Документ: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001), страницы 853-857

14.3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах

791

Рис. 14.2. Диаграммы старой теории возмущений для низкоэнергетической части сдвига энергии электрона. Сплошные прямые линии изображают электрон; волнистые динии — фотон; пунктирные линии пересекают линии частиц промежуточных состояний, соответствующих первым двум слагаемым правой части формулы (14.3.28)

соотношения *, следующие из закона сохранения электрического тока:

k	Γ i	(k) = (E	N	− E	M	)Γ0	(k) ,	(14. 3. 31)
i	MN		N		M	MN
k	~ i	(k) = (E		+ E		~	(k) .	(14. 3. 32)
k	Γ	(k) = (E	N	+ E	M	)Γ0	(k) .	(14. 3. 32)
i	MN		N		M	MN

Более того, используя соотношение полноты (14.1.8), можно непосредственно показать, что

å \| ΓMN0	~
å \| ΓMN0	(k)\|2 +\| ΓMN0 (k)\|2	= 1	(14.3.33)

M

è

* Чтобы получить (14.3.31), заметим, что kiGMNi (k) = -iz d3x e-ik×x Ñ × buM (x) γ uN (x)g

= iz d3x e-ik×x ¶0	e		M (x) g 0 uN (x)j e-i(EN -EM )x0		= (EN - EM )GMN0 (k).

		u		x0 =0

Формула (14.3.32) выводится аналогично.

792 Глава 14. Связанные состояния во внешних полях

å

| GMN0 (k)|2

~

(k)|2 (EM + EN )

(EM - EN ) - | GMN0

M

= å

0*

~0*

~

(k)

-GMN

(k) k × Γ MN (k) - GMN

(k) k × Γ MN

(14.3.34)

M

= -ik × z d3xuN (x) γ uN (x) = 0 ,

причем последнее равенство вытекает из условия четности (14.1.23). Таким образом, соотношение (14.3.28) можно переписать в виде

[δEN ]низкие энергии =

2

X

L

Γ

k

2

-|

k

×

Γ

k

2

k2

j

= -

e

Y d3k

M

e|

MN ( )|

/

2(2p)3 Y

åM M

| k| (EM - EN + | k| - ie)

Z

N

O

- e|

Γ

k

2

- |

k

×

Γ

k

2

/(

k2

+ m

2

MN ( )|

MN

( )|

)j P

P

2

+ m

2

(EM + EN +

2

+ m

2

X

k

- ie) Q

2

L

~

k

2

k

~

k

2

k

2

j

Γ

×

Γ

+

e

Y d3k

M

e|

MN ( )| - |

MN ( )| /

2(2p)3 Y

åM M

| k| (EM + EN + | k| - ie)

Z

~

N

~

O

- e|

k

2

k

2

k

2

Γ

×

Γ

MN

+ m

MN ( )| - |

( )| /(

)j P

P

2

+ m

2

(EM + EN +

2

+ m

2

k

- ie) Q

e2

X

3

kå|

~0

2

F

1

I

-

Y d

GMN (k)|

G

-

2

J

(2p)

3

2

+ m

Z

M

H k

k

K

(14.3.35)

am - dme(m)z d3x

+

1

N (x)uN (x) ,

u

2

При получении предпоследнего слагаемого был использован элементарный интеграл

X

3

F

1

-

1

I

= 2mp

2

Y d

k G

J

.

2

+ m

2

Z

H k

k

K

14.3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах

793

До сих пор все преобразования были точным переписыванием формулы (14.3.28). Теперь следует сделать ряд приближений. Прежде всего рассмотрим перенормировку массы. В разделе 11.4 уже было вычислено значение dme(m) в порядке a. Оно равно:

		2mep2e2 X1				F me2x2	+ m2 (1 - x)I
dme	(m) =			Y	dx (1	+ x) lnG			J .	(14.3.36)
		(2p)	4				2	2
				Z0		H	mex		K

Хотя в разделе 11.4 величина m рассматривалась как регуляризую-

щая масса, которую следовало считать много большей чем me, выражение (14.3.36) можно с тем же успехом использовать для вычисления значения dme(m) в интересующем нас сейчас случае m n me. Â

этом пределе формула (14.3.36) приводит к выражению:

αμ L

3μ

O

dme

(m) ®

M1

-

+ . . .P .

(14.3.37)

2

2pme

N

Q

Напомним, что при Za n функция uN(x) определяется форму-

ëîé (14.1.37):

1

L(1 - σ × v 2 + . . . )f (x)O

uN

(x) =

M

N

P ,

(14.3.38)

2 N(1 + σ × v 2 + . . . )fN (x)Q

где точки отмечают слагаемые более высокого порядка по Za, v − нерелятивистский оператор скорости −iÑ/me, à fN(x) − äâóõ-

компонентный спинор, являющийся решением нерелятивистского уравнения Шредингера, нормированный соотношением (14.1.38):

z d3x \| fN (x)\|2 = 1 -	1	(v2 )NN + . . .	(14.1.39)
	4

Отсюда находим коэффициент при dme(m) в правой части (14.3.35):

z d3x		N (x)uN (x) = 1 -	1	(v2 )NN + . . .	(14.3.40)
	u
			2

Мы сразу же видим, что главное слагаемое в члене dme(m)òd3x`uNuN сокращает слагаемое am/2 в правой части (14.3.35). На самом деле,

794	Глава 14. Связанные состояния во внешних полях

такое сокращение можно было предвидеть, поскольку это слагаемое выживает в пределе Zα → 0, а определение me(μ) как перенор-

мированной массы электрона требует, чтобы в этом пределе не было никакого сдвига энергии.

С помощью тех же рассуждений можно предвидеть, что слагаемое порядка αμ2/me â δme(μ) (которое больше, чем порядка α(Zα)4me, и поэтому им нельзя просто пренебречь) сокращает имею-

щие тот же порядок второе и третье слагаемые в правой части (14.3.35) *. С другой стороны, произведение слагаемого αμ2/me â δme

со вторым слагаемым в матричном элементе (14.3.40) имеет порядок

* Убедиться в этом сокращении можно следующим образом. Мы исходим из того, что второе и третье слагаемые в правой части (14.3.35) достаточно малы, так что их можно оценить с помощью предельно нерелятивистского приближения buN(x) = uN(x) в уравнении Дирака, которому удов-

летворяет uN(x). С другой стороны, хотя и можно пренебречь кулоновской силой в позитронных волновых функциях vM(x), сумма по М в третьем слагаемом содержит существенный вклад от релятивистских позитронов, так что мы используем приближение vp,σ(x) g (2p)-3/2v(p,s)eip×x, ãäå v(p,s) -

введенный в разделе 5.5 позитронный спинор, нормированный условием`v(p,s¢)v(p,s) = dσ¢σ. Таким образом, суммы по М во втором и третьем

слагаемых в (14.3.35) даются следующими приближенными формулами:

F

I

1

L

~ i*

j

O

k2 + me2 + me

Må GMN

(k)GMN

(k) + (i « j)P g dij G

J

,

2

N M

Q

G

2

J

H

k

+ me

K

å\| GMN0	F	k2 + m2			- m		I
	(k)\|2 g G			e		e	J .


M	G	2	k2		2		J
	H	2		+ me			K

В главном порядке по m/me для этих слагаемых имеем соответственно

X

L

O F

+ me

I

2

(3 - k

2

+ m

2

am

2

e

Y d3k M

2

-

/ (k

))

P G

k

+ me

J g

,

4me (2p)3 Y

M k

k2

+ m

2

P G

2

k2

+

m2

J

4pme

Z

N

Q H

e

K

I F

I

e2

X

3

F

1

k2 + me2 - me

am2

-

d

k

-

G

J g-

.

p

H

+ m

Z

k2

K H

2 k

+ me

K

pme

2(2 )3

Y

G k2

2

J G

2

J

(продолжение сноски на с. 795)

14.3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах

795

(Za)2am2/me n a(Za)4me, и поэтому им можно пренебречь. Единственный остающийся в порядке a(Za)4me вклад от перенормировки массы − это произведение старшего слагаемого в dme(m) со слагаемым порядка (Za)2 â òd3x`uNuN:

L e2m O L			1	O			e2m
-M		P M-		(v2 )NN P	=			(v2 )NN .
						16p
N	8p Q N		2	Q

(Это отмеченное в разделе 1.3 влияние перенормировки массы на кинетическую энергию электрона.)

Оказывается, что последнее выражение в точности равно взятому с обратным знаком первому слагаемому в (14.3.35), если в нем пренебречь разницей между уровнями энергии. Чтобы убедиться в этом, заметим, что интеграл в этом слагаемом эффективно обрезается на значениях |k| f m n Zame, поэтому можно вычислить мат-

ричный элемент ΓMN(k) в пределе k ® 0. В низшем порядке по Za èç

соотношения (14.2.32) находим:

Γ MN(0) = (v)MN ,

(14.3.41)

и, используя полноту решений fN нерелятивистского уравнения Шредингера, имеем:

åGMNi* (k)GMNj (k) g(vivj )NN ,

(14.3.42)

M

так что в этом порядке

* (Соотношение (14.3.32) исключает возможность того, что релятивистская поправка к последнему выражению могла бы не быть подавленной множителем k2/me2, возникающим в самом выражении при |k|2 n me2.) Указанные два слагаемых сокращаются со слагаемым +3m2/4pme в члене -dme(m)òd3x`uN(x)uN(x). Наконец заметим, что релятивистские поправки к

указанным выше приближенным оценкам сумм по состояниям позитронов включали бы дополнительные множители порядка v2/c2 d (Za)2, что давало бы вклады порядка a(Za)2m2/me2 n a(Za)4me. Этим оправдывается ис-

пользованное здесь нерелятивистское приближение.

å \| ΓMN0	~
å \| ΓMN0	(k)\|2 +\| ΓMN0 (k)\|2	= 1	(14.3.33)

Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Смотрите также: