Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

В аргументации Вигнера пропущены некоторые этапы. Более полное доказательство дано в Приложении А к этой главе.

Как уже отмечалось, оператор, сопряженный линейному оператору L, определяется равенством

Это условие не может быть выполнено для антилинейного оператора, так как в этом случае правая часть соотношения (2.2.6) была бы линейна по Φ, в то время как левая часть − антилинейна. Вместо

этого оператор, сопряженный антилинейному оператору А, определяется равенством

Если принять это определение, то условия унитарности или антиунитарности имеют одинаковый вид

Всегда существует тривиальное преобразование симметрии R → R, которому соответствует единичный оператор U = 1. Этот

оператор, конечно, унитарный и линейный. Теперь из соображений непрерывности можно заключить, что любая симметрия (типа вращения, трансляции или лоренцовского преобразования), которая может быть сделана тривиальной путем непрерывного изменения некоторых параметров (углов поворота, расстояний или скоростей), должна представляться не антилинейным и антиунитарным оператором, а только линейным унитарным оператором U. (Симметрии, пред-

ставляемые антиунитарными антилинейными операторами, менее известны в физике; все они включают обращение направления течения времени. Подробнее см. раздел 2.6.)

Âчастности, преобразование симметрии, бесконечно близкое

êтривиальному, можно представить линейным унитарным оператором, бесконечно близким к единичному:

ãäå ε — действительное бесконечно малое число. Для того, чтобы

этот оператор был унитарным и линейным, оператор t должен быть эрмитовым и линейным. Поэтому t является кандидатом на то, чтобы быть наблюдаемой. Действительно, большинство (если не все) наблюдаемых в физике, вроде импульса или углового момента, возникают подобным образом из преобразований симметрии.

Множество преобразований симметрии обладает свойствами, позволяющими установить, что оно является группой. Если T1 — преобразование, переводящее лучи Rn â R′n, à T2 — другое преобразование, переводящее R′n â R′′n, то результат последо-

вательного осуществления обоих преобразований является тоже преобразованием симметрии, переводящим Rn â R′′n, которое мы

записываем как T2T1. Кроме того, преобразованию симметрии Т, переводящему лучи Rn â R′n, соответствует обратное преобразование Т−1, переводящее R′n â Rn. Наконец, существует тож-

дественное-преобразование Т = 1, оставляющее лучи неизменными.

Унитарные или антиунитарные операторы U(T), соответствующие этим преобразованиям симметрии, отражают групповую структуру преобразований, но с тем усложнением, что в противоположность самим преобразованиям симметрии операторы U(T) действуют не на лучи, а на векторы в гильбертовом пространстве. Если Т1 переводит Rn â R′n, òî U(T1), действуя на вектор Ψn èç ëó÷à Rn, превращает его в вектор U(T1)Ψn èç ëó÷à R′n. Далее,

åñëè Ò2 переводит R′n â R′′n, то, действуя на U(T1)Ψn, получаем

вектор U(T2)U(T1)Ψn èç ëó÷à R′′n. Однако U(T2T1)Ψn также при-

надлежит этому лучу, так что два вектора могут отличаться только фазой φn(T2, T1):

ÿíèÿ Ψn. Приведем доказательство. Рассмотрим два различных вектора ΨA, ΨB, не пропорциональные друг другу. Применяя (2.2.10) к состоянию ΨAB ≡ ΨA + ΨB, получим

eiφAB U(T2T1)(ΨA + ΨB) = U(T2 )U(T1)(ΨA + ΨB)

Всякий унитарный или антиунитарный оператор имеет обратный оператор (сопряженный исходному), который также унитарен или антиунитарен. Умножая (2.2.11) слева на U−1(T2T1), находим, что

причем верхние или нижние знаки соответствуют унитарному или антиунитарному оператору U(T2T1). Òàê êàê ΨA è ΨB линейно

независимы, это возможно лишь при условии, что

Таким образом, как и утверждалось, фаза в (2.2.10) не зависит от вектора состояния Ψn, так что само соотношение можно записать

как операторное равенство

Ïðè φ = 0 говорят, что U(T) реализует представление группы преобразований симметрии. При произвольных фазах φ(T2, T1)

мы получаем то, что называется проективным представлением или «представлением с точностью до фазы». Структура группы Ли сама по себе не может указать, реализуют ли физические векторы состояний обычное или проективное представление, однако, как мы увидим, эта структура может указать, имеет ли группа хотя бы одно внутренне ей присущее проективное представление.

в состоянии ΨA + ΨB. Например, считается общепризнанным, что

невозможно приготовить систему в виде суперпозиции двух состояний, полные угловые моменты которых, соответственно, целые и полуцелые. В таких случаях мы говорим, что между разными классами состояний действуют «правила суперотбора» 3, è ôàçû φ(T2, T1) могут зависеть от того, на какие классы действуют

операторы U(T2)U(T1) è U(T2,T1). В разделе 2.7 мы обсудим эти фазы и проективные представления несколько подробнее. Как будет видно, всякая группа симметрии, имеющая проективные представления, всегда может быть расширена (без какого либо другого изменения ее физических приложений) таким образом, что все ее представления можно будет определить как непроективные с φ = 0. Будем считать, что это уже доказано, и положим φ = 0 â

(2.2.14).

Для физики особенно важны группы, носящие название связных групп Ли. Это группы преобразований T(θ), задаваемые конечным набором действительных непрерывных параметров θa,

причем каждый элемент группы можно связать с единичным элементом некоторым путем, лежащим внутри группы. Закон группового умножения принимает вид

Как уже отмечалось, преобразования таких непрерывных групп должны представляться унитарными (но не антиунитарными) операторами U(T(θ)) в физическом гильбертовом пространстве.

Для групп Ли эти операторы могут быть представлены (по крайней мере, в окрестности единичного элемента) степенным рядом

ãäå ta, tbc = tcb и т. д. — эрмитовы операторы, не зависящие от θ.

70 Глава 2. Релятивистская квантовая механика

Предположим, что U(T(θ)) реализует обычное (т. е. не проективное)

представление этой груïпы преобразованèй, иными словами

Посмотрим, как выглядит это соотношение, если разложить его в ряд по степеням θa è`θa. Как следует из (2.2.16), разложение fa (θ, θ) до второго порядка должно иметь вид

ãäå fabc − действительные коэффициенты. (Наличие любых слагаемых порядка θ2 èëè`θ2 будет нарушать соотношение (2.2.16).) Тогда

уравнение (2.2.18) принимает вид:

Слагаемые порядка 1, θ,`θ, θ2 è`θ2 автоматически сокращаются в обеих частях (2.2.20), однако, собирая слагаемые с`θ θ, находим

нетривиальное условие:

Îíî ïîêàзывает, что если нам задана структура группы, т. е. функция f(θ, θ) , а следовательно, и ее квадратичные коэффициенты f abc,мы можем вычислить слагаемые второго порядка в U(T(θ)),

зная генераторы ta, возникающие в слагаемых первого порядка. Однако, должно выполняться условие самосогласованности: оператор tbc должен быть симметричным по b и c (так как он равен второй производной U(T(θ)) ïî θb è θc), так что из (2.2.21) следует,

÷òî

ãäå