10.7. Представление Челлена–Лемана |
625 |
||||||
= 1 − |
e2 |
F Λ2 I |
|||||
Z3 |
ln G |
J , |
|||||
12π |
2 |
2 |
|||||
H me K |
|||||||
(ãäå Λ . me — ультрафиолетовое обрезание) в согласии с ограниче-
íèåì (10.7.22).
10.8. Дисперсионные соотношения *
Провал первых попыток применить формализм теории возмущений в квантовой теории поля к слабым и сильным ядерным взаимодействиям привел теоретиков в конце 1950-х годов к идее об использовании аналитичности и унитарности амплитуд рассеяния для вывода общих непертурбативных результатов, не зависящих от конкретной теории поля. Это направление исследований началось с возрождения интереса к дисперсионным соотношениям. В своем первоначальном виде 13 дисперсионное соотношение представляло собой формулу, выражающую действительную часть показателя преломления в виде интеграла от его мнимой части. Формула была получена как следствие свойства аналитичности показателя преломления как функции частоты, которое вытекало из условия, что электромагнитные сигналы в среде не могут распространяться быстрее, чем в вакууме. Если выразить показатель преломления через амплитуду рассеяния фотона вперед, то дисперсионное соотношение можно переписать как формулу, связывающую действительную часть амплитуды рассеяния вперед с интегралом от ее мнимой части, а следовательно, в силу условия унитарности, с интегралом от полного сечения. Одним из вдохновляющих свойств такого соотношения было то, что оно представляло альтернативу обычной теории возмущений: задавая амплитуду рассеяния в порядке е2, можно было вычислить сечение и мнимую часть амплитуды рассеяния в порядке е4, а затем с помощью дисперсионного соотношения найти действительную часть амплитуды рассеяния вперед в этом же порядке, не вычисляя при этом никаких петлевых диаграмм.
*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения
èможет быть опущен при первом чтении.
626 |
Глава 10. Непертурбативные методы |
Развитие современного подхода к дисперсионным соотношениям началось в 1954 году работой Гелл-Манна, Гольдбергера и Тирринга 14. Вместо рассмотрения распространения света в среде, они вывели свойство аналитичности амплитуды рассеяния непосредственно из условия микропричинности, утверждающего, что коммутаторы операторов поля обращаются в нуль, когда точки, в которых эти операторы заданы, разделены пространственноподобным интервалом. Вскоре такой подход позволил Гольдбергеру 15 вывести очень полезное дисперсионное соотношение для пион-
нуклонной амплитуды рассеяния вперед.
Чтобы увидеть, как можно использовать принцип микропри- чинности, рассмотрим в лабораторной системе рассеяние на угол нуль безмассового бозона любого спина на произвольной мишени a массой mα > 0 и импульсом pα = 0. (Как обсуждается в т. II,
этот пример имеет важные приложения для рассеяния не только фотонов, но и пионов в пределе mπ = 0.) Двукратным применением формулы (10.3.4) или теоремы Лемана-Симанчика-Циммермана 3
матричный элемент S-матрицы в этом случае представляется в виде:
S = |
1 |
limk2 ®0 limk¢2 ®0 |
(2p)3 4ww¢| N|2 |
´ z d4xz d4ye-ik¢×yeik×x (i9y)(i9x )áa| T{A† (y), A(x)}| añ . (10.8.1)
Здесь k и k′ − начальный и конечный 4-импульсы бозона, причем ω = k0, ω′ = k′0; A(x) − произвольный гейзенберговский оператор с
неисчезающим матричным элементом
áVAC|A(x)|kñ = (2p)−3/2(2w)−1/2Neik×x
между однобозонным состоянием |kñ и вакуумом, а N - константа.
При рассеянии фотона оператор A(x) может быть одной из попереч- ных компонент электромагнитного поля, а в случае рассеяния безмассовых пионов - псевдоскалярной функцией адронных полей. Дифференциальные операторы -i9x è -i9y вставлены для того, чтобы появились множители ik¢2 è ik2, необходимые для сокраще-
ния бозонных пропагаторов, отвечающих внешним линиям. Подействовав этими операторами на A†(y) и A(x), получаем
10.8. Дисперсионные соотношения |
627 |
|
S = |
−1 |
limk2 ®0 limk¢2 ®0 |
|||
(2p)3 |
| N|2 |
||||
4ww¢ |
|||||
(10.8.2) |
|||||
´ z d4xz d4 ye-ik¢×yeik×x áa| T{J† (y), J(x)}| añ + ÎÂÊ , |
|||||
ãäå J(x) º 9xA(x), а «ОВК» означает фурье-образ слагаемых от
одновременных коммутаторов, возникающих при действии производной на ступенчатую функцию в хронологическом произведении. Коммутаторы операторов типа A(x) и A†(y) (или их производных) при x0 = y0 обращаются в нуль при x ¹ y, так что слагаемое «ОВК»
есть фурье-образ дифференциального оператора, действующего на d4(x - y), и поэтому является полиномиальной функцией 4-импуль-
сов бозонов. Нас интересуют аналитические свойства матричного элемента S-матрицы, так что детальный вид этого полинома несуществен.
В силу трансляционной инвариантности матричный элемент (10.8.2) S-матрицы представляется в виде S = –2pid4(k′ − k)M(w),
ãäå |
||||
M(w) = |
−i |
F(w) , |
(10.8.3) |
|
2w| N| |
2 |
|||
F(w) º z d4x eiwl×x áa| T{J† (0), J(x)}| añ + ÎÂÊ , |
(10.8.4) |
|||
при соглашении, что kμ = wlμ, ãäå l − фиксированный 4-вектор, такой, что lμlμ = 0 è l0 = 1.
Хронологическое произведение можно двумя способами переписать через коммутаторы:
T{J† (0), J(x)} = q(-x0 )[J† (0), J(x)] + J(x)J† (0)
= -q(x0 )[J† (0), J(x)] + J† (0)J(x) . |
(10.8.5) |
Соответственно, |
|
F(ω) = FA(ω) + F+ (ω) = FR(ω) + F- (ω) , |
(10.8.6) |
ãäå |