Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

ãäå I, E è L − числа внутренних линий, внешних линий и петель в

нашей диаграмме. Комбинируя эти выражения, получаем

ν = 2E − 4 + 4L + å Vi (di − ni ) .

i

Симметрия относительно трансляций полей требует, чтобы каждое поле сопровождалось по меньшей мере одной производной, так что величина di − ni, а также L неотрицательны для

всех взаимодействий. Таким образом, для данного процесса (т. е. при фиксированном числе внешних линий Е) главными будут вклады от древесных диаграмм (с L = 0), отвечающим взаимодействиям с минимальным числом di = ni производных. Иными словами, в ведущем порядке можно считать, что лагранжиан зависит только от первых производных поля. Поправки более высокого порядка могут содержать петли и/или взаимодействия с большим числом производных от некоторых полей. Но в любом данном порядке ν по (k/M) нужно рассматривать только конечное число диаграмм, для которых L ≤ (4 − 2E + ν)/4, и только

конечное число типов взаимодействий.

Например, скаляр−скалярное рассеяние в ведущем порядке

определяется древесной диаграммой с одной вершиной, вклад которой можно найти, используя взаимодействие −g(∂μϕ∂μϕ)2 в первом порядке теории возмущений. Согласно нашей формуле для ν,

главная поправка, подавленная при низких энергиях множителем (k/M)2, возникает от другой древесной диаграммы с одной вершиной, порождаемой взаимодействием с двумя дополнительными производными вида * ∂μ∂νϕ∂μ∂νϕ∂λϕ∂λϕ. Следующие поправ-

ки, подавленные при низких энергиях двумя дополнительными множителями k/M, возникают как от однопетлевой диаграммы рис. 12.4 (с учетом перестановки внешних линий), вычисленной только с учетом взаимодействия −g(∂μϕ∂μϕ)2, так и от древесных

диаграмм с единственной вершиной, возникающей от четвертич- ного взаимодействия с восемью производными, константы кото-

* В согласии с замечанием в разделе 7.7, мы исключаем взаимодействия, содержащие 9ϕ, поскольку с помощью уравнений поля для ϕ можно

выразить такие взаимодействия через другие.

природу при энергиях Е n М, являются не истинно фундаментальными, а просто эффективными теориями поля.

Вероятно, самым первым примером эффективной теории поля была построенная в 1930-х годах Эйлером и др.16 теория низкоэнергетических фотон-фотонных взаимодействий (см. раздел 1.3). По существу они вычислили вклад в фотон-фотонное рассеяние фейнмановских диаграмм типа показанной на рис. 12.5, и обнаружили, что при энергиях много меньших me рассеяние света на света оказывается таким же, как если бы оно было вычислено с помощью эффективного лагранжиана

Эйлер и др. использовали этот эффективный лагранжиан только в древесном приближении, и вычислили ведущие слагаемые в матричных элементах фотонного взаимодействия. Лишь намного позднее такие лагранжианы, несмотря на их неперенормируемость, стали использовать вне рамок древесного приближения 12,17.

Рис. 12.5. Диаграмма фотон-фотонного рассеяния. Ее вклад при низких энергиях можно вычислить, исходя из эффективного лагранжиана Эйлера и др. 16. Прямые линии отвечают электронам, волнистые — фотонам

На современном жаргоне мы говорим, что при получении такого лагранжиана «по электронам было произведено интегрирование», поскольку в однопетлевом приближении

Более общая процедура заключается в том, чтобы выписать самый общий неперенормируемый эффективный лагранжиан, с его помощью рассчитать различные амплитуды в виде разложений в ряд по энергиям и импульсам, а затем выбрать константы в эффективном лагранжиане, сравнив полученные результаты с теми, которые выводятся с помощью лежащей в основе теории.

Мы еще вернемся к эффективным теориям поля, особенно при рассмотрении нарушенных симметрий в т. II. Как будет показано, эффективные теории поля полезны, даже если их нельзя вывести из лежащей в основе теории, либо потому, что эта теория неизвестна, либо потому, что взаимодействия в ней слишком сильны, чтобы можно было использовать теорию возмущений. Действительно, даже если мы ничего не знаем о свойствах заряженных частиц, рассеяние фотонов при достаточно низких энергиях должно будет описываться эффективным лагранжианом, содержащим слагаемые (Е2 - Â2)2 è (Å×Â)2, поскольку это единственные

четвертичные калибровочно и лоренц-инвариантные слагаемые, не содержащие производных от Е и В. Слагаемые с такими производными должны быть подавлены при низких энергиях фотонов Е дополнительными множителями Е/М, где М — некоторая типич- ная масса заряженных частиц, по которым было произведено интегрирование. Можно продвинуться еще дальше: будет показано, что эффективные теории поля полезны даже в том случае, когда описываемые ими легкие частицы вообще не присутствуют в исходной теории, а состоят из тяжелых частиц, по которым произведено интегрирование. Лежащая в основе теория может вообще не быть теорией поля — трудности с включением гравитации привели многих теоретиков к убеждению, что такая теория есть на самом деле теория струн. Но откуда бы ни возникала эффективная теория поля, она неизбежно должна быть неперенормируемой.

12.4. Плавающее обрезание *

Прежде чем завершить эту главу, полезно сделать несколько замечаний о связи общепринятой теории перенормировок с подходом, впервые развитым Вильсоном 18. В методе Вильсона вводится «плавающее» конечное ультрафиолетовое обрезание (либо резкое, либо сглаженное) при импульсах с компонентами порядка Λ, а затем вместо устремления Λ → ∞ требуется, чтобы голые константы теории ** (входящие в лагранжиан) зависели от Λ таким образом, чтобы все наблюдаемые величины не зависели от Λ.

Удобно работать с безразмерными параметрами. Если голая константа связи или массовый параметр gi(Λ) имеют размерность [масса] i , можно определить соответствующий безразмерный па-

раметр Gi формулой

На основании обычного размерного анализа получаем, что значе- ние Gi при каком-то значении Λ′ параметра обрезания можно за-

писать как функцию значения Gi при другом значении параметра Λ и отношения Λ′/Λ:

В функции F не могут появиться никакие другие параметры, кроме Λ′ è Λ, поскольку в ней не может быть ультрафиоле-

товых или инфракрасных расходимостей. Действительно, разница между константами при значениях Λ è Λ′ возникает от диа-

грамм, у которых импульсы внутренних линий имеют значения между Λ è Λ′. Дифференцируя (12.4.2) по Λ′ и полагая затем Λ′ равным Λ, приходим к дифференциальному уравнению для Gi:

*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении.

** Имеются в виду параметры теории — как собственно константы связи, так и массовые параметры. Ниже часто они все, для краткости, называются константами связи (couplings). — Прим. ред.