598 |
Глава 10. Непертурбативные методы |
à òàê êàê Jμ — 4-вектор, Q инвариантен по отношению к однород-
ным преобразованиям Лоренца:
[Jμν , Q] = 0 . |
(10.4.6) |
Отсюда следует, что оператор Q, действуя на истинный вакуум Ψ0,
дает другое лоренц-инвариантное состояние нулевой энергии и импульса, которое (в предположении, что вакуум невырожден) должно быть пропорционально самому Ψ0. Но константа пропорцио-
нальности должна обращаться в нуль, так как из лоренц-инвари- антности следует, что (Ψ0, JμΨ0) = 0. Отсюда получаем:
QΨ0 = 0 . |
(10.4.7) |
Кроме того, оператор Q, действуя на любое одночастичное состояние Ψp,σ,n, должен переводить его в другое состояние с теми же
энергией, импульсом и теми же трансформационными свойствами относительно преобразований Лоренца, и следовательно (предполагая отсутствие вырождения одночастичных состояний), в состояние, пропорциональное тому же одночастичному состоянию:
QΨp,σ,n = q( n) Ψp,σ,n . |
(10.4.8) |
Лоренц-инвариантность Q гарантирует, что собственное значение q(n) не зависит от р и s, а зависит только от сорта частиц. Это собственное значение известно как электрический заряд (или ка- кое-то другое квантовое число, для которого Jμ может быть током)
одночастичного состояния. Чтобы связать его с параметрами ql в лагранжиане, заметим, что из канонических коммутационных соотношений следует
J0 (x, t), Ψ (y, t) |
= −q |
Ψ |
(y, t)δ3 |
(x − y) , |
(10.4.9) |
||||
l |
l |
l |
|||||||
или, после интегрирования по x, |
|||||||||
Q, Ψl (y) |
= −qlΨl (y) . |
(10.4.10) |
|||||||
То же верно и для любой локальной функции F(y) заданного числа полей, их производных и сопряженных им величин:
10.4. Перенормированный заряд и тождества Уорда |
599 |
||||
Q, F(y) |
= −qFF(y) , |
(10.4.11) |
|||
ãäå qF − сумма ql для всех полей и их производных в F(y) минус
сумма ql для всех сопряженных полей и их производных. Беря матричный элемент этого соотношения между одночастичным состоянием и вакуумом и используя формулы (10.4.7) и (10.4.8), получаем
cY0 , F(y)Yp,σ,n h (qF - q(n) ) = 0 . |
(10.4.12) |
Следовательно, должно быть |
|
q( n) = qF , |
(10.4.13) |
если только |
|
cY0 , F(y)Yp,σ,n h ¹ 0 . |
(10.4.14) |
Как мы видели в предыдущем разделе, при условии (10.4.14) функции Грина, включающие F, в импульсном пространстве имеют полюсы, отвечающие одночастичному состоянию Yp,σ,n. Äëÿ îäíî-
частичного состояния, соответствующего одному из полей в лагранжиане, мы могли бы взять F = Yl, и в этом случае qF = ql,
однако наши результаты применимы и к произвольным одночастич- ным состояниям, независимо от того, входят ли соответствующие им поля в лагранжиан или нет.
Это почти полностью убеждает нас в том, что несмотря на все мыслимые диаграммы высшего порядка, дающие вклад в амплитуды испускания и поглощения фотонов заряженными частицами, физический электрический заряд строго равен параметру ql в функции Лагранжа (или сумме таких параметров типа qF). Уточнение, которое необходимо сделать, заключается в том, что требование инвариантности лагранжиана относительно преобразований Yl ® exp(iqla)Yl никак не фиксирует общий масштаб величин ql.
Физические электрические заряды определяют отклик полей материи на заданное перенормированное электромагнитное поле Aμ.
Иными словами, масштаб величин ql фиксируется требованием, чтобы перенормированное электромагнитное поле входило в лагранжиан материи LM в линейных комбинациях [¶μ − iqlAμ]Yl, òàê ÷òî òîê Jμ имеет вид
602 |
Глава 10. Непертурбативные методы |
Рис. 10.5. Диаграммы первых поправок к электронному пропагатору и вершинной функции в квантовой электродинамике. Прямые линии отвечают электронам, волнистые — фотонам
Можно вывести соотношение между Γμ è S′, используя тожде-
ñòâî
∂xμ |
n |
n |
m |
s |
n |
μ |
n |
s |
|||||||||||||
m |
|||||||||||||||||||||
∂ |
T |
Jμ |
(x)Ψ |
(y)Ψ |
(z) |
= T ∂ |
Jμ |
(x)Ψ |
(y)Ψ |
(z) |
|||||||||||
+ δ(x0 − y0 )Tn |
J0 (x)Ψn (y) |
m (z)s |
|||||||||||||||||||
Ψ |
(10.4.21) |
||||||||||||||||||||
+ δ(x0 − z0 )TnΨn (y) J0 (x), Ψm (z) s ,
где дельта-функции возникают от дифференцирования ступенча- тых функций. В силу закона сохранения (10.4.2) первое слагаемое обращается в нуль. Второе и третье слагаемые можно вычислить с помощью коммутационных соотношений (10.4.9), которые в данном случае имеют вид
J0 (x, t), Ψ |
(y, t) |
= −qΨ |
(y, t)δ3 (x − y) , |
(10.4.22) |
|
n |
n |
а для сопряженного коммутатора имеем:
J0 (x, t), |
Ψ |
n (y, t) |
= q |
Ψ |
n (y, t)δ3 (x − y) . |
(10.4.23) |
Тогда формула (10.4.21) записывается в виде
∂ ∂μ TnJμ (x)Ψn (y)Ψm (z)s = −qδ4 (x − y)TnΨn (y)Ψm (z)s x
(10.4.24)
+ qδ4 (x − z)TnΨn (y)Ψm (z)s .