Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

внешних линий, обозначать сумму всех таких диаграмм через i(2π)4∏*(q2), звездочка напоминает, что в это выражение входят

одночастично неприводимые диаграммы. Тогда поправки к точному пропагатору даются суммой цепочек из одной, двух, трех и более этих одночастично неприводимых поддиаграмм, соединенных обыч- ными свободными пропагаторными множителями

При вычислении ∏* мы учитываем древесные диаграммы, возни-

кающие от однократной вставки вершин, отвечающих слагаемым

âèäà ∂μΦ∂μΦ è Φ2 в (10.3.12) , а также слагаемое ∏*LOOP, возникаю-

щее от петлевых диаграмм типа показанной на рис. 10.4а:

При проведении вычислений самое простое – это сказать, что из петлевых слагаемых ∏*LOOP(q2) мы должны вычесть полином

первого порядка по q2 с коэффициентами, подобранными так, чтобы разность удовлетворяла условиям (10.3.17) и (10.3.18). Как будет видно далее, эта вычитательная процедура попутно сокращает бесконечности, возникающие от интегралов в импульсном пространстве, определяющих ∏*LOOP. Однако, как должно быть ясно, перенормировка

масс и полей непосредственно не имеет ничего общего с существованием бесконечностей и необходима даже в теории, в которой все интегралы в импульсном пространстве сходятся.

Важным следствием условий (10.3.17) и (10.3.18) является утверждение, что не нужно включать радиационные поправки во внешние линии на массовой оболочке, поскольку

Аналогичные замечания применимы к частицам произвольного спина. Например, лагранжиан «голого» дираковского поля имеет вид

(Индекс 2 у Z по традиции используется для обозначения константы перенормировки фермионного поля.) Тогда лагранжиан можно переписать в виде:

входящей фермионной линией с 4-импульсом k, и одной выходящей линией с тем же 4-импульсом, которые нельзя сделать несвязными, раз-резав любую внутреннюю фермионную линию, причем пропа-гаторное множители −i(2p)4 è [ik/ + m - ie]−1 для внешних ли-

ний опущены. (Здесь использована лоренцовская инвариантность, согласно которой å* есть обычная функция скалярной матрицы k/ º kμ g μ .) Тогда полный фермионный пропагатор имеет вид

S¢(k) = [ik/ + m - ie]−1 + [ik/ + m - ie]−1 å* (k/ )[ik/ + m - ie]−1

Условие, чтобы полный пропагатор имел полюс при k2 = −m2 ñ òåì

же вычетом, что и свободный пропагатор, имеет вид:

пределе k/ → im показывает, что на массовой поверхности можно

пренебречь радиационными поправками к внешним фермионным

линиям. Соответствующие результаты для фотонного пропагатора будут получены в разделе 10.5.

10.4.Перенормированный заряд

èтождества Уорда

Ñпомощью соотношений коммутации и законов сохранения для гейзенберговских операторов можно установить связь между зарядами (или аналогичными величинами) в плотности лагранжиана и свойствами физических состояний. Напомним, что инвариант-

ность плотности лагранжиана относительно глобальных калибро-

вочных преобразований Ψl → exp(iqlα)Ψl (с произвольной постоянной фазой α) влечет за собой существование тока

удовлетворяющего условию сохранения

Отсюда вытекает, что пространственный интеграл от временной компоненты Jμ не зависит от времени:

(Очень важное возможное исключение связано с тем, что интеграл (10.4.4) может не существовать, если в системе имеются дальнодействующие силы, обязанные безмассовым скалярам. Мы вернемся к этому вопросу при рассмотрении нарушенных симметрий в т. II.) Кроме того, поскольку Q является интегралом по пространству, эта величина явно трансляционно-инвариантна: