.
Прежде, чем переходить к доказательству, полезно записать выражение (10.2.3) в более развернутой форме, позволяющей луч- ше понять его важность
G(q ... q |
n |
) → |
z |
d4k |
||||
1 |
O |
|||||||
L |
+ ... + qr − k)(2π)3/2e2 |
1/2 |
||||||
× M(2π)4 |
δ4(q1 |
k2 + m2 j |
M0|k,s(q2... qr )P |
|||||
N |
Q |
|||||||
L |
−i |
1 |
O |
||||||||
× M |
P |
||||||||||
4 |
k |
2 |
2 |
(10.2.6) |
|||||||
N |
(2π) |
+ m |
− iε Q |
||||||||
L |
+1 + ... + qn)e2 |
1/2 |
O |
||||||||
× M(2π)4 δ4(k + qr |
k2 + m2 j |
Mk,s|0 |
(qr +2... qn)P . |
||||||||
N |
Q |
||||||||||
Это выражение как раз соответствует тому, что мы ожидаем от вклада фейнмановской диаграммы с единственной внутренней линией, отвечающей частице массой m и соединяющей два блока диаграммы (две поддиаграммы) с первыми r внешними линиями и последними n − r внешними линиями соответственно *. Однако не являет-
ся необходимым, чтобы частица массой m соответствовала полю, входящему в лагранжиан теории. Формулы (10.2.3) и (10.2.6)
* См. рис. 10.2. Множители [2(k2 + m2 )]12 служат для устранения
кинематических множителей, связанных с внешней линией, отвечающей частице массой m, в амплитудах M0|k,σ è Mk,σ|0, а сумма по σ произведения
этих двух матричных элементов, приводит к числителю пропагатора, отве- чающего внутренней линии на рис. 10.2.