10.3. Перенормировка поля и массы |
589 |
|
ãäå O l(x) — гейзенберговский оператор, имеющий те же трансформационные свойства относительно лоренцовских преобразований, что и некоторое свободное поле ψl, принадлежащее неприводимому
представлению однородной группы Лоренца (для теорий, сохраняющих четность,— группы Лоренца, включающей отражения), о чем свидетельствует индекс l, а A2, A3, и т. д. — произвольные гейзенберговские операторы. Предположим, что имеется одночастичное состояние Ψq1 ,s , имеющее неисчезающие матричные элементы с состояниями O l†Ψ0 è À2À3...Ψ0. Тогда согласно доказанной в предыдущем разделе теореме Gl имеет полюс при q12 = −m2, причем
Gl (q1q2 . . . ) → |
−2i |
q2 + m2 |
(2π) |
3 |
ådΨ0 , Ol (0)Ψq1,s i |
|||||||||||||
1 |
||||||||||||||||||
q2 |
+ m2 − iε |
|||||||||||||||||
1 |
s |
(10.3.2) |
||||||||||||||||
z |
2 |
. . . e-iq2 ×x2 . . . |
d |
q1 |
,s |
l |
2 |
2 |
q |
0 i |
||||||||
× |
d4x |
Ψ |
T A |
(x |
). . . |
Ψ |
. |
|||||||||||
Из лоренцовской инвариантности следует: |
||||||||||||||||||
dΨ0 ,Ol (0)Ψq1,s i = (2π)-3/2 Nul (q1, σ) , |
(10.3.3) |
|||||||||||||||||
ãäå ul(q,σ) равна (если не считать множителя (2π)−3/2) коэффициентной функции * свободного поля ψl с теми же трансформационными
свойствами относительно лоренцовских преобразований, что и оператор Оl, а N — константа. (Именно для того, чтобы получить формулу (10.3.3) с единственной свободной константой N, нам пришлось предположить, что Оl преобразуется неприводимо.) Определим также «усеченный» матричный элемент Ml формулой
z |
2 |
. . . e-iq2 ×x2 . . . |
d |
q1,s |
l 2 |
2 |
q |
0 i |
||||
d4x |
Ψ |
T |
A |
(x |
). . . |
Ψ |
||||||
≡ N-1(2π)-3/2 å ul* (q1, σ)Ml (q2 . . . ) . |
(10.3.4) |
|||||||||||
l |
||||||||||||
* Например, для стандартным образом нормированного свободного
F |
I |
−1/2 |
|||||
2 |
2 |
||||||
скалярного поля |
ul (q1, σ) = H |
2 |
q1 |
+ m |
K |
. |
590 Глава 10. Непертурбативные методы
Тогда формула (10.3.2) при q 2 → −m2 принимает вид |
||||||||
1 |
||||||||
−2i |
q2 + m2 |
* |
||||||
1 |
||||||||
Gl → |
å ul (q1, σ)ul′ (q1 |
, σ)Ml |
′ . |
(10.3.5) |
||||
q2 |
+ m2 − iε |
|||||||
1 |
σ,l′ |
|||||||
Согласно формулам (6.2.2) и (6.2.18), величина, входящая в формулу (10.3.5) в виде множителя перед Ml′, равна матричному пропагатору в импульсном пространстве −i ll′(q1) для свободного
поля, имеющего те же трансформационные свойства относительно лоренцовских преобразований, что и Оl (или, по крайней мере, такими свойствами должен обладать предел при q12 → −m2). Поэто-
му формула (10.3.5) позволяет отождествить Ml с суммой всех диаграмм, внешние линии которых с импульсами q1, q2, ... отвечают операторам Ol, A2, ..., причем пропагаторы, отвечающие линии Ol, отброшены. Тогда формула (10.3.4) является обычным предписанием для вычисления матричного элемента испускания частицы в виде суммы фейнмановских диаграмм: нужно отбросить пропагатор частицы, заменив его сверткой с обычным множителем (2π)−3/2ul* äëÿ
внешней линии. Единственным отличием от обычных фейнмановских правил является множитель N.
Сформулированная выше теорема представляет собой знаменитый результат Лемана, Симанчика и Циммермана3, известный как редукционная формула. Мы доказали ее здесь несколько иным способом, позволяющим легко обобщить результат на случай произвольного спина. Важно отметить, что полученный результат применим к любым операторам; оператор Оl не обязан быть каким-то полем, реально входящим в лагранжиан, а частица, рождаемая этим полем, может быть связанным состоянием тех частиц, поля которых действительно входят в лагранжиан. Этот результат позволяет извлечь важный урок и в том случае, когда Ol является одним из полей Ψl из лагранжиана: если мы намерены использовать
обычные фейнмановские правила для вычисления матричных элементов S-матрицы, необходимо сначала переопределить нормировку полей множителем 1/N, так что (с извинениями за многократное использование символа Ψ в разных смыслах)
cΨ0 , Ψl (0)Ψq,σ h = (2π)−3/2 ul (q, σ) . |
(10.3.6) |
592 |
Глава 10. Непертурбативные методы |
В общем случае нет оснований считать, что поле ΦB будет удовлет-
ворять условию (10.3.6), или что полюс по q2 будет находиться в точке −mB2, поэтому введем перенормированные поле и массу:
Φ ≡ Z−1/2Φ |
B |
, |
(10.3.8) |
m2 ≡ m2B + δm2 , |
(10.3.9) |
||
где Z выбирается так, что Φ удовлетворяет (10.3.6), а δm2 подбирается из условия, что полюс пропагатора находится в точке q2 = − m2.
(Использование символа Z в подобных случаях стало традицией; каждому полю в функции Лагранжа соответствует свое Z.) Теперь можно переписать лагранжиан (10.3.7) в виде
L = L0 + L1 , |
(10.3.10) |
|||||||||||||
L |
= − |
1 |
∂μΦ∂μΦ − |
1 m2Φ2 , |
(10.3.11) |
|||||||||
0 |
2 |
2 |
||||||||||||
L |
= − |
1 |
(Z − 1) |
∂μ Φ∂μΦ + m2Φ2 |
+ |
1 |
Zδm2Φ2 |
− V(Φ) , |
(10.3.12) |
|||||
1 |
2 |
2 |
||||||||||||
ãäå
V(Φ) ≡ VB (ZΦ) .
При вычислении поправок к точному * пропагатору в импульсном пространстве для перенормированного скалярного поля, обыч- но обозначаемому Δ′(q), удобно рассмотреть отдельно одночастично
неприводимые (1PI) диаграммы, т. е. такие связные диаграммы (исключая диаграмму, состоящую из одной скалярной линии), которые нельзя сделать несвязными путем разрезания любой одной внутренней скалярной линии. Пример показан на рис. 10.4. Принято, опуская пропагаторные множители −i(2π)−4(q2 + m2 − iε)−1 îò äâóõ
* Англоязычному термину complete propagator отвечают русскоязычные термины полный пропагатор или точный пропагатор. Мы отдаем предпочтение последнему. Встречающийся ниже термин bare propagator, так же как и авторский термин uncorrected propagator мы переводим как свободный пропагатор. – Прим. пер.