58 |
Глава 1. Историческое введение |
45.Pauli, W. and Weisskopf, V., Helv. Phys. Acta, 7, 709 (1934). См. также: Pauli, W., Ann. Inst. Henri Poincaré, 6, 137 (1936).
46.Klein, O. and Nishina, Y., Z. f. Phys., 52, 853 (1929); Nishina, Y., ibid., 869 (1929). См. также: Tamm, I., Z. f. Phys., 62, 545 (1930).
47.Dirac, P.A.M., Proc. Camb. Phil. Soc., 26, 361 (1930).
48. Mø ller, C., Ann. d. Phys., 14, 351, 568 (1932).
49.Bethe, H. and Heitler, W., Proc. Roy. Soc., A146, 83 (1934); см. также Racah, G., Nuovo Cimento, 11, 7 (1934); ibid., 13, 69 (1936).
50.Bhabha, H.J., Proc. Roy. Soc., A154, 195 (1936).
50a. Carlson, J.F. and Oppenheimer, J.R., Phys. Rev., 51, 220 (1937).
51.Ehrenfest, P. and Oppenheimer, J.R., Phys. Rev., 37, 333 (1931).
52.Heitler, W. and Herzberg, G., Naturwiss., 17, 673 (1929); Rasetti, F., Z. f. Phys., 61, 598 (1930).
53.Chadwick, J., Proc. Roy. Soc., A136, 692 (1932).
54.Heisenberg, W., Z. f. Phys., 77, 1 (1932); см. также: Curie-Joliot, I. and Joliot, F., Compt. Rend., 194, 273 (1932).
54a. По поводу ссылок см. в работе: Brown, L.M. and Rechenberg, H., Hist. Stud. in Phys. and Bio. Science, 25, 1 (1994).
55.Yukawa, H., Proc. Phys.-Math. Soc. (Japan) (3) 17, 48 (1935).
56.Neddermeyer, S.H. and Anderson, C.D., Phys. Rev., 51, 884 (1937); Street, J.C. and Stevenson, E.C., Phys. Rev., 52, 1003 (1937).
56a. Nordheim, L. and Webb, N., Phys. Rev., 56, 494 (1939).
57.Conversi, M., Pancini, E., and Piccioni, O., Phys. Rev., 71, 209L (1947).
Список литературы |
59 |
58.Sakata, S. and Inoue, T., Progr. Theor. Phys., 1, 143 (1946); Marshak, R.E. and Bethe, H.A., Phys. Rev., 77, 506 (1947).
59.Lattes, C.M.G., Occhialini, G.P.S., and Powell, C.F., Nature, 160, 453, 486 (1947).
60.Rochester, G.D. and Butler, C.C., Nature, 160, 855 (1947).
61.Oppenheimer, J.R., Phys. Rev., 35, 461 (1930).
62.Waller, I., Z. f. Phys., 59, 168 (1930); ibid., 61, 721, 837 (1930); ibid., 62, 673 (1930).
63.Weisskopf, V.F., Z. f. Phys., 89, 27 (1934). Электромагнитная
собственная энергия в этой работе вычислена только в низшем порядке по α. Доказательство того, что расходимость имеет ло-
гарифмический характер во всех порядках теории возмущений было дано в работе: Weisskopf, V.F., Phys. Rev., 56, 72 (1939).
64.Dirac, P.A.M., XVII Conseil Solvay de Physique, p. 203 (1933). Последующие вычисления, основанные на менее ограничительных предположениях: Heisenberg, W., Z. f. Phys., 90, 209 (1934); Sachs. Akad. Wiss., 86, 317 (1934); Serber, R., Phys. Rev., 43, 49 (1935); Uehling, E.A., Phys. Rev., 48, 55 (1935); Pauli, W. and Rose, M., Phys. Rev., 49, 462 (1936). См. также: Furry and Oppenheimer, [44]; Peierls, [44], Weisskopf, [63].
65.Euler, H. and Kockel, B., Naturwiss., 23, 246 (1935); Heisenberg, W. and Euler, H., Z. f. Phys., 98, 714 (1936).
66.Dirac, P.A.M., Proc. Camb. Phil. Soc., 30, 150 (1934).
67.Heisenberg, W., Z. f. Phys., 90, 209 (1934).
68.Kemmer, N. and Weisskopf, V.F., Nature, 137, 659 (1936).
68a. Bloch, F. and Nordsieck, A., Phys. Rev., 52, 54 (1937). См. также: Pauli, W. and Fierz, M., Nuovo Cimento, 15, 167 (1938).
69. Dancoff, S.M., Phys. Rev., 55, 959 (1939).
60 |
Глава 1. Историческое введение |
69a. Lewis, H.W., Phys. Rev., 73, 173 (1948); Epstein, S., Phys. Rev., 73, 177 (1948). См. также: Schwinger, J., [84] ; Koba, Z. and Tomonaga, S., Progr. Theor. Phys., 3/3, 290 (1948).
69b. Schwinger, J., в книге: The Birth of Particle Physics, ed. by L. Brown and L. Hoddeson (Cambridge University Press, Cambridge, 1983), p. 336.
70. Heisenberg, W., Ann. d. Phys., 32, 20 (1938).
70a. Wentzel, G., Z. f. Phys., 86, 479, 635 (1933); 87, 726 (1934); Born, M. and Infeld, L., Proc. Roy. Soc., A150, 141 (1935); Pauli, W., Ann. Inst. Henri Poincaré, 6, 137 (1936).
71.Wheeler, J.A., Phys. Rev., 52, 1107 (1937).
72.Heisenberg, W., Z. f. Phys., 120, 513, 673 (1943); Z. Naturforsch. 1, 608 (1946). См. также: Mø ller, C., Kon. Dansk. Vid. Sel..,Mat.-
Fys. Medd., 23, No. 1 (1945); ibid., 23, No. 19 (1946).
73.См., например: Chew, G., The S-Matrix Theory of Strong Interactions (W.A. Benjamin, Inc., New York, 1961) (есть рус. пер.: Дж. Чу. Теория S-матрицы. М.: Мир, 1965).
74.Wheeler, J.A. and Feynman, R.P., Rev. Mod. Phys., 17, 157 (1945); ibid., 21, 425 (1949). Дальнейшие ссылки и обсуждение применения теорий действия на расстоянии в космологии см. в книге: Weinberg, S., Gravitation and Cosmology (Wiley, 1972), Section 16.3 (есть рус. пер.: Вейнберг С. Гравитация и космология. М.: Мир, 1976).
75.Dirac, P.A.M., Proc. Roy. Soc., A180, 1 (1942). Критические замечания см. в работе: Pauli, W., Rev. Mod. Phys., 15, 175 (1943). Обзор классических теорий этого типа, а также других попыток разрешить проблему бесконечностей см. в статье: Peierls, R.P., in: Rapports du 8me Conseil de Physique Solvay 1948 (R. Stoops, Brussels, 1950), p. 241.
76. Weisskopf, V.F., Kgl. Dansk. Vidensk. Selskab, Mat.-Fys. Medd.,
Список литературы |
61 |
14, No. 6 (1934), особенно c. 34 и c. 5-6. См. также: Pauli and Fierz, [68a]; Kramers [79a].
77.Pasternack, S., Phys. Rev., 54, 1113 (1938). Это предложение было основано на экспериментах: Houston, W.V., Phys. Rev., 51, 446 (1937); Williams, R.C., Phys. Rev., 54, 558 (1938). Сообщения о противоположных данных: Drinkwater , J.W., Richardson, O., and Williams, W.E., Proc. Roy. Soc., 174, 164 (1940).
78.Uehling, E.A., [64].
79.Lamb, W.E. and Retherford, R.C., Phys. Rev., 72, 241 (1947).
79a. Kramers, H.A., Nuovo Cimento, 15, 108 (1938); Ned. T. Natwink.,
11, 134 (1944); Rapports du 8me Conseil de Physique Solvay 1948
(R. Stoops, Brussels, 1950).
80.Bethe, H.A., Phys. Rev., 72, 339 (1947).
81.French, J.B. and Weisskopf, V.F., Phys. Rev., 75, 1240 (1949); Kroll, M. and Lamb, W.E., ibid., 75, 388 (1949); Schwinger, J., Phys. Rev., 75, 898 (1949); Feynman, R.P., Rev. Mod. Phys., 20, 367 (1948); Phys. Rev., 74, 939, 1430 (1948); 76, 749, 769 (1949); 80, 440 (1950); Fukuda, H., Miyamoto, Y., and Tomonaga, S.,
Progr. Theor. Phys. Rev. Mod. Phys., 4, 47, 121 (1948).
82.Nafe, J.E., Nelson, E.B., and Rabi, I.I., Phys. Rev., 71, 914 (1947); Nagel, D.E., Julian, R.S., and Zacharias, J.R., Phys. Rev., 72, 973 (1947).
83.Kush, P. and Foley, H.M., Phys. Rev., 72, 1256 (1947).
83a. Breit, G., Phys. Rev., 71, 984 (1947). Швингер включил в работу
[84]исправленный вариант результатов Брейта.
84.Schwinger, J., Phys. Rev., 73, 416 (1948).
85.Schwinger, J., Phys. Rev., 74, 1439 (1948); ibid., 75, 651 (1949);
62 |
Глава 1. Историческое введение |
ibid., 76, 790 (1949); ibid., 82, 664, 914 (1951); ibid., 91, 713 (1953); Proc. Nat. Acad. Sci., 37, 452 (1951).
86.Tomonaga, S., Progr. Theor. Phys. Rev. Mod. Phys., 1, 27 (1946); Koba, Z., Tati, T., and Tomonaga, S., ibid., 2, 101 (1947); Kanesawa, S. and Tomonaga, S., ibid., 3, 1, 101 (1948); Tomonaga, S., Phys. Rev., 74, 224 (1948); Ito, D., Koba, Z., and Tomonaga, S., Progr. Theor. Phys., 3, 276 (1948); Koba, Z. and Tomonaga, S., ibid., 3, 290 (1948).
87.Feynman, R.P., Rev. Mod. Phys., 20, 367 (1948); Phys. Rev., 74, 939, 1430 (1948); ibid., 76, 749, 769 (1949); ibid., 80, 440 (1950).
88.Dyson, F.J., Phys. Rev., 75, 486, 1736 (1949).
88a. Frohlich, H., Heitler, W., and Kahn, B., Proc. Roy. Soc., A171, 269 (1939); Phys. Rev., 56, 961 (1939).
88b. Lamb, W.E., Jr., Phys. Rev., 56, 384 (1939); 57, 458 (1940).
89.Цитируется Р. Сербером в книге: The Birth of Particle Physics, [69b], p. 270.
2
Релятивистская квантовая механика
Точка зрения, принятая в этой книге, такова: квантовая теория поля такая, какая она есть, потому что (с определенными оговорками) это единственный способ совместить квантовую механику с частной теорией относительности. Поэтому нашей первой задачей будет изучение того, как в квантовых построениях возникают симметрии вроде лоренцовской инвариантности.
2.1. Квантовая механика
Сначала хорошее известие: квантовая теория поля основана на той же квантовой механике, которая была создана Шредингером, Гейзенбергом, Паули, Борном и др. в 1925−1926 годах и с тех
пор используется для расчетов в атомной, молекулярной, ядерной физике и физике твердого тела. Предполагается, что читатель знаком с квантовой механикой. В этом разделе дается лишь самое краткое изложение принципов квантовой механики в обобщенной дираковской формулировке 1.
(1) Физические состояния задаются лучами в гильбертовом пространстве. Это один из видов комплексного векторного пространства. Иначе говоря, если Φ è Ψ есть векторы в этом пространстве (их
часто называют «векторами состояния»), то таковым является и вектор ξΦ + ηΨ, ãäå ξ, η — произвольные комплексные числа.
Гильбертово пространство снабжено скалярным произведением *:
* Мы часто будем использовать дираковские скобочные обозначения и вместо (Ψ1, Ψ2) писать <1|2>.
64 |
Глава 2. Релятивистская квантовая механика |
любой паре векторов сопоставляется комплексное число (F,Y),
причем выполнены следующие условия:
(Φ, Ψ) = (Ψ, Φ)* , |
(2.1.1) |
(Φ, ξ1Ψ1 + ξ2Ψ2 ) = ξ1(Φ, Ψ1) + ξ2 (Φ, Ψ2 ) , |
(2.1.2) |
(η1Φ1 + η2Φ2 , Ψ) = η1* (Φ1, Ψ) + η2* (Φ2 , Ψ). |
(2.1.3) |
Норма (Y,Y) удовлетворяет также условию положительности: (Y,Y) ³ 0, причем норма обращается в нуль, если и только если Y = 0. (Есть еще ряд технических предположений, позволяющих
совершать предельные переходы для векторов внутри гильбертова пространства.) Луч — это множество нормированных векторов (т. е. (Y, Y) = 1), причем Y è Y¢ принадлежат одному лучу, если Y¢ = xY, ãäå x — произвольное комплексное число с |x| = 1.
(2) Наблюдаемые представляются эрмитовыми операторами. Это отображения Y ® AY гильбертова пространства в себя, линей-
ные в том смысле, что
A(ξΨ + ηΦ) = ξAΨ + ηAΦ , |
(2.1.4) |
и удовлетворяющие условию вещественности A† = A, где для любого линейного оператора А сопряженный ему оператор А† определяется условием
(Φ, A†Ψ) ≡ (AΦ, Ψ) = (Ψ, AΦ)* . (2.1.5)
(Есть также и некоторые технические предположения о непрерывности AY как функции Y.) Состояние, представленное лучом R, имеет определенное значение a наблюдаемой, оператор которой есть А, если векторы Y, принадлежащие этому лучу, являются собственными векторами А с собственными значениями a:
AΨ = αΨ. |
(2.1.6) |
Элементарная теорема утверждает, что если А — эрмитов оператор, то собственные значения a действительны, а собственные векторы, отвечающие разным a, ортогональны.
2. 2. Симметрии |
65 |
(3) Если система находится в состоянии, представленном лучом R, и проводится эксперимент по проверке того, является ли это состояние одним из различных состояний, представленных взаимно ортогональными лучами R1, R2, ... (например, путем измерения одной или более наблюдаемых), то вероятность обнаружить систему в состоянии, описываемом лучом Rn, равна
P(R → Rn ) = | (Ψ, Ψn )|2 , |
(2.1.7) |
ãäå Ψ è Ψn — любые векторы, принадлежащие лучам R и Rn,
соответственно. (Пара лучей называется ортогональной, если скалярные произведения векторов из двух лучей равны нулю.) Другая элементарная теорема утверждает, что если векторы состояний Ψn
образуют полную систему, то полная вероятность равна единице:
åP(R → Rn ) = 1 . |
(2.1.8) |
n |
2.2. Симметрии
Преобразование симметрии — это такое изменение нашей точки зрения, которое не меняет результатов возможных экспе-
риментов. Если наблюдатель О видит систему в состоянии, пред- |
||
ставленном лучами R или R1, R2, ..., то эквивалентный наблю- |
||
датель О′, исследующий ту же самую систему, |
будет |
видеть |
ее в другом состоянии, представленном лучами R′ |
èëè |
R′1, R′2, |
..., соответственно, однако оба наблюдателя должны обнаружить, что соответствующие вероятности не изменились:
P(R → R ) = P(R′ → R′ ). |
(2.2.1) |
|
n |
n |
|
(Это лишь необходимое условие того, чтобы преобразование лучей было симметрией; дальнейшие условия обсуждаются в следующей главе.) Важная теорема, доказанная Вигнером в начале 1930-х годов, утверждает, что для любого преобразования лучей R → R′
можно определить в гильбертовом пространстве оператор U, причем, если Ψ принадлежит лучу R, то UΨ принадлежит лучу R′, а сам оператор U является либо унитарным и линейным: