Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

представляет набор действительных констант, называемых

структур-ными константами. Такой набор коммутационных соотношений определяет алгебру Ли. В разделе 2.7 мы докажем, что коммута-ционные соотношения (2.2.22) — единственное условие, необходимое для того, чтобы процесс разложения мог быть продолжен: весь степенной ряд для U(T(θ)) можно вычислить

с помощью бесконечного набора соотношений типа (2.2.21), если нам известны слагаемые первого порядка, т. е. генераторы ta. Это не обязательно означает, что знание ta однозначно определяет операторы U(T(θ)) äëÿ âñåõ θa, однако, по крайней мере, в

то удовлетворяется уравнение (2.2.18). Распространение этих результатов на все θa обсуждается в разделе 2.7.

Важным является частный случай, к кîторому мы будем вновь и вновь обращаться. Пусть функция f(θ, θ) (возможно, лишь для некоторого подмножества координат θa) является просто

суммой

Сюда относятся трансляции в пространстве−времени или

вращения вокруг фиксированной оси (но не вокруг двух по очереди). Тогда коэффициенты f abc в (2.2.19) и структурные константы (2.2.23) обращаются в нуль. Все генераторы коммутируют друг с другом:

Такая группа называется абелевой. В этом случае легко вычислить U(T(θ)) äëÿ âñåõ θa. При любом целом N находим из

(2.2.18) è (2.2.24):

Переходя к пределу N → ∞ и удерживая только слагаемое первого порядка в U(T(θ/N)), получаем

2.3. Квантовые преобразования Лоренца

Эйнштейновский принцип относительности утверждает эквивалентность «инерциальных» систем отсчета. Он отличается

ется механика Ньютона, видом преобразования, связывающего координаты в разных системах отсчета. Если xμ — координаты

в одной инерциальной системе (x1, x2, x3 — декартовы пространственные координаты, x0 = t — временная координата, скорость света положена равной единице), то координаты x′μ в любой

другой инерциальной системе должны удовлетворять соотношению:

Принято правило суммирования по немым индексам: подразумевается сумма по любому индексу типа μ èëè ν в формуле (2.3.2),

появляющемуся в одном и том же слагаемом дважды, один раз вверху, другой — внизу. Эти преобразования обладают тем специ-

альным свойством, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчета (в выбранных единицах она равна 1). Действительно, световая волна, распространяющаяся с единичной скоростью, удовлетворяет условию |dx/dt| = 1 или

ημνdxμdxν = dx2 − dt2 = 0,

ãäå aμ − произвольные константы, а постоянная матрица Λμν удовлет-

воряет условию:

Для дальнейшего полезно записать условия лоренцовских преобразований в иной форме. Матрица ημν имеет обратную,обозначаемую ημν, которая имеет те же компоненты, т. е. она диагональна и η00 = –1, η11 = η22 = η33 = +1. Умножая выражение (2.3.5) на ηστΛκτ и группируя

множители, имеем

ημνΛμρ (Λνσ Λκ τ ηστ ) = Λκ ρ = ημνηνκ Λμρ .

Умножая это равенство на матрицу, обратную ημνΛμρ, получаем:

Λνσ Λκ τ ηστ = ηνκ (2.3.6)

.

Эти преобразования образуют группу. Если сначала осуще-

*Существует более широкий класс преобразований координат, известных как конформные преобразования, для которых ημνdx′μdx′ν пропорционально, хотя в общем случае не равно, ημνdxμdxν, и которые также оставляют

инвариантной скорость света. Показано, что конформная инвариантность в двух измерениях имеет огромное значение в теории струн и статистической механике, но физический смысл таких конформных преобразований в четырехмерном пространстве−времени до сих пор неясен.

ствить лоренцовское преобразование (2.3.4), а затем второе лоренцовское преобразование x′μ → x′′μ, òàê ÷òî

x′′μ = Λμρx′ρ + aμ = Λμρ (Λρνxν + aρ ) + aμ ,

(Заметим, что если обе матрицы Λμν è`Λμν удовлетворяют (2.3.5), то это же верно и для`ΛμρΛρν, так что это действительно

преобразование Лоренца. Черта используется здесь только для того, чтобы отличить одно лоренцовское преобразование от другого.) Пре-образования T(Λ,a), действующие на физические со-

стояния, удовлетворяют поэтому правилу композиции

Беря детерминант от обеих частей (2.3.5), находим, что

òàê ÷òî Λμν имеет обратную матрицу (Λ−1)νρ, в силу (2.3.5) равную

Как следует из (2.3.8), обратное преобразование к T(Λ,a) имеет вид T(Λ−1,−Λ−1a), причем тождественное преобразование равно

T(1,0).

В согласии с тем, о чем шла речь в предыдущем разделе, преобразования T(Λ, a) индуцируют унитарные линейные преобразо-

вания векторов в физическом гильбертовом пространстве

Ψ → U(Λ, a)Ψ.

Операторы U удовлетворяют правилу композиции

(Как уже отмечалось, чтобы избежать появления фазового множителя в правой части уравнения (2.3.11), необходимо в общем случае расширить группу Лоренца. Соответствующая процедура описана в разделе 2.7.)

Вся группа преобразований T(L,a) обычно называется неоднород-

ной группой Лоренца или группой Пуанкаре. Она имеет много важных подгрупп. Во-первых, преобразоваíèÿ ñ aμ = 0, причем

очевидно образуют подгруппу, называемую однородной группой Лоренца. Кроме того, из (2.3.9) следует, что либо Det L = +1, ëèáî Det L = -1. Ясно, что преобразования с Det L = +1 образуют

подгруппу как однородной, так и неоднородной группы Лоренца. Далее, выписывая 00-компоненты уравнений (2.3.5) и (2.3.6), имеем:

где проводится суммирование по индексу i, принимающему значе- ния 1, 2, 3. Видно, что либо L00 ³ +1, ëèáî L00 £ -1. Преобразования с L00 ³ +1 образуют подгруппу. Действительно, если Lμν è`Lμν — две таких матрицы L, òî

(ΛΛ)00 = Λ00Λ00 + Λ01Λ10 + Λ02Λ20 + Λ03Λ30 .

Подгруппа преобразований Лоренца с Det L = +1 è L00 ³ +1

носит название собственной ортохронной группы Лоренца. Так как невозможно с помощью непрерывного изменения параметров перескочить от преобразования с Det L = +1 к преобразованию с Det L = –1, или от преобразования с L00 ³ +1 к преобразованию