628 |
Глава 10. Непертурбативные методы |
|
FA (w) º z d4x q(-x0 )áa| [J† (0), J(x)]| añeiwl×x + ÎÂÊ , |
(10.8.7) |
|
FR (w) º -z d4x q(x0 )áa| [J† (0), J(x)]| añeiwl×x + ÎÂÊ , |
(10.8.8) |
|
F+ (w) º z d4xáa| J(x)J† (0)| añeiwl×x , |
(10.8.9) |
|
F- (w) º z d4xáa| J† (0)J(x)| añeiwl×x . |
(10.8.10) |
|
Условие микропричинности утверждает, что подынтегральные выражения в формулах (10.8.7) и (10.8.8) обращаются в нуль, если только xm
не находится внутри светового конуса. Тогда наличие ступенчатых функций приводит к тому, что xm в формуле (10.8.7) находится в световом конусе прошлого, и x×l > 0, а в формуле (10.8.8) — в переднем световом конусе, и x×l < 0. Отсюда следует, что FA(w) аналитична при Im w > 0, à FR(w) аналитична при Im w < 0, так как в обоих случаях множитель eiwl×x обеспечивает сходимость интеграла по xm. (Напомним, что слагаемое «ОВК» является полиномом и поэтому
аналитично во всех конечных точках.) Поэтому можно определить функцию
RFA(ω) , |
Im ω > 0, |
(10.8.11) |
|
F (w) º S |
(w) , |
Im w < 0, |
|
TFR |
|||
аналитичную во всей комплексной плоскости w, за исключением
разреза вдоль действительной оси.
Выведем теперь дисперсионное соотношение. Согласно формуле (10.8.6) скачок F (w) на разрезе при любом действительном Е равен
F (E + iε) − F (E − iε) = FA (E) − FR (E) = F- (E) − F+ (E) . (10.8.12)
Åñëè F (w)/wn обращается в нуль при |w| ® ¥ как в верхней, так и в
нижней полуплоскости, то поделив эту функцию на любой полином P(w) порядка n, получаем функцию, которая обращается в нуль при |w| ® ¥ и аналитична везде, за исключением разреза вдоль действительной оси и полюсов в нулях wn полинома P(w). (Åñëè ñàìà F (w) обращается в нуль при |w| ® ¥, можно взять P(w) = 1.)
Согласно теореме о вычетах, имеем тогда
10.8. Дисперсионные соотношения |
629 |
|
F (ω) |
+ å |
F (ω ν ) |
= |
1 |
X F (z)dz |
||||||||||||
Y |
, |
(10.8.13) |
|||||||||||||||
P ω |
( |
ω |
ν |
− ω |
P′ |
ω |
ν ) |
2 |
πi |
z − ω |
P z |
||||||
( ) |
ν |
) |
( |
Z ( |
) |
( ) |
|||||||||||
ãäå ω — любая точка вне действительной оси, а С − контур,
состоящий их двух кусков: один проходит над действительной осью от −∞ + iε äî +∞ + iε и замыкается по большому полукругу в верхней полуплоскости назад к −∞ + iε, а другой проходит под действительной осью от +∞ − iε äî −∞ − iε и замыкается по большому полукругу в нижней полуплоскости назад к +∞ − iε. Поскольку функция F(z)/P(z) обращается в нуль при |z| → ∞,
вкладом от больших полукругов можно пренебречь. С учетом (10.8.12) формула (10.8.13) принимает вид:
F (ω) = Q(ω) + |
P(ω) X+∞ F− (E) − F+ (E) |
||||
Y |
dE , |
(10.8.14) |
|||
2πi |
|||||
Z−∞ |
(E − ω)P(E) |
||||
ãäå Q(ω) — полином (n − 1)-ой степени:
Q(ω) ≡ −P(ω)å |
F (ω ν ) |
. |
|||||||
( |
ω |
− ω |
′ |
( |
ω |
||||
ν |
ν |
)P |
ν ) |
||||||
Говорят, что дисперсионное соотношение такого вида, где P(ω) è Q(ω) имеют соответственно порядок n и n − 1, имеет n вычитаний.
Если можно положить Р = 1, то Q = 0, и дисперсионное соотношение называется безвычитательным.
Если теперь устремить ω к действительной оси сверху, то из
(10.8.14) получаем:
FA (ω) = Q(ω) + |
P(ω) X+∞ |
F− (E) − F+ |
(E) |
|||||||||||||
Y |
dE . |
(10.8.15) |
||||||||||||||
2πi Z−∞ |
(E − ω − iε)P(E) |
|||||||||||||||
Вспоминая формулы (10.8.6) и (3.1.25), находим: |
||||||||||||||||
F(ω) = |
Q(ω) + |
1 |
F− (ω) + |
1 |
F+ (ω) + |
P(ω) X+∞ F− (E) − F+ (E) |
||||||||||
Y |
dE , (10.8.16) |
|||||||||||||||
2 |
2 |
2πi Z−∞ (E − ω)P(E) |
||||||||||||||
ãäå 1/(E − ω) понимается |
теперь |
в смысле |
главного |
значения |
||||||||||||
P/(E − ω). |
||||||||||||||||
630 |
Глава 10. Непертурбативные методы |
Этот результат полезен, поскольку функции F±(E) можно
выразить через измеряемые сечения. Суммируя в формулах (10.8.9) и (10.8.10) по полному набору многочастичных промежуточных состояний b (включая интегрирование по импульсам частиц в состояниях b) и вновь используя трансляционную инвариантность, имеем:
F+ (E) = (2p)4 å| áb| J(0)† | añ|2 d4 (-pα + El + pβ ) , |
(10.8.17) |
β |
|
F− (E) = (2p)4 å| áb| J(0)| añ|2 d4 (pα + El - pβ ) . |
(10.8.18) |
β |
Однако матричные элементы поглощения безмассового скалярного бозона В в реакции B + a ® b или его античастицы Вñ в реакции Bc + a ® b имеют соответственно вид
-2ipM |
= |
(2p)4 |
áb| J(0)† | añ , |
(10.8.19) |
|||||||||||||
c |
+α→β |
||||||||||||||||
(2p)3/2 2E |
|||||||||||||||||
B |
B |
c N |
|||||||||||||||
-2ipMB+α→β = |
(2p)4 |
áb| J(0)| añ . |
(10.8.20) |
||||||||||||||
(2p)3/2 |
|||||||||||||||||
2EB N |
|||||||||||||||||
Сравнивая с формулой (3.4.15), видим, что функции F±(E) можно |
|||||||||||||||||
выразить через полные сечения * при энергиях еE: |
|||||||||||||||||
F+ (E) = q(-E) |
2| E| | N|2 |
s |
c (| E| ) , |
(10.8.21) |
|||||||||||||
(2p)3 |
α + B |
||||||||||||||||
F− (E) = q(E) |
2E| N|2 |
sα + B(E) . |
(10.8.22) |
||||||||||||||
(2p)3 |
|||||||||||||||||
* В ряде случаев, |
когда |
правила |
отбора разрешают |
переходы |
|||||||||||||
α→ α + B è α → α + Bc, функции F±(E) содержат также слагаемые, пропорциональные δ(E), возникающие от вклада одночастичного состояния
αв сумме по промежуточным состояниям β. Для поперечно поляризован-
ных фотонов или псевдоскалярных пионов в пределе mπ → 0 подобная
ситуация не возникает.
632 |
Глава 10. Непертурбативные методы |
видим, что при Im w £ 0 функция FA(−w) совпадает с функцией FR(w), если не считать перемены местами J и J†. Иными словами,
FA(-w) = FRc (w) ïðè Im w £ 0 ,
где верхний индекс c указывает, что амплитуда описывает рассеяние античастицы Bc на мишени a. (Оставляем читателю показать, что это1
соотношение не нарушается при учете слагаемых от одновременных коммутаторов в (10.8.7) и (10.8.8).) Аналогично находим, что
FR (-w) = FAc (w) ïðè Im w ³ 0 ,
и что для действительных w
F± (−ω) = Fmc (ω) .
Используя эти соотношения в формуле (10.8.6) и вспоминая, что f(w) пропорциональна F(w), находим соотношение кросс-симметрии: для действительных w
f(-w) = fc (w) . |
(10.8.25) |
Мы свободны в выборе P(w) в виде любого полинома достаточно высокого порядка, но тогда R(w) зависит не только от P(w), но и от значений F (w) в нулях P(w). Åñëè P(w) − действительный
полином n-ого порядка, единственными свободными параметрами в (10.8.16) являются n действительных коэффициентов в действительном полиноме (n − 1)-ого порядка R(w). Следовательно,
соотношение (10.8.16) содержит ровно n неизвестных действительных независимых констант, являющихся коэффициентами полинома R(w) при заданном P(w). По этой причине желательно
выбирать порядок n произвольного во всем остальном полинома P(w) как можно меньшим .
Можно попробовать взять P(w) = 1, но это не сработает.
Анализ, проведенный в разделе 3.7, показывает, что амплитуда рассеяния вперед должна расти как w или, возможно, как w ln2w. В этом случае, для того, чтобы f(w)/P(w) обращалась в нуль при w ® 0, достаточно взять P(w) в виде полинома второго порядка,