Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

дели в предыдущем разделе, если включить в лагранжиан все бесконечное количество взаимодействий, разрешенных симметриями, то для сокращения каждой ультрафиолетовой расходимости найдется соответсвующий контрчлен. В этом смысле, как и утверждалось ранее, неперенормируемые теории так же перенормируемы, как и перенормируемые теории, если только в лагранжиан вклю- чены все возможные слагаемые.

В последние годы усиливается ощущение, что перенормируемость не является фундаментальным физическим требованием, и что на самом деле любая реалистичная квантовая теория поля должна содержать как перенормируемые, так и неперенормируемые слагаемые. Такое изменение точки зрения можно отчасти проследить в продолжающихся неудачных попытках построить перенормируемую теорию гравитации. В общем классе метрических теорий тяготения, подчиняющихся эйнштейновскому принципу эквивалентности, вообще нет перенормируемых взаимодействий: общековариантные взаимодействия должны строиться из тензора кривизны и его общековариантных производных, и поэтому даже в «калибровке», в которой пропагатор гравитона ведет себя как k−2, эти взаимодействия содержат слишком много про-

изводных метрического тензора для того, чтобы быть перенормируемыми. В частности, неперенормируемость общей теории относительности следует из того известного факта, что константа гравитационного взаимодействия 8πGN = (2,43 × 1018 ÃýÂ)−2 имеет отрицательную размер-

ность. Даже если со всем остальным все в порядке, сокращение расходимостей из-за виртуальных гравитонов будет требовать наличия в лагранжиане всех разрешенных симметриями взаимодействий, включающих не только гравитоны, но и любые частицы.

Но если перенормируемость не является фундаментальным физическим принципом, то как же объяснить успех перенормируемых теорий вроде квантовой электродинамики и стандартной модели? Ответ можно получить с помощью простого размерного анализа. Мы уже отмечали, что константа связи взаимодействия типа i имеет размерность

где показатель i дается формулой (12.1.9). К неперенормируемым относятся те взаимодействия, у которых константы связи имеют отрицательную массовую размерность. Представляется разум-

ным предположить на основании формулы (12.3.1), что константы связи не только имеют размерности, определяемые значением i, но имеют величину порядка

ãäå Ì − некоторая общая масса. (Именно так обстоит дело в слу-

чае эффективных теорий поля, которые рассмотрены ниже и, более подробно, в т. II.) При расчете физических процессов, происходящих на характерных масштабах k n M, включение неперенормируемого взаимодействия типа i с i < 0 приводит к появлению множителя gi ≈ M i , который по размерным соображениям должен сопровождаться множителем k− i , так что в резуль-

тате такое взаимодействие подавляется * при k n M множителем (k / M)− i n1. (Этот аргумент более аккуратно будет рассмотрен в

т. II с помощью метода ренормгруппы.) Успех перенормируемых теорий электрослабых и сильных взаимодействий всего лишь показывает, что М намного больше, чем тот масштаб энергий, на котором эти взаимодействия проверены.

Например, ведущими неперенормируемыми поправками к обычной электродинамике электронов или мюонов были бы те взаимодействия размерностью 5, которые подавляютсяÑÐтолько одним множителем 1/М. Лоренцовская, калибровочная и −инвариантность допускают единственное такое взаимодействие − паулиевское слагаемое вида (ie/M)`ψ[γμ,γν]ψFμν. Согласно (10.6.24), (10.6.17)

è(10.6.19), такое слагаемое вносит в магнитный момент электрона

* В этом месте существенно предположение, что ультрафиолетовые

расходимости были устранены с помощью перенормировки, так что отсутствуют множители, содержащие ультрафиолетовое обрезание Λ, êî-

торые могут помешать размерному анализу. В противном случае, из этого анализа следует, что при Λ → ∞ каждая дополнительная неперенормиро-

ванная константа связи gi ñ i < 0 сопровождалась бы растущим множителем Λ− i . Уже очень давно аргументы, основанные на размерных сообра-

жениях, привели Гейзенберга к классификации взаимодействий в соответствии с размерностью их констант связи и к предположению10, что при энергиях порядка g1 i должны возникать новые явления, например, при энергии GF−12 d 300i ÃýÂ, ãäå GF − четырехфермионная константа связи в

фермиевской теории бета-распада. После развития теории перенормировок Саката и др. отметили11, что неперенормируемыми являются теории, в которых константы связи имеют отрицательную размерность.

704 Глава 12. Общая теория перенормировок

или мюона вклад порядка 4е/М. Рассчитанное значение магнитного момента электрона согласуется с экспериментом с точностью до слагаемых порядка 10−10(å/2me), так что М должна быть больше, чем 8 × 1010me = 4 × 107 ÃýÂ.

Этот предел может быть ослаблен, если форму неперенормируемых взаимодействий ограничивают другие симметрии. Например, обычный лагранжиан квантовой электродинамики инвариантен относительно кирального преобразования y ® g5y, если не считать изменения знака у фермионного массового члена -m`yy.

Если предположить, что полный лагранжиан инвариантен относительно формальной симметрии y ® g5y, m ® -m, то паулиевское

слагаемое в лагранжиане должно было бы входить с дополнительным множителем m/M, так что его вклад в магнитный момент был бы только порядка 4em/M2. Из-за появления лишнего множителя m, самая значимая оценка на М извлекается из формул для мюона, а не для электрона. Рассчитанное значение магнитного момента мюона согласуется с экспериментом с точностью до слагаеìûõ порядка 10−8(e/2me), так что М должна быть больше, чем 8 × 108 mμ d 3 × 103 ГэВ. В любом случае, если М лежит где-то в области

значений 1018 ГэВ, мы с уверенностью пренебрегаем любыми неперенормируемыми взаимодействиями, которые могут возникать в квантовой электродинамике.

Эти соображения позволяют разобраться с некоторыми проблемами, связанными со слагаемыми с высшими производными в лагранжиане. Например, в общей теории действительного скалярного поля j можно ожидать появления в лагранжиане слагаемых вида j9nj. Любое подобное слагаемое будет давать прямой вклад в скалярную собственноэнергетическую функцию P*(q2), ïðî-

порциональный (q2)n. Если бы мы включили такой вклад во всех порядках, но пренебрегли бы всеми другими эффектами непере-

нормируемых взаимодействий, то пропагатор скалярного поля D¢(q2 ) = 1 / (q2 + m2 - P* (q2 )) имел бы не один простой полюс по q2

при отрицательных q2, который можно ожидать на основании общих соображений раздела 10.7, а n таких полюсов (некоторые из которых могут совпадать), вообще говоря, при комплексных зна- чениях q2. Но если неперенормируемое слагаемое j9nj содержит коэффициент порядка M−2(n−1), где M . m, тогда дополнительные

полюсы находятся при значениях q2 порядка М2, т. е. в области, где неправомерно игнорировать бесконечное число других непе-

ренормируемых взаимодействий, которые также должны появиться в лагранжиане. Итак, появление слагаемых с высшими производными в общем неперенормируемом лагранжиане не противоречит общим принципам квантовой теории поля, использованным в разделе 10.7. Однако по тем же соображениям нельзя использовать слагаемые с высшими производными, чтобы избежать появления ультрафиолетовых расходимостей, как это неоднократно предлагалось. Слагаемое M−2(n−1)ϕ9nϕ в лагранжиане обеспечи-

вает обрезание при импульсах q2 d M2, но при таких импульсах нельзя игнорировать все другие неперенормируемые взаимодействия, которые обязательно должны присутствовать.

Вклад неперенормируемых взаимодействий сильно подавлен, однако может быть обнаружен, если они приводят к эффектам, запрещенным при отсутствии таких взаимодействий. Например, мы увидим в разделе 12.5, что симметрии относительно зарядового сопряжения и пространственной инверсии являются автоматическим следствием структуры электромагнитных взаимодействий, определяемой требованиями калибровочной и лоренцовской инвариантности и перенормируемости. Однако можно легко вообразить неперенормируемые слагаемые, нарушающие эти симметрии, например, слагаемое с электрическим дипольным моментом электрона вида`ψγ5[γμ,γν]ψFμν или фермиевское взаимодействие `ψγ5γμψ`ψγμψ. Сейчас широко распространена точка зрения,

что сохранение барионного и лептонного чисел нарушается очень слабыми эффектами сильно подавленных неперенормируемых взаимодействий. Другим примером детектируемых неперенормируемых взаимодействий является гравитация. Как отмечалось выше, у гравитонов вообще нет перенормируемых взаимодействий. Но, естественно, мы наблюдаем гравитацию, потому что она обладает особым свойством: гравитационные поля всех частиц в макроскопическом теле когерентно складываются.

Хотя неперенормируемые теории содержат бесконечное число свободных параметров, они, тем не менее, сохраняют значительную предсказательную силу 12: эти теории позволяют вычислить неаналитические части фейнмановских амплитуд, типа слагаемых ln q и q ln q в рассмотренных в начале предыдущего раздела одномерных примерах. Такие вычисления воспроизводят результаты, вытекающие из аксиом теории S-матрицы, а именно, что S-матрица обладает лишь теми сингулярностями, которые требуются условием унитарности.

Парадоксальным образом неперенормируемые квантовые теории поля оказываются наиболее полезными в случаях, когда принципы симметрии запрещают перенормируемые взаимодействия. В таких случаях можно развить полезную теорию возмущений, разлагая в ряд по степеням k/M. Такой подход был детально разработан для теории пионов низких энергий 12,13, которая будет подробно обсуждаться в т. II, и в теории гравитонов низких энергий 14. Чтобы привести пример попроще, рассмотрим теорию действительного скалярного поля, удовлетворяющую принципу инвариантности относительно трансляций поля

ϕ(x) → ϕ(x) + ε ,

ãäå ε — произвольная константа. Эта симметрия запрещает любое

перенормируемое взаимодействие или массу скаляра, но допускает бесконечное число неперенормируемых взаимодействий с производными

L = − 21 ∂μϕ∂μϕ − g4 (∂μϕ∂μϕ)2 − . . . ,

ãäå g d M−4, а «...» означает слагаемые с бо1льшим числом произ-

водных или полей. (Для простоты здесь предполагается, что теория симметрична относительно отражения ϕ → −ϕ.) Согласно про-

деланному выше размерному анализу, диаграмма произвольной реакции, в которой все энергии и импульсы порядка k n M, подавлена фактором (k/M)ν, ãäå

ν = −å Vi i = å Vi (di + ni − 4) ,

ii

èni, di — числа скалярных полей и их производных во взаимодействии типа i, а Vi − число вершин таких взаимодействий в

диаграмме. При k n M главный вклад в любой процесс соответствует наименьшему значению ν. Формулу для ν можно предста-

вить в более удобном виде, используя известные топологические тождества для связных диаграмм: