728 |
Глава 13. Инфракрасные эффекты |
||
μνρ... |
(q) ® Mβα å |
hngnpnμ pnν pρn . . . |
|
qμMβα |
. |
||
pn × q - ihne |
|||
n |
|||
Требование лоренц-инвариантности приводит к тому, что сумма å gnpnν pρn . . . должна сохраняться. Но ни одна такая величина не мо-
жет сохраняться без запрета на все нетривиальные процессы рассеяния, так что все gn должны обращаться в нуль. Безмассовые частицы со спином j ³ 3 могут существовать, но их константы связи
должны обращаться в нуль в пределе низких энергий, в частности, такие частицы не могут быть переносчиками сил, убывающих обратно пропорционально квадрату расстояния.
Рассмотрим теперь испускание двух мягких фотонов. Вклад в матричный элемент от диаграммы, в которой два фотона испускаются с разных внешних линий процесса a ® b, определяется умножением матричного элемента a ® b на произведение множителей
вида (13.1.1) или (13.1.2). Может быть, несколько удивительно, что тот же результат верен, если два фотона испускаются со одной и той же линии. Например, если фотон 1 испускается с внешней линии частицы с зарядом +е и 4-импульсом р после фотона 2, получа- ем множитель
L |
hepμ1 |
O L |
hepμ2 |
O |
M |
P M |
P , |
N p × q1 - ihe Q N p × (q2 + q1) - ihe Q
если же фотон 2 испускается после фотона 1, этот множитель принимает вид
L |
hepμ2 |
O L |
hepμ1 |
O |
M |
P M |
P . |
N p × q2 - ihe Q N p × (q1 + q2 ) - ihe Q
(См. рис. 13.2. Фактор h по-прежнему равен +1 или −1 в зависимости
от того, является линия заряженной частицы выходящей или входящей.) Сложение двух множителей приводит к выражению
L |
hepμ1 |
O L |
hepμ2 |
O |
M |
P M |
P , |
N p × q1 - ihe Q N p × q2 - ihe Q
13.1. Амплитуды испускания мягких фотонов |
729 |
Рис. 13.2. Диаграммы испускания двух мягких фотонов одной и той же входящей заряженной частицей. Прямые линии — жесткие частицы, волнистые линии — мягкие фотоны
равному произведению множителей, возникающих при испускании одного фотона.
Âобщем случае при испускании произвольного числа фотонов
ñодной и той же внешней линии, получаем сумму вида*
* Это тождество можно доказать методом математической индукции. Уже показано, что оно верно для двух фотонов. Пусть оно верно для N - 1
фотонов. Для N фотонов следует написать сумму по перестановкам как сумму по выбору первого излучаемого фотона и сумму по перестановкам остающихся фотонов:
p × q1 - ihe -1 p × (q1 + q2 ) - ihe -1 . . .
´ |
p × (q1 + q2 + . . . + qN ) - ihe |
-1 . . . + перестановки |
|||||||||||||||
N L |
F |
N |
I |
O |
-1 |
-1 |
|||||||||||
= å Mp × G |
å qs J |
- iheP |
Õ |
p × qs - ihe |
|||||||||||||
r =1 N |
H s=1 |
K |
Q |
s¹ r |
|||||||||||||
N L |
F |
N |
I |
O-1 |
-1 |
N |
-1 |
||||||||||
p × qr - ihe |
= Õ |
p × qs - ihe |
|||||||||||||||
= å Mp × G |
å qs J |
- iheP |
, |
||||||||||||||
r =1 N |
H s=1 |
K |
Q |
s=1 |
|||||||||||||
что и требовалось доказать.
13..2. Виртуальные мягкие фотоны |
731 |
Рис. 13.3. Типичная диаграмма для матричного элемента процесса a → b
с учетом ведущих радиационных поправок, обусловленных мягкими виртуальными фотонами. Прямые линии отвечают частицам в состояниях a и b (включая жесткие фотоны), волнистые — мягким фотонам
ется с учетом только виртуальных фотонов с импульсами больше чем Λ. С другой стороны, нижнее обрезание λ должно быть в конце концов устранено переходом к пределу λ → 0. Мы увидим, что ин-
фракрасные расходимости в этом пределе сократятся при учете испускания реальных мягких фотонов.
Каждому виртуальному мягкому фотону следует сопоставить пропагатор
−i |
ημμ′ |
, |
(13.2.1) |
|
(2π)4 |
q2 − iε |
|||
затем умножить амплитуду (13.1.8) на произведение таких пропагаторов, свернуть по поляризационным индексам и проинтегрировать по 4-импульсам фотонов. Кроме того, для N виртуальных фотонов следует разделить результат на 2NN!, т. к. сумма по всем точкам, к которым можно присоединить оба конца линии мягкого фотона, включает фиктивные суммы по N! перестановкам фотонных линий и по взаимным перестановкам двух концов этих линий. Вклад
13..2. Виртуальные мягкие фотоны |
733 |
полюсы не дают вклада при замыкании контура в нижней полуплоскости. В обоих случаях вклад дает один из полюсов в точках q0 = ±(|q| - ie), и в результате получается чисто действительный
интеграл:
X |
d3q |
||||||
Jnm º -p(pn × pm)Y |
|||||||
3 |
$ |
$ |
|||||
Zλ ≤|q|≤ Λ | q| |
|||||||
(En - q × pn )(Em - q × pm) . (13.2.5) |
|||||||
(ïðè hn = -hm = ±1) . |
|||||||
С другой стороны, если частицы n и m |
обе выходящие , или обе |
||||||
входящие, то полюсы в точках q0 = vn × q - ihne è |
q0 = v |
m |
× q + ih e |
||||
m |
|||||||
лежат по разные стороны действительной оси q0, так что один из них обязательно дает вклад, как бы мы не замыкали контур:
X |
d3q |
||||||||
Jnm º -p(pn × pm)Y |
|||||||||
3 |
$ |
$ |
|||||||
Zλ ≤|q|≤ Λ | q| |
(En - q × pn )(Em - q × pm) |
||||||||
- |
4ip3 |
F |
LI |
(ïðè hn = hm = ±1) , |
(13.2.6) |
||||
lnG |
J |
||||||||
bnm |
|||||||||
H l K |
|||||||||
ãäå bnm — относительная скорость частиц n и m в системе покоя
одной из них:
bnm º |
1 - |
m2nmm2 |
. |
(13.2.7) |
|||||
(p |
n |
× p |
m |
)2 |
|||||
Мнимая часть выражения (13.2.6) приводит к появлению в выражении (13.2.4) инфракрасно расходящегося фазового множителя 4, который выпадает, когда при вычислении вероятности процесса a ® b áå-
рется модуль матричного элемента. (Этот бесконечный фазовый множитель есть релятивистский аналог хорошо известной особенности нерелятивистского кулоновского рассеяния: та часть шредингеровской волновой функции, которая описывает расходящуюся сферическую волну, зависит от радиальной координаты не как exp(ipr)/r, а как exp(ipr − inln r)/r, ãäå n — произведение зарядов,
деленное на относительную скорость 5.) На вероятность реакции оказывает влияние только действительная часть Jnm, которая при всех hn è hm имеет вид