Документ: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001), страницы 612-616

9.6. Функциональная формулировка КЭД	559

Показатель экспоненты в (9.6.5) очевидно квадратичен по независимым компонентам π (например, p1 è p2) с независимыми от полей коэффициентами в слагаемых второго порядка по π. Таким

образом, в соответствии с формулой (9.А.9), можно взять интеграл по π, положив π равным значению в стационарной точке показателя экспоненты π = a& :

X L

O

TnOAOB. . .s

VAC

= Y M

Õ dai(x) Õ dyl

(x)P OAOB. . .

Y M

x,l

P

Z Nx, i

Q

´ expS Y

M

2 a

-

2 (Ñ ´ a)

+ a × j +

M P

Ri X

d

4x

L

1 &

2

1

2

L

O

N

Q

T Z

(9.6.6)

X		UL		O
-i Y	d t VÊóë	+ ie - слагаемыеVM∏ daÑ × a(x)fP .
Z		WM	x	P
		N		Q

Чтобы выявить фундаментальное свойство ковариантности этого результата, используем следующий прием. Введем новую переменную интегрирования a0(x) и заменим кулоновское слагаемое в действии −òdt VÊóë íà

X	L		1		O
Y	d4x M-a0	(x)j0 (x) +	1	(Ña0	(x))2 P .	(9.6.7)
Y	d4x M-a0	(x)j0 (x) +	2	(Ña0	(x))2 P .	(9.6.7)
Z	N				Q

Так как (9.6.7) квадратично по а0, можно взять интеграл по а0 (с точностью до постоянного множителя), положив a0(x) равным зна- чению в стационарной точке (9.6.7), т. е. в точке, отвечающей решению уравнения

-j0 (x) - Ñ2a0 (x) = 0 ,

или, иными словами, в точке

	X	j0 (y, t)
a0	(x, t) = Y d3 y		.	(9.6.8)
a0	(x, t) = Y d3 y	4p\| x - y\|	.	(9.6.8)
	Z	4p\| x - y\|

Подставляя это значение а0 в формулу (9.6.7), получаем как раз кулоновское действие −òdt VÊóë. Следовательно, в формуле (9.6.6)

можно переписать показатель экспоненты в виде

560 Глава 9. Методы функционального интегрирования

21 a& 2 - 21 (Ñ ´ a)2 + a × j + LM - a0j0 + 21 (Ña0 )2

= - 14 fμν fμν + aμ jμ + LM + полные производные ,

ãäå fμν = ¶μaν − ¶νaμ, и интегрировать по а0, по а и по полям материи.

Функциональный интеграл (9.6.6) примет тогда вид

n A

B

s

VAC

X L

m

Õ

l

O

A

B

Y M Õ

(x)

P

. . .

T O O

. . .

= Y M

da

dy

(x)P O

O

Z Nx, m

x,l

Q

(9.6.9)

´ expaiI[a, y]f∏ daÑ × a(x)f ,

x

где I — исходное действие:

X	L	1			O
I[a, y] = Y d4xM-		1	fμν f	μν + aμ j	μ + LM P	+ ie - слагаемые .	(9.6.10)
I[a, y] = Y d4xM-			fμν f	μν + aμ j	μ + LM P	+ ie - слагаемые .	(9.6.10)
Z	N	4			Q

Теперь все выражения стали явно лоренц-инвариантны и калибровочно инвариантны, если не считать последнего произведения дельта-функций, обеспечивающего выполнение условия кулоновской калибровки *. Чтобы продвинуться дальше, применим простой вариант того приема 4,5, который в т. II будет использован в более сложном случае неабелевых калибровочных теорий. Для простоты будем рассматривать ситуацию, когда операторы OA[A,Y], OB[A,Y], ..., а также действие I[a,y] è ìåðà [Õda][Õdy] калибровочно инвариантны.

Во-первых, заменим везде в формуле (9.6.9) полевые переменные интегрирования aμ(x) è y(x) на новые переменные

aμΛ (x) ≡ aμ (x) + ∂μ Λ(x) ,

(9.6.11)

* Заметим, что теперь a0(x) не равно значению (9.6.8), а является независимой переменной интегрирования. Мы не будем сразу же интегрировать по a0(x), что вернет нас назад к (9.6.6), а рассмотрим эту переменную в тандеме с a(x).

9.6. Функциональная формулировка КЭД	561

y	Λ (x) º expbiq	L(x)gy	(x)	(9.6.12)
l	l	l

с произвольной конечной функцией L(x). Ýòîò øàã - такая же мате-

матическая тривиальность, как и запись интеграла z ∞ f(x)dx â âè-

∞ −∞

äå z−∞ f(y)dy, и не требует использования постулированной калиб-

ровочной инвариантности теории. Далее, с учетом калибровочной инвариантности заменим aμΛ(x) è ylΛ(x) в действии, мере и функциях O на первоначальные поля aμ(x) è yl(x), соответственно. Тогда

формула (9.6.9) примет вид

TlOA

A, Y

,OB

A, Y

, . . .q VAC

X

L

O L

O

µ YY

MM∏ daμ (x)PP MM∏ dyl (x)PP OA [a, y],OB [a, y], . . .

Z N x,μ

Q N x,l

Q

(9.6.13)

´ expaiI[a, y]f∏ dcÑ × a(x) + Ñ2L(x)h .

x

Далее, функция L(x) была выбрана произвольно, поэтому, несмотря на то, что L(x) явно входит в правую часть формулы (9.6.13),

последняя не может зависеть от этой функции. Мы воспользуемся этим фактом, чтобы представить функциональный интеграл в зна- чительно более удобной форме. Домножим (9.6.13) на функционал

F	-	X	2 I
B[L, a] = expG	-	21 ia Y	d4x c¶0a0 - Ñ2Lh	J	(9.6.14)
H		Z		K

(ãäå a - произвольная константа), и проинтегрируем по L(x). Сдвигая переменную интегрирования L(x) и имея в виду реальную независимость выражения (9.6.13) от L, видим, что все сводится к умножению

этого выражения на независящую от полей константу

X L		O	F		1	X	2 I
Y M∏ dL(x)P expG				-	1	ia Y	d4x cÑ2Lh	J .	(9.6.15)
Y M∏ dL(x)P expG				-	2	ia Y	d4x cÑ2Lh	J .	(9.6.15)
Y M	x	P	H			Z		K
Z N		Q

Этот множитель сокращается в связной части среднего по вакууму и поэтому не приводит к физическим следствиям. Однако (9.6.13) не

562 Глава 9. Методы функционального интегрирования

зависит от L только после интегрирования по aμ(x) è y(x). С тем же успехом можно проинтегрировать по L(x) перед интегрированием по aμ(x) è y(x). В этом случае стоящий в правой части формулы (9.6.13) множитель ÕxdcÑ × a(x) + Ñ2L(x)h заменяется на

X L		O	F		X	2 I		∏ dcÑ × a(x)
Y M∏ dL(x)P expG				-	21 ia Y	d4x c¶0a0 - Ñ2Lh	J	∏ dcÑ × a(x)
Y M	x	P	H		Z		K	x
Z N		Q

F		1	X	μ 2 I
µ expG	-		ia Y d4x d¶μa	i	J ,
		2
H			Z		K

+ Ñ2L(x)h

(9.6.16)

ãäå çíàê µ вновь означает пропорциональность с точностью до неза-

висящего от полей множителя. Опуская постоянные множители, приводим представление (9.6.9) к виду

X L

∏

O L

O

T

O

A

O

B

. . .

µ

Y

M

da

μ

(x)P M

d

(x)P O

A

O

B

. . . exp(iI

ýôô

[a,

y

]) ,

l

q

VAC

Y

M

P M

∏ yl

P

Z Nx,μ

Q N x,l

Q

(9.6.17)

ãäå

X

1

μ

2

Iýôô [a, y] =

I[a, y] -

a Y

d¶μa

i d4x .

(9.6.18)

2

Z

Это выражение явно лоренц-инвариантно.

Мы рассматриваем новое слагаемое в правой части формулы (9.6.18) как вклад в невозмущенную часть действия, фотонная часть которого принимает теперь следующий вид:

	X	L		1		- ¶νaμ )(¶μaν - ¶νaμ )
I0	[a] = Y d4xM-			1	(¶μaν
I0	[a] = Y d4xM-				(¶μaν
	Z	N	4
			- 21 a(¶μa			O	(9.6.19)
			- 21 a(¶μa			μ )2 + ie - слагаемыеP	(9.6.19)
						Q

= - 21 XY d4xd4y aμ (x)aν (y)Dμx,νy ,

Z

9.6. Функциональная формулировка КЭД	563

L

∂2

∂2 O

Dmx,ny

= M

η

−

(1

− α

)

P

δ4

(x

−

y)

+ ε −

слагаемые

mn ∂xr∂y

M

∂xm∂yn P

i

N

r

Q

eiq×(x- y) . (9.6.20)

= (2π)-4 z d4q

ηmnq2 − (1 − α)qmqn − iεηmn

Теперь можно сразу же найти фотонный пропагатор, обращая 4×4

матрицу в подынтегральном выражении правой части формулы :

X

L

η

(1

− α

)

q

m

q

n

O

mx,ny

= (2π)-4 Y d4qM

mn

+

P eiq×(x- y) .

(9.6.21)

α

(q2 − iε)2

Z

Nq2 − iε

Q

Мы вправе выбирать величину α из соображений удобства. Два наиболее употребительных выбора — это α = 1, что приводит к

пропагатору в калибровке Фейнмана

Фейнман

= (2π)

-4

X

4

L

η

mn

O

iq×(x- y)

Y d

qM

P e

.

(9.6.22)

mx,ny

2

Z

Nq

− iε Q

èëè α = ∞, тогда множитель (9.6.14) действует как дельта-функция,

и получается пропагатор в калибровке Ландау (часто называемой также калибровкой Лоренца)

Ландау

= (2π)

-4

X

4

L

η

mn

−

q

m

q

n

O

iq×(x- y)

Y d

qM

P e

.

(9.6.23)

mx,ny

2

− iε

(q

2

− iε)

2

Z

Nq

Q

При работе с такими явно лоренц-инвариантными операторами взаимодействия и пропагаторами практические вычисления становятся намного удобнее.

9.7 Разные статистики *

Теперь можно вернуться к вопросу, поставленному в гл. 4: какие существуют возможности для изменения векторов состояний

* Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения и может быть опущен при первом чтении.

Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Смотрите также: