10.7. Представление Челлена–Лемана |
619 |
|
где сумма берется по любому полному набору состояний. (Сумма по n включает интегралы по непрерывным и суммы по дискретным переменным.) Выбирая эти состояния как собственные состояния 4-вектора импульса Pμ, на основании трансляционной инвариантно-
сти получаем, что
á0| F(x)| nñ = exp(ipn × x)á0| F(0)| nñ,
án| F† (y)| 0ñ = exp(-ipn × y)án| F† (0)|0ñ , |
(10.7.2) |
и поэтому
F(x)F† (y) = å expbipn × (x - y)g| á0| F(x)| nñ|2 . |
(10.7.3) |
|
0 |
n |
|
Удобно переписать это выражение, введя спектральную функцию. Заметим, что сумма ån d4 (p - pn )| á0| F(x)| nñ|2 есть скалярная функция 4-вектора pμ и поэтому может зависеть только от р2 è (ïðè p2 £ 0)
от знака p0. На самом деле, для всех промежуточных состояний в (10.7.3) p2 £ 0 è ð0 > 0, так что сумма принимает вид
åd4 (p - pn )| á0| F(0)| nñ|2 = (2p)−3 q(p0 )r(-p2 ), |
(10.7.4) |
n |
ãäå r(−p2) = 0 äëÿ p2 > 0. (Множитель (2p)–3 выделен из r для удобства дальнейших выкладок.) Спектральная функция r(−p2) î÷å-
видно действительна и положительна. С учетом данного определения выражение (10.7.3) можно переписать в виде
cF(x)F†(y)h0 = (2p)−3 z d4p exp[ip × (x - y)]q(p0 )r(-p2 )
∞
= (2p)−3 z d4pz dm2 exp[ip × (x - y)]q(p0 )r(m2 )d(p2 + m2 ) . (10.7.5)
0
Меняя порядок интегрирования по pμ è m2, можно представить
последнее выражение в виде
620 |
Глава 10. Непертурбативные методы |
||
∞ |
|||
F(x)F† (y) |
0 |
= z dm2r(m2 )D+ (x - y; m2 ) , |
(10.7.6) |
0 |
|||
ãäå D+ — знакомая нам функция |
|||
D+ (x - y; m2 ) º (2p)−3 z d4p exp[ip × (x - y)]q(p0 )d(p2 + m2 ) . (10.7.7) |
|||
Совершенно аналогично можно показать, что |
|||
∞ |
|||
F† (y)F(x) |
0 |
= z dm2r(m2 )D+ (y - x; m2 ) , |
(10.7.8) |
0 |
|||
где вторая спектральная функция определена соотношением |
|||
åd4 (p - pn )| á0| F† (0)| nñ|2 = (2p)−3 q(p0 )r(-p2 ). |
(10.7.9) |
||
n |
|||
Используем теперь требование причинности, заключающееся в том, что коммутатор [F(x),F†(y)] обращается в нуль, если точки x и y разделены пространственноподобным интервалом. Среднее по вакууму от коммутатора имеет вид
∞ |
||
[F(x)F† (y)] |
0 |
= z dm2 dr(m2 )D+ (x - y; m2 ) - r(m2 )D+ (y - x; m2 )i .(10.7.10) |
0 |
Как указывалось в разделе 5.2, если интервал между x и y пространственноподобен, функция D+(x − y) не обращается в нуль,
но является четной. Поэтому для того, чтобы выражение (10.7.10) обратилось в нуль при произвольных пространственноподобных интервалах, необходимо выполнение условия
r(m2 ) = r(m2 ) . |
(10.7.11) |
Это частный случай СРТ-теоремы, доказанной здесь без обращения к теории возмущений: для любых состояний с p2 = −m2, имеющих квантовые числа оператора F, должны найтись соответствующие состояния с p2 = −m2, имеющие квантовые числа оператора F†.
10.7. Представление Челлена–Лемана |
621 |
|
С помощью (10.7.11) среднее по вакууму от хронологического произведения запишется в виде
áTnF(x)F (y)sñ0 |
∞ |
(x - y; m ) , |
|
= -iz dm r(m )DF |
(10.7.12) |
||
† |
2 2 |
2 |
|
0 |
ãäå DF(x − y; m2) есть фейнмановский пропагатор для бесспиновой частицы массой m:
-iDF (x - y; m2 ) º q(x0 - y0 )D+ (x - y; m2 ) - q(y0 - x0 )D+ (y - x; m2 ) .
(10.7.13) Используя обозначения, введенные в разделе 10.3 для точных пропагаторов, вводим в импульсном пространстве функцию
-iD¢(p) º z d4x exp-ip × (x - y)áTnF(x)F† (y)sñ0 . (10.7.14)
Напомним, что
z d4x exp -ip × (x - y) DF (x - y; m2 ) = 1 . (10.7.15) p2 + m2 - ie
Это приводит к искомому спектральному представлению 9:
*На самом деле, нет даже уверенности в том, что Δ′(p) обращается в нуль при |p2| → ∞, хотя, казалось бы, это следует из спектрального
представления. Проблема связана с изменением порядка интегрирования по pμ è μ2. Определенно можно утверждать (с помощью методов следующего раздела), что Δ′(p) есть аналитическая функция −ð2 со скачком вдоль положительной действительной оси −ð2 = μ2, равным πρ(μ2). Отсюда следует, что для Δ′(p) можно записать дисперсионное соотношение со спектральной функцией ρ(μ2) и возможными вычитаниями:
X∞ |
ρ(μ2 ) |
dμ2 |
|||||||
′(p) = P(p2 ) + (−p2 |
+ μ2)n Y |
. |
|||||||
(μ2 + μ2 )n |
p2 |
− iε |
|||||||
0 |
Z |
+ μ2 |
|||||||
0 |
0 |
||||||||
ãäå n − положительное целое число, μ 2 |
− произвольная положительная |
||||||||
0
константа, а P(p2) − зависящий от μ02 полином по р2 порядка n−1,
отсутствующий при n = 0.
622 |
Глава 10. Непертурбативные методы |
|||||
∞ |
||||||
X |
dμ2 |
|||||
′(p) = Y |
ρ(μ2 ) |
. |
(10.7.16) |
|||
p2 |
+ μ2 − iε |
|||||
Z |
||||||
0 |
||||||
Первым немедленным следствием этого результата в сочетании с положительностью ρ(μ2) является то, что ′(p) не может обращаться в нуль при |p2| → ∞ быстрее, чем свободный пропагатор 1/(p2+ m2 − iε) *.
Время от времени предлагают включить в невозмущенный лагранжиан слагаемые с высшими производными, что привело бы к убыванию пропагатора быстрее чем 1/p2 ïðè |p2| → ∞. Однако спектральное
представление показывает, что это обязательно вступает в противоре- чие с квантово-механическим постулатом положительности. 1
Спектральное представление вместе с одновременными коммутационными соотношениями можно использовать для вывода интересного правила сумм для спектральной функции. Если Φ(x) −
обычным образом нормированный (но не перенормированный) канонический оператор поля, то
L ∂Φ(x, t) |
O |
||||||||
M |
, Φ† (y, t)P |
= −iδ3 (x − y) . |
(10.7.17) |
||||||
∂t |
|||||||||
N |
Q |
||||||||
Заметим, что |
|||||||||
∂ |
+ (x − y)| |
0 = −iδ3 (x − y) , |
|||||||
0 |
|||||||||
∂x0 |
|||||||||
x |
= y |
||||||||
так что из спектрального представления (10.7.10) вместе с коммутационными соотношениями (10.7.17) вытекает, что
z0∞ ρ(μ2 )dμ2 = 1 . |
(10.7.18) |
Отсюда следует, что при |p2| → ∞ пропагатор (10.7.16) неперенорми-
рованных полей в импульсном пространстве имеет асимптотическое поведение, отвечающее свободному полю:
′(p) → 1 . p2