13..2. Виртуальные мягкие фотоны |
735 |
и это выражение положительно для всех 1 > β > 0. Поскольку А
положительно, эффект инфракрасных расходимостей от мягких виртуальных фотонов сводится после суммирования во всех порядках к тому, что вероятность любого данного процесса с заряженными частицами α → β обращается в нуль в пределеλ → 0.
* * *
Прежде чем показать, каким образом испускание реальных мягких фотонов сокращает эти инфракрасные расходимости, прервем ненадолго изложение и рассмотрим одну техническую деталь приведенных выше расчетов, которая, насколько я знаю, всегда игнорировалась в литературе. При расчете радиационных поправок наряду с диаграммами, в которых виртуальный фотон испускается и поглощается разными линиями заряженных частиц, мы включа- ли и диаграммы, в которых виртуальный фотон испускается и поглощается на одной и той же внешней линии. Но как было показано в гл. 10, при расчете S-матрицы не требуется включать радиационные поправки, возникающие от вставок собственноэнергетических поддиаграмм на внешних линиях. Отсюда может показаться, что в формуле (13.2.11) следует отбросить слагаемые с n = m , однако как будет видно в следующем разделе, сокращение инфракрасных расхоимостей будет при этом неполным.
Решение этой проблемы вытекает из наблюдения, что мягкие виртуальные фотоны порождают инфракрасные расходимости не только непосредственно, но и через константы перенормировки Zn полей заряженных частиц. (Константа перенормировки Zn в теориях типа квантовой электродинамики с одним заряженным полем спина 1/2 называется Z2.) Эффекты радиационных поправок на внешних линиях сокращаются контрчленами, пропорциональными (Zn − 1). Êîí-
кретнее, перенормированное поле заряженной частицы типа n равно произведению неперенормированного поля на Zn−1/2, так что когда
мы вычисляем S-матрицу, используя перенормированные поля (что соответствует опусканию радиационных поправок к внешним линиям), мы вводим дополнительный множитель ∏nZn−1/2, где произве-
дение берется по всем заряженным частицам в начале и конце. (Конечно, существуют и множители Zn−1/2 для нейтральных частиц,
но они не содержат инфракрасных расходимостей.) В несколько иных обозначениях, указанный множитель равен
736 |
Глава 13. Инфракрасные эффекты |
∏ Z−Ef /2 f ,
f
ãäå Zf — константа перенормировки полей типа f, Ef − число внеш-
них линий типа f, а произведение теперь берется по всем типам заряженных полей. Однако эти константы перенормировки полей появляются также внутри диаграмм. Если выразить взаимодействие типа i, содержащее Nif полей заряженных частиц типа f, че- рез перенормированные поля, возникнет инфракрасно расходящийся множитель
∏(Zf )Nif /2 .
f
(Например, контрчлен −ie(Z2−1)Aμ`ψγμψ в (11.1.9) вместе с обычным электромагнитным взаимодействием −ie`ψγμψ приводит к суммарному взаимодействию −ieZ2`ψγμψ. За инфракрасную расходимость,
возникающую от второго слагаемого в скобках в (11.3.23) и в последнем слагаемом в (11.4.14), ответственна инфракрасная расходимость множителя Z2.) Кроме того, такая расходимость имеется в пропагаторах перенормированных полей: если выразить пропагатор перенормированного заряженного поля типа f через пропагатор неперенормированного поля, то возникает множитель Zf−1.
Собирая все это вместе, находим, что общее число множителей Zf для каждого заряженного поля типа f, возникающих от контр- членов к взаимодействиям и от радиационных поправок ко внутренним и внешним линиям, равно
21 å ViNif − If − 21 Ef ,
i
ãäå If è Ef − числа внутренних и внешних линий типа f, а Vi —
число вершин взаимодействий типа i. Уже отмечалось в разделе 6.3, что эта величина равна нулю для каждого f. Таким образом, контрчлены, сокращающие радиационные поправки ко внешним линиям, сами сокращаются множителями Zf, возникающими от внутренних линий и вершин. Поэтому формула (13.2.11) правильна в том виде, как она написана, включая слагаемые с n = m.