Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

зике элементарных частиц являются «случайными симметриями» указанного типа.

Классическими примерами могут служить инверсии и сохранение аромата в электродинамике заряженных лептонов. Наиболее общий перенормируемый лоренц-инвариантный и калиб-

где сумма по i, j является суммой по трем лептонным ароматам (е, μ, τ), ψLi è ψRi — левые и правые компоненты поля ψi, опреде-

ленные согласно формулам

à ZL, ZR è Ì − числовые матрицы. Мы не делаем никаких предпо-

ложений о сохранении лептонного аромата, так что матрицы ZLij, ZRij è Mij не обязаны быть диагональными. Кроме того, мы ничего PíåCпредполагаемT относительно инвариантности по отношению к , или , так что нет никаких обязательных связей между ZL è ZR или между М и М†. Единственные ограничения на эти матрицы вытекают из действительности лагранжиана, требующей, чтобы ZLij è ZRij были эрмитовыми, и из канонических соотношений антикоммутации, требующих, чтобы ZLij è ZRij были положительно определены.

Предположим теперь, что мы заменяем лептонные поля ψL, ψR новыми полями ψ′L, ψ′R, определенными согласно формулам

ãäå SL,R — несингулярные матрицы, которые можно выбирать по желанию. Лагранжиан, выраженные через новые поля, принимает тот же вид, что и (12.5.1), но с новыми матрицами

718 Глава 12. Общая теория перенормировок

Можно выбрать SL è SR òàê, ÷òî Z′L = Z′R = 1. (Достаточно взять SL,R = UL,RDL,R, ãäå UL,R − унитарные матрицы, диагонали-

зующие положительно определенные эрмитовые матрицы ZL,R, à DL,R — диагональные матрицы, диагональные элементы которых равны обратным квадратным корням из собственных значений ZL,R.)

Совершим теперь еще одно преобразование — от лептонных полей ψ′l к полям ψ′′l:

Если выразить лагранжиан через новые поля, он вновь принимает ту же форму с новыми матрицами

На этот раз выберем S′L,R унитарными, так что опять Z′L = Z′R = 1. Эти унитарные матрицы выбираются так, чтобы матрица М′′ была действительной и диагональной. (Согласно полярному разложения, М′, как и любая квадратная матрица, может быть представлена в виде M′ = VH, где V — унитарная, а Н — эрмитова матрицы. Возьмем S′L = S′R†V† и выберем в качестве S′R óíè-

тарную матрицу, диагонализующую Н.) Опуская штрихи, полу- чаем, что лагранжиан принимает вид:

ãäå mi — действительные числа, равные собственным значениям эрмитовой матрицы Н. Окончательно это выражение можно представить в более знакомой форме:

L = − 14 Z3FμνFμν− å ψ i [∂/ + ieA/ ]ψ i − åmiψ iψ i .

Если лагранжиан имеет такой вид, совершенно ясно, что любой перенормируемыйÐ лагранжианÑ Ò электродинамики лептонов автомати- чески сохраняет , и , а также числа лептонов (минус числа антилептонов) каждого аромата: электронного, мюонного и тау-лептонно- го *. В частности, несмотря на выражение (12.5.1), такая теория запрещает процессы типа μ → e + γ. Читатель может высказать опасение, правильно ли идентифицировать лептонные поля с функциями ψl (которые ранее обозначались ψ′′l) в лагранжиане (12.5.8), явно сохраняющими лептонный заряд, а не с ψl из лагранжиана (12.5.1), который вроде бы допускает процессы типа μ → e + γ. Эти опасения можно

отбросить: как подчеркивалось в разделе 10.3, нет такого поля, которое можно идентифицировать с истинным полем мюона или электрона. На самом деле, лагранжиан (12.5.1) приводит к отличным от нуля матричным элементами радиационного распада лептона 1 в лептон 2 вне массовой поверхности. Однако, беря импульсы лептонов на массовой поверхности, мы находим, что S-матрица всех таких процессов, даже вычисленных с помощью лагранжиана (12.5.1), обращается в нуль.

При получении этих результатов было существенно, что как левые, так и правые компоненты лептонных полей, входящих в (12.5.1), имели один и тот же электрический заряд или, иными словами, левые и правые компоненты лептонных полей преобразуются одинаково под действием электромагнитных калибровочных преобразований. Как мы увидим в т. II, по схожим причинам современная перенормируемая теория сильных взаимодействий, известная подÑназванием квантовой хромодинамики, автоматически сохраняÐ Ò - ет и (если не считать ряда непертурбативных эффектов) , , а также числа кварков (минус числа антикварков) каждого кваркового аромата. Мы также увидим в т. II, что по причинам, аналогичным изложенным здесь для электродинамики, простейшая версия перенормируемой стандартной модели слабых и электромагнитных взаимодействийÑ Ð автоматически сохраняет лептонный аромат (хотя и не

и ). Открытой остается возможность, что1 эффекты неперенормируемых взаимодействий, идущие от больших масштабов масс, могут нарушать любой из упомянутых законов сохранения.

* Впервые это было показано Фейнбергом, Кабиром и мной 21. Ранее Фейнберг 22 отмечал, что эффекты слабых взаимодействий в теории с единственным типом нейтрино приводят к наблюдаемой вероятности процесса μ → e + γ.

Эта проблема разрешилась только после открытия второго типа нейтрино.

Задачи

1.В случае размерности пространства−времени, равной 2, 3 и 6,

перечислите все перенормируемые (или суперперенормируемые) лоренц-инвариантные слагаемые в лагранжиане одного скалярного поля.

2.Покажите, каким образом в квантовой электродинамике сокращаются перекрывающиеся расходимости в собственной энергии электрона.

3.Рассмотрите теорию скалярного поля ϕ и спинорного поля ψ с гамильтонианом взаимодействия gϕ`ψψ. Запишите однопет-

левой вклад в собственноэнергетическую функцию скалярного поля Π*(q) как сумму расходящегося полинома по pμ è ÿâíî

сходящиегося интеграла.

4.Пусть квантовая электродинамика электронов и фотонов является на самом деле эффективной теорией поля, получен-

ной из теории, где произведено интегрирование по неизвестным частицам массой M . me. Предположите калибровочную

и лоренц-инвариантность,Ñ Ð Òоднако не требуйте инвариантности относительно , и . Каковы неперенормируемые слагаемые в лагранжиане в ведущем порядке по 1/М? Как выглядят эти слагаемые в следующем порядке?

Список литературы

1.Dyson, F.J., Phys. Rev., 75, 486, 1736 (1949). История вопроса изложена в книге: Renormalization, ed. by L.M.Brown (Springer Verlag, New York, 1993). Подробное современное изложение см. в книге: Collins, J. Renormalization (Cambridge University Press, Cambridge, 1984) (есть рус. пер.: Дж. Коллинз. Перенормировка. М.: Мир, 1988).

2.Weinberg, S., Phys. Rev., 118, 838 (1959). Это доказательство опирается только на общие асимптотические свойства подынтегральных выражений в фейнмановских интегралах в евк-

лидовом импульсном пространстве, полученных виковским поворотом всех контуров интегрирования. Доказательство было упрощено за счет более детального анализа подынтегрального выражения в работе: Hahn, Y. and Zimmerman, W., Commun. Math. Phys., 10, 330 (1968), а затем распространено на интегралы в импульсном пространстве Минковского в работе: Zimmerman, W., Commun. Math. Phys., 11, 1 (1968).

3.Bjorken, J.D. and Drell, S.D., Relativistic Quantum Fields (McGrow Hill, New York, 1965), sections 19.10, 19.11 (есть рус. пер.: Дж.Д. Бьеркен, С. Дрелл. Релятивистская квантовая теория. Тт. 1, 2. М. : Наука, 1978.)

4.См., например, в книге: Wess, J. and Bagger, J.,Supersymmetry and Supergravity (Princeton University Press, Princeton, 1983) и ссылки на литературу в ней (есть рус. пер.: Ю. Весс, Дж. Беггер. Суперсимметрия и супергравитация. М.: Мир, 1986.

5.Salam, A., Phys. Rev., 82, 217 (1951); Phys. Rev., 84, 426 (1951); Matthews, P.T. and Salam, A., Phys. Rev., 94, 185 (1957).

6.Bogoliubov, N.N. and Parasiuk, O., Acta Math., 97, 227 (1957).

7.Hepp, K., Commun. Math. Phys., 2, 301 (1966). Хепп замеча- ет, что «трудно найти двух теоретиков с изоморфным пониманием основных шагов в доказательстве Боголюбова и Парасюка», но и работа самого Хеппа читается нелегко.

8.Zimmerman, W., Commun. Math. Phys., 15, 208 (1969). См. также статью В. Циммермана в сб.: Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory. Brandeis University Summer Institute in Theoretical Physics (M.I.T. Press, Cambridge, 1970).

9.Heisenberg, W., Z. Physik, 110, 251 (1938).

10.Heisenberg, W., Ref. [9] and Z. Physik, 113, 61 (1939).

11.Sakata, S., Umezawa, H., and Kamefuchi, S., Prog. Theor. Phys., 7, 327 (1952).