Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

13.3. Реальные мягкие фотоны. Сокращение расходимостей

739

dGl	(w	, . . . , wN ) = Gl	A(a ® b)N dω1		. . .	dωN ,	(13.3.5)
ba	1	ba		w1		wN	(13.3.5)
				w1		wN

ãäå A(a ® b) — та же, что и в предыдущем разделе, константа:

A(a ® b) = -	1	ånm	enemηnηm	F 1	+ βnm I
				lnG		J .

	8p2		bnm	H 1	- bnm K

Из выражения (13.3.5) следует, что неограниченный снизу интеграл по энергиям испущенных фотонов приведет к новым инфракрасным расходимостям. Однако из условия унитарности вытекает, что если было введено инфракрасное обрезание по импульсам виртуальных фотонов (на что указывает верхний индекс l), следует

проделать такое же инфракрасное обрезание импульсов реальных фотонов. Для вычисления вероятности Gλβα(E,ET) реакции a ® b, â

которой любой нерегистрируемый фотон уносит энергию не больше Е, а любое число нерегистрируемых фотонов уносит энергию не более ЕÒ (величины Е и ЕÒ выбраны достаточно малыми, чтобы не противоречить использованным при выводе формулы (13.3.1) приближениям), следует проинтегрировать (13.3.5) по энергиям всех фотонов, при условии, что E ³ wr ³ l è årwr £ ET, затем разделить на

N!, поскольку этот интеграл содержит конфигурации, отличающиеся только перестановкой N мягких фотонов, и наконец просуммировать по N. В результате получаем

∞	A(a ® b)N X		N	dwr
Gbal (E, ET ) = Gbal å		Y	Õ		. (13.3.6)
	N!			wr
N=0		ZE³wr ³l,år wr £ET r=1

Этот интеграл мог бы быть представлен как произведение N интегралов по отдельным wr, если бы не ограничение årwr £ ET. Åãî

можно учесть. если включить в подынтегральное выражение в каче- стве множителя ступенчатую функцию

q(ET -	å	wr ) =	1 X¥
				Y

			p Z-¥
	r

	E	u	F		I
du	sin T		expG iuåwr J .			(13.3.7)
du	u		expG iuåwr J .			(13.3.7)
			H	r	K

Тогда формула (13.3.6) принимает вид

740	Глава 13. Инфракрасные эффекты

Γλ	(E, E		) =	1	X∞
		T
βα				π	Y
					Z−∞

du	sin ET u	expF A(α → β)XE		dω	eiωu I	Γλ .	(13.3.8)
du		expF A(α → β)XE			eiωu I	Γλ .
		G	Y	ω	J	βα
	u	H	Zλ	ω	K

Интеграл в экспоненте можно взять в пределе λ n ET, записав его как сумму интеграла от (eiωu − 1)/ω, в котором можно положить λ = 0, и интеграла от 1/ω, который тривиален. Делая масштабное преобразование переменных u и ω, получаем при λ n ET:

Γλ

(E, E

) → F

E E

; A(α → β) F

I A(α→β) Γλ

(13.3.9)

βα

λ K

ãäå

1 X∞

sin u

Xxdω

iωu

F (x; A) ≡

expG AY

− 1)J

Z−∞

θ(x

−

F x

(13.3.10)

= 1 −

2 ) Xx

dω

+ . . . ,

lnG

Z1−x

H 1

− ω K

Åñëè Å è ÅÒ одного порядка и А n 1, множитель F (E/ET,A) в (13.3.9) близок к единице. Например,

F (1; A) g1 − 121 π2 A2 + . . .

Òàê êàê A(α → β) > 0, множитель (E/λ)A(α → β) в (13.3.9) стремится к бесконечности в пределе λ → 0. Однако из формулы (13.3.10) видно, что в этом пределе вероятность Γλβα обращается в нуль:

Γλ	= F	λ	I A(α→β)	Γ Λ .

βα	G		J	βα
	H	Λ K

Подставляя это выражение в (13.3.9), получаем, что в пределе λ n ET инфракрасное обрезание λ выпадает из ответа:

Γλ

(E, E

) → F

E E

; A(α → β)

I A(α→β)

Γ Λ .

(13.3.11)

βα

Λ K

ΓΛβα

13.4. Произвольные инфракрасные расходимости

741

Напомним, что энергия Λ есть всего лишь удобная раздели-

тельная точка между «мягкими» фотонами, вклад которых явно уч- тен в (13.3.11), и «жесткими» фотонами, вклад которых содержится в ΓΛβα. Правая часть выражения (13.3.11) не зависит от Λ, òàê êàêΛA. Однако в теориях с малой константой связи типа квантовой электродинамики часто выгодно взять величину Λ достаточно

малой по сравнению с типичными энергиями W в данном соударении, так чтобы использованные приближения были верны для энергии фотонов, меньше Λ, и в то же время достаточно большой, чтобы выполнялось неравенство A(α → β) ln(W/Λ) n 1. В этом случае хорошим приближением может оказаться вычисление ΓΛβα â íèç-

шем порядке теории возмущений, причем главные радиационные поправки при E n Λ будут определяться множителем (E/Λ)A â

выражении (13.3.11).

* * *

Такое же сокращение инфракрасных расходимостей происходит и для мягких гравитонов 3. Вероятность любого процесса α → β, â êî-

тором мягкие гравитоны уносят энергию, не превышающую Е, оказывается пропорциональной ЕÂ, ãäå

B =

+ β2nm

lnF

+ βnm

I .

2π å

n m

− β2

(13.3.12)

H 1

− βnm K

13.4. Произвольные инфракрасные расходимости

Рассмотренная до сих пор инфракрасная расходимость, обязанная своим происхождением мягким фотонам, есть лишь один из множества примеров инфракрасных расходимостей, возникающих в различных физических теориях. Другим примером является квантовая электродинамика безмассовых заряженных частиц. В этом слу- чае, даже после сокращения инфракрасных расходимостей за счет мягких фотонов, обнаруживается логарифмическая расходимость в показателе степени А в (13.3.11). Согласно формулам (13.2.11) и (13.2.7), для процесса, в котором все заряженные частицы — электроны, показатель степени в пределе me → 0 ведет себя как

742 Глава 13. Инфракрасные эффекты

F 2| p

× p

ln m

A ® -

å e2n

å enemhnhm lnG

® -

å e2n .

n¹m

(На последнем шаге было использовано условие сохранения заряда ånenhn = 0.) Инфракрасная расходимость в этой формуле возникает

от мягких фотонов, испускаемых в направлении, параллельном импульсу одного из «жестких» электронов в начальном или конечном состоянии. Однако расходимость появляется и тогда, когда и фотон, и электрон не мягкие, т. к. знаменатель пропагатора (pn ± q)2

обращается в нуль при pn2 = q2 = 0, åñëè pn параллелен q. Более подробно, при pn2 = q2 = 0 интеграл от этого множителя * по направлениям фотонов принимает вид

2 $	-2		2p			X	π sin q dq
z d q(p ± q)		=				Y		,
z d q(p ± q)		=	2	q	2	Y		,
			p	q		Z0 1 - cos q

ãäå q — угол между импульсами фотона и заряженной частицы. Интеграл логарифмически расходится при q = 0.

Конечно, в реальном мире нет безмассовых электрически заряженных частиц, однако в реакциях, где типичное значение Е2 скалярных произведений |pn×pm| много больше me2, представляет

интерес установить место возникновения большого множителя ln(me/E). Часто в этом случае ведущая радиационная поправка определяется слагаемым -ln(me/E)ånen2/2p2 в А. Еще важнее то. что в кван-

товой хромодинамике существуют безмассовые частицы глюоны, несущие сохраняющееся квантовое число, называемое цветом и аналогичное электрическому заряду. В этом случае инфракрасные расходимости возникают в результате испускания параллельных жестких глюонов жесткими же глюонами или другими имеющими цвет жесткими частицами в начальном или конечном состояниях.

В общем случае такие инфракрасные расходимости не устраняются суммированием по подходящим наборам конечных состояний. Однако Ли и Науенберг 6 заметили, что можно сократить

* Этот множитель не квадрируется, т. к. расходимость появляется только от интерференции этого слагаемого в матричном элементе S- матрицы со слагаемыми, в которых фотон испускается с линии другой заряженной частицы m ¹ n. При m = n интеграл (13.2.8) пропорционален mn2.

13.4. Произвольные инфракрасные расходимости

743

инфракрасные расходимости, если суммировать не только по подходящим конечным состояниям, но и предположить некоторое вероятностное распределение начальных состояний. Ниже приводится модифицированная версия рассуждений Ли и Науенберга, из которой станет сразу же ясно, почему в электродинамике с массивными электронами достаточно суммировать только по конечным состояниям.

Ñэтой целью удобно вернуться к «старой» теории возмущений,

âкоторой S-матрица задается выражениями (3.2.7) и (3.5.3) в виде:

Sba = δ(b − a) − 2iπδ(Ea − Eb )Tba ,										(13.4.1)
ãäå
∞ X				Vbc	Vc c . . .	Vc		a
Tba = Vba + åY dc1 . . . dcν				1	1 2		ν				. (13.4.2)
Tba = Vba + åY dc1 . . . dcν	(E		− E	+ iε). . . (E			−	E		+ iε)	. (13.4.2)
ν=1 Z		a		c1		a			cν

(Интегрирование по с1, ..., ñn подразумевает суммирование по спинам и типам частиц в этих состояниях, а также интегралы по 3- импульсам частиц.) Инфракрасные расходимости могут возникать из-за обращения в нуль одного или более энергетичеких знаменателей в этом выражении (и только по этой причине).

Однако не все обращающиеся в нуль знаменатели приводят к инфракрасным расходимостям. Произвольное промежуточное состояние c может иметь Ec = Ea, но обычно это всего лишь одна точка внутри области интегрирования, так что интеграл по этой области можно сделать сходящимся с помощью предписания, заключенного в добавке iε в знаменателе. Промежуточное состояние с порождает

инфракрасную расходимость только в случае, когда энергия Ec = Ea на границе области интегрирования. Такое случается, например, если первое промежуточное состояние с1 в (13.4.2) отличается от начального состояния а только тем, что некоторая, любая, безмассовая частица в этом состоянии заменена на струю, состоящую из произвольного числа почти параллельно летящих безмасовых частиц с полным импульсом, равным импульсу замененной на струю частицы. В этом случае граничная точка, в которой Ec1 = Ea, соответствует точке в импульсном пространстве, когда все безмассовые частицы в каждой струе параллельны. В более общем случае, можно заменить любое число безмассовых частиц

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/280974

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)