Документ: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001), страницы 858-863

796

Глава 14.

Связанные состояния во внешних полях

-

e2

X

L

Γ k 2 k

Γ k 2 k2

h

3 Y d3k å Mc

MN ( )|

-|

2

MN (

)|

/

|

×

Y

2(2p)

M M

k

Z

N

c

Γ k 2

k Γ

k 2 k2

2

h

O

MN (

)|

- |

×

MN

(

)| /(

+ m

)

-

|

P

k2 + m2

P

Q

e2

X

L

2

c

-

k2

3(

k2

+ m

2

)

h

O

g -

(v2 )NN Y d3kM

-

1

P

2(2p)3

k2 + m2

Y

M3k2

P

Z

N

Q

= -

e2m

(v

2 )NN .

16p

Следовательно после перенормировки массы у нас остается только первое слагаемое в (14.3.35) минус такое же слагаемое с отброшен-

ной разностью энергий EN − EM:

[dEN ]низкие энергии

=

e2

X

3

kå(EM - EN )

Y d

2(2p)

3

Z

M

L

c

Γ

k 2

k

Γ

k

2

k2

h

´ M

|

MN

( )|

-|

×

MN (

)|

/

k2

(EM - EN + | k| - ie)

M

N

c

Γ k 2

k Γ

k 2 k2

2

h

O

MN (

)|

- |

×

MN (

)|

/(

+ m

)

-

|

P .

(k2 + m2 )(EM - EN +

k2 + m2 - ie)

P

Q

Снова используя (14.3.41), находим:

[dEN ]низкие

-

энергии = 2(2ep2 )3 å(EM - EN ) | vMN |2

M

X

L

2

´ Y d3k M

3k2 (EM

- EN + | k|

- ie)

Z

N

1 - k2 3(k2 + m2 )

O

P .

(

+ m

)(

M

-

N +

+ m

-

e) Q

k2

2

E

k2

2

i

P

(14.3.43)

(14.3.44)

14.3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах

797

Даже несмотря на то, что типичные значения импульса электрона много больше типичных атомных разностей энергии, это неверно для типичных значений |k| в данном интеграле, поскольку он был бы инфракрасно расходящимся, если не удерживать разность EN − EM в знаменателях. В пределе μ . |EM − EN| f (Zα)2me èíòå-

грал можно вычислить, разбив область интегрирования по |k| на два сегмента: от нуля до λ è îò λ до бесконечности, где в остальном произвольное значение λ выбрано так, чтобы |EM − EN| n λ n μ.

Таким образом,

X∞

L

2

Y k2dk M

3k

2

(EM

− EN

+ k − iε)

Z0

N

−

1 − k2 3(k2 + μ2 )

O

P

(k2 + μ2 )(E

M

− E

N

+

k2

+ μ2

− iε) P

Q

2

L

F

μ

I

5

O

g

MlnG

J

+

+ iπθ(EN

− EM )P .

3

6

N

H 2| EM − EN |K

Q

Мнимая часть этого выражения отражает возможность перехода атома из состояния N в состояние М с меньшей энергией. Это слагаемое дает вклад в вероятность распада, равную мнимой части сдвига энергии. Нас же интересует действительная часть сдвига энергии, так что в дальнейшем мы опустим мнимую часть. Тогда из формулы (14.3.44) следует

[δEN ]низкие энергии =

e2

å(EM

− EN )| vMN |2

L

F

μ

I

+

5 O

MlnG

J

P .

6π

2

E

− E

M

N

H 2|

N

M

|K

6 Q

(14.3.45)

В. Полный сдвиг энергии

Необходимо установить связь между суммой в формуле (14.3.45) и одним из матричных элементов в слагаемом (14.3.22), отвечающем высоким энергиям. Для этого посмотрим, прежде всего, какое

798	Глава 14. Связанные состояния во внешних полях

значение имела бы сумма в (14.3.45), если бы мы могли отбросить логарифм. Заметим, что (EM − EN)vNM = [v,H]NM, òàê ÷òî

å(EM - EN )| vMN |2 = 21 åc[vi , H]NM vMNi + vNMi [H, vi ]MN h M M

= − 2 1 2 c[pi , [pi , H]]hNN . me

Единственное слагаемое в нерелятивистском гамильтониане Н, которое не коммутирует с оператором импульса, это потенциал −eÀ 0(x), òàê ÷òî

å(EM - EN )\| vMN \|2 = -	e	cÑ2 À0 (x)hNN .	(14.3.46)
	2
M	2me

Из выражений (14.3.45) и (14.3.22) следует, что пропорциональное ln m слагаемое в выражении, отвечающем вкладу высоких энер-

гий, сокращается с таким же слагаемым в выражении для вклада низких энергий:

δEN = [δEN ]высокие энергии + [δEN ]низкие энергии

=

e2

å(EM - EN)| vMN|

2

L

F

me

I

+

5

-

1O

MlnG

J

P

6p

2

6

5

M

N

H

2| EN - EM|K

Q (14.3.47)

e2

-

σ × Ñ(eÀ0(x)) ´ p .

16p2me2 d

iNN

До этого момента речь шла о произвольном электростатиче- ском поле А 0(x). Рассмотрим теперь частный случай чисто кулоновского поля:

	À	0		(x) =		Ze	.			(14.3.48)

						\| x\|
В этом случае формула (14.3.46) принимает вид:
å(EM - EN )\| vMN \|2 =	Ze	2			cd3 (x)hNN =			Ze	2		d fN† (0)fN (0)i . (14.3.49)

	2m		2					2m		2
M			e							e

14.3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах

799

Это выражение не равно нулю только при l = 0. Кроме того, матричный элемент в последнем слагаемом в (14.3.47) равен:

	0			F	1	I
cσ × Ñ(eÀ		(x)) ´ ph		= -ZeG		σ × LJ	,	(14.3.50)
cσ × Ñ(eÀ		(x)) ´ ph		= -ZeG		σ × LJ	,
			NN	H r		K NN

что не равно нулю только при l ¹ 0. Поэтому в этом месте полезно разделить рассмотрение на два случая: l = 0 и l ¹ 0.

a) l = 0

Удобно определить среднюю энергию возбуждения DEN:

å| vMN |2 (EM - EN ) ln| EM - EN | º ln DEN å| vMN |2 (EM - EN )

M M

=	Ze2	ln DEN d fN†	(0)fN (0)i .	(14.3.51)
=	2m2	ln DEN d fN†	(0)fN (0)i .
	2m2
	e

Для s-состояний атома водорода индекс N включает главное квантовое число n и z-êîмпоненту спина m, а значение

[fnm (0)]σ = 2(Zame n)3/2 dσ,m 4p , òàê ÷òî

†			1 F		Zame I		3
dfN	(0)fN	(0)i =		G		J	.	(14. 3. 52)

			p H		n K

Подставляя равенство(14.3.51) и (14.3.52) в (14.3.47), получаем сдвиг энергии этих состояний:

[dE]n,l=0 =	4a(Za)4 me		L	F
			MlnG
	3pn	3
			N	H

me	I	+	19 O
	J			P .	(14.3.53)

2DEn,l=0 K			30 Q

á) l ¹ 0

В случае неравного нулю орбитального момента сумма (14.3.49) обращается в нуль, так что определение (14.3.51) не годится. Вместо этого принято определять среднюю энергию возбуждения DEN

формулой

800 Глава 14. Связанные состояния во внешних полях

å\| vMN \|2 (EM - EN ) ln\| EM - EN \| º	2(Za)4 me		F 2DEN				I
			lnG				J .	(14.3.54)
		3	lnG	2	2		J .	(14.3.54)
M	n		H	Z	a	me	K

(Поскольку выражение (14.3.49) обращается в нуль, не имеет значе- ния, в каких единицах измеряется EN - EM в (14.3.54).) Кроме того, в

состоянии с полным угловым моментом j и орбитальным моментом l скалярноеH произведение σ×L равно знакомому выражению j(j+1) - l(l+1) - , так что для главного квантового числа n среднее значение

оператора 1/r3 равно

z	d3 r \| f	\|2 /r3	=	2Z3a3m3
					e	.	(14.3.55)

	N			n3l(l +	1)(2l + 1)

Подставляя все результаты в (14.3.47), находим, что при l ¹ 0

[dE]jnl = -	4a(Za)4 m		e	F	2	Ejnl		I
			e	lnG				J
	3pn	3		lnG	2	2		J
	3pn			H	Z	a	me K

			L		3	O
	a(Za)4 me M j(j + 1) - l(l + 1) -					P	(14.3.56)
+	a(Za)4 me M j(j + 1) - l(l + 1) -				4	P	(14.3.56)
			M			P .
	2pn	3	M	l(l + 1)(2l + 1)		P .
	2pn		M	l(l + 1)(2l + 1)		P
			N			Q

Осталось лишь воспользоваться полученными формулами, чтобы найти значения сдвигов энергии. Средние энергии возбуждения следует находить численно. Используя нерелятивистские волновые функции электрона в атоме водорода, можно получить 5:

DE1s = 19,769266917(6) Ry,

DE2s = 16,63934203(1) Ry,

DE2p = 0,970429318(3) Ry,

ãäå 1 Ry º mea2/2 = 13,6057 эВ. Тогда из (14.3.53) находим:

Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Смотрите также: