Документ: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001), страницы 847-852

Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Смотрите также:

786	Глава 14. Связанные состояния во внешних полях

аргумента логарифма. Поскольку инфракрасное обрезание в конце концов определяется энергией связи электрона в атоме, можно предположить, что В равна типичной энергии связи, т. е. В g (Zα)2me.

Таким образом, полный сдвиг энергии в состоянии N с главным квантовым числом n и орбитальным моментом l равен:

δEN = −	2Z4α5m	e	lncZ4α4 hδl,0 + O(1)	.	(14.3.15)

	3πn3

Для 2s состояния атома водорода одно только логарифмическое слагаемое дает

δE g − α5me ln(α4 ) = 5,5 × 10−6 ýÂ = 1300 ÌÃö × 2πh. 2s 12π

Как мы увидим, слагаемые О(1) уменьшают полный сдвиг энергии примерно на 25 %.

Рассмотрим теперь вклад слагаемого F2 в матричный элемент Γ1μ. Как мы видели в разделе 10.6, это слагаемое можно интерпре-

тировать как радиационную поправку к магнитному моменту электрона. Подставляя формулы (14.3.10), (14.3.8) и (14.3.6) в (14.3.5), находим, что это слагаемое приводит к сдвигу энергии:

δEN

F2 = −

e2

z d3p′z d3pd

N (p′)

γ

μ , γ ν

uN (p)i

u

32π2m

e

(14.3.16)

× eÀμ (p′ − p)(p′ − p)ν ,

или в координатном представлении

ie2

ν

δEN

=

z d3x duN (x)

γ μ , γ

uN (x)ieFμν (x) ,

(14.3.17)

ãäå

F2

64π2me

Fμν (x) ≡ ∂μ Àν (x) − ∂νÀμ (x).

(14.3.18)

В случае чисто электростатического поля, когда А = 0, этот сдвиг принимает вид

14.3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах

787

-ie2

dEN

F2 =

z d3xduN (x)

γ , g 0

uN (x)i × Ñ

eÀ0 (x)

. (14.3.19)

32p2me

В нерелятивистском пределе Za n 1 можно использовать прибли-

женный результат (14.1.43), который в данном случае имеет вид:

[g 0 , γ ]u

i

[(Ñf†

× σ σf ) +

(f†

σ σ × Ñf )]

(

u

N

) g

N

me

i

(14.3.20)

=

[Ñ(f† f ) - i(Ñf†

´ σ)f

- if†

(σ ´ Ñf )] .

N N

N

me

Подставляя это представление в правую часть формулы (14.3.19) и интегрируя по частям, находим, что этот вклад в сдвиг энергии дается формулой

+ 2ifN† (x) σ × cÑ(eÀ0 (x)h ´ ÑfN (x) .

Собирая вместе выражения (14.3.12) и (14.3.21), получаем полный отвечающий высоким энергиям вклад в сдвиг энергии в произвольном электростатическом потенциале А 0:

δEN высокие энергии =

e2

L

F

m2 I

2O

MlnG

J

+

P z d3x fN† (x)[eÑ2À0 (x)]fN (x)

24p

2

5

me

N

H me K

Q

(14.3.22)

ie2

+

z

d3x fN† (x) σ × cÑ(eÀ0 (x) ´ ÑfN (x)h .

16p2me2

Б. Слагаемое, отвечающее низким энергиям

Низкоэнергетический вклад в сдвиг энергии получается из первых трех слагаемых в (14.2.24) после подстановки

		1	®			1	-			1
													.	(14.3.23)
k	2	- ie		k	2	- ie		k	2	+ m	2	- ie	.	(14.3.23)
k		- ie		k		- ie		k		+ m		- ie

788	Глава 14. Связанные состояния во внешних полях

в фотонном пропагаторе. Эта подстановка по существу служит для обрезания интеграла по компонентам 4-импульса фотона k на вели- чинах порядка m, но это невозможно увидеть, пока аккуратно не

учтена перенормировка массы, так что до этого момента мы воздержимся от любых нерелятивистских приближений. Кроме того, сейчас мы учитываем импульсы фотонов того же порядка или меньше, чем энергии связи атомных состояний, так что необходимо рассмотреть ответственные за эту связь электростатические силы во всех порядках.

Вместо того, чтобы работать с формулой (14.2.24) импульсного представления, удобно вернуться к формуле (14.2.18) конфигурационного представления. В этом представлении низкоэнергетический вклад в собственноэнергетическую функцию электрона дается формулой

[å*À (x, y)]низкие энергии

= ie2g ρSÀ (x, y)g rD(x - y; m)

+ dm

(m)d4 (x - y) -

(Z (m) - 1) g m [¶

m

+ ieÀ

m

] + m

d4

(x - y) ,

(14.3.24)

e

2

d

e i

ãäå D(x − y; m) — модифицированный фотонный пропагатор,

D(x - y; m) =

1

X

4

ik×(x- y)

L

1

-

1

O

Y

d

ke

M

P ,

(14.3.25)

(2p)4

- ie

k2

Z

Nk2

+ m2 - ie Q

а контрчлены Z2(m) − 1 è dm(m) вычислены с помощью1 этого моди-

фицированного пропагатора. Переходя от временной переменной к энергетической, находим, что низкоэнергетический вклад в функцию (14.2.13) есть

[å

*

=

ie2

X

4

k g

r

SÀ (x, y; E - k

0

)g

À

(x, y; E)]

Y d

r

низкие энергии

(2p)4

Z

L

1

O

´ M

-

P eik×(x-y)

2

- ie

k

2

+ m

2

N k

- ie Q

(14.3.26)

- (Z (m) - 1)

γ × Ñ + ig 0E + ieg nÀ

+ me

d3

(x - y)

2

c

n

h

+ dme(m) d3 (x - y) .

14.3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах

789

Соответственно низкоэнергетический вклад в сдвиг энергии согласно формуле (14.2.17) принимает вид

[dEN ]низкие энергии = -z d3xz d3y uN (x)[å*À (x, y; EN )]низкие энергии uN (y)

=

-ie2

z

d4k

z

d3x

z

d3y

N (x) g rSÀ (x, y; E - k0 )g ruN (y)

u

(2p)4

L

1

O

´

M

-

P eik×(x-y)

- ie

k2 + m2

N k2

- ie Q

(14.3.27)

- dme(m)z d3x uN (x) uN (x) .

Заметим, что слагаемые, пропорциональные Z2(m) − 1, выпали, так

как дираковская волновая функция uN(x) удовлетворяет уравнению Дирака (14.1.10). Для нахождения электронного пропагатора в присутствии кулоновского поля воспользуемся формулой (14.2.15):

SÀ (x, y; E) = å		- å
	uM (x)uM (y)		vM (x)vM (y)	,
	EM - E - ie		EM + E - ie
M		M

где суммы в первом и втором слагаемых берутся по всем одноэлектронным и однопозитронным состояниям, соответственно. Интегралы по k0 легче всего взять, замкнув контур интегрирования большим полукругом в нижней полуплоскости для первого слагаемого, и в верхней полуплоскости — для второго:

X

0 F

1

I F

1

I

=

Y dk

G

J G

J

2

+ m

2

0

Z

H k

- ieK H EM m EN ± k

- ieK

=	i	p	F		1		I
			G				J


	k2 + m2 H EM m EN			+		k2 + m2 - ieK

и поступив аналогично, когда m заменяется на нуль. Теперь сдвиг

энергии принимает вид

790	Глава 14. Связанные состояния во внешних полях

[δEN ]низкие энергии

= −

e2

d3kå

2(2π)3 z

M

× LΓr

(k)* Γ

(k)F

1

M MN

rMN

G

M

G | k| (EM − EN + | k| − iε)

N

H

−

1

I

J

2

+ μ

2

(EM − EN +

2

+ μ

2

J

k

− iε)K

~r

* ~

F

1

− ΓMN

(k)

ΓrMN (k)G

+ EN + | k| − iε)

H | k| (EM

1

I O

−

J P

2

(EM + EN +

2

J P

k

+ μ

k

+ μ

− iε)K Q

− δme(μ)z d3x

N (x)uN (x) ,

u

ãäå

ΓMNr

(k) ≡ z d3 ye-ik×y

M (y) γ ruN (y) ,

u

~

(y) γ rvN (y) .

ΓMNr (k) ≡ z d3ye-ik×y vM

(14.3.28)

(14.3.29)

(14.3.30)

(Конечно, «сумма» по М в (14.3.28) означает вклады только от электронных состояний в первое слагаемое и только от позитронных состояний — во второе.)

Формулу (14.3.28) можно было бы вывести более непосредственно из старой теории возмущений: энергетические знаменатели

EM − EN + ω è EM + EN + ω возникают в результате вычитания

энергии EN начального состояния из энергии промежуточного состояния, содержащего либо электрон с энергией ЕÌ и фотон с энергией ω, либо позитрон с энергией ЕÌ, фотон с энергией ω è êàê

конечный, так и начальный электроны (см. рис. 14.2).

Прежде чем делать1 какие-то приближения в (14.3.28), удобно выразить временные компоненты матричных элементов ΓMNρ è Γ~MNρ

через соответствующие пространственные компоненты, используя

-| fN (x)|2 Ñ2 (eÀ0 (x))