Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

(а следовательно и многочастичные состояния) преобразуются по отношению к вращениям так же, как и в нерелятивистской квантовой механике. Это еще одно хорошее известие, поскольку весь аппарат сферических гармоник, коэффициентов Клебша−

Гордана и т. п. можно целиком перенести из нерелятивистской квантовой механики в релятивистскую теорию.

Масса нуль

Прежде всего, следует установить структуру малой группы. Рассмотрим произвольный элемент малой группы Wμν, ãäå Wμνkν = kμ è kμ = (0,0,1,1) − стандартный 4-импульс для данного случая. Действуя на времениподобный 4-вектор tμ = (0, 0, 0, 1), ýòî

лоренцовское преобразование должно дать 4-вектор Wt, длина которого и скалярное произведение с вектором Wk = k такие же, как и для вектора t:

(Wt)μ (Wt)μ = tμtμ = −1,

(Wt)μ kμ = tμkμ = −1 .

Любой 4-вектор, удовлетворяющий второму условию, может быть записан в виде

(Wt)μ = (α, β, ζ,1 + ζ) ,

Отсюда вытекает, что действие Wμν íà tν совпадает с действием

лоренцовского преобразования

Это не означает, что элемент W равен S(α,β), однако S−1(α,β)W

является лоренцовским преобразованием, не меняющим времениподобный вектор (0,0,0,1), т. е. простым вращением. Кроме того, Sμν, êàê è Wμν, оставляет инвариантным светоподобный 4-вектор (0,0,1,1), так что преобразование S−1(α,β)W должно быть вращением на некоторый угол θ вокруг третьей оси:

Что это за группа? Заметим, что преобразования с θ = 0 èëè ñ α = β = 0 образуют подгруппы:

Эти подгруппы абелевы, т. е. все их элементы коммутируют друг с другом. Более того, подгруппа с θ = 0 является инвариантной в

том смысле, что ее элементы преобразуются в другие элементы той же подгруппы под действием любого элементы всей группы:

R(θ)S(α, β)R−1(θ) = S(αcos θ + βsin θ, − αsin θ + βcos θ). (2.5.31)

С помощью соотношений (2.5.29)−(2.5.31) можно найти произведение

любых элементов группы. Читатель узнает в этих правилах умножения те, которые принадлежат группе ISO(2), состоящей из трансляций (на вектор (α, β)) и вращений (на угол θ) â äâóõ

измерениях.

Те группы, у которых нет инвариантных абелевых подгрупп, обладают рядом простых свойств, и по этой причине их называют полупростымии. Как мы видели, малая группа ISO(2), как и неоднородная группа Лоренца, не является полупростой, что приводит к интересным усложнениям. Прежде всего, посмотрим на алгебру Ли группы ISO(2). Если считать θ, α, β бесконечно малыми, то общий групповой элемент можно

представить в виде

W(θ, α, β)μ ν = δμ ν + ωμ ν ,

Из (2.4.3) следует, что соответствующий оператор в гильбертовом пространстве равен

и, как и ранее, J3 = J12. Либо из соотношений (2.4.18)−(2.4.20), либо непосредственно из формул (2.5.29)−(2.5.31) видно, что ком-

мутаторы этих генераторов равны

Так как А и В являются коммутирующими эрмитовыми операторами, они (как и операторы импульса в неоднородной группе Лоренца) могут быть одновременно диагонализованы на состояниях Ψk,a,b :

AΨk,a,b = aΨk,a,b ,

BΨk,a,b = bΨk,a,b .

Проблема заключается в том, что если будет найден один такой набор ненулевых собственных значений А и В, то мы автоматически получим континуум таких значений. Из (2.5.31) имеем:

U[R(θ)]AU−1[R(θ)] = A cos θ − B sin θ ,

U[R(θ)]BU−1[R(θ)] = A sin θ + B cos θ .

так что при произвольном θ

AΨkθ,a,b = (a cos θ − b sin θ)Ψkθ,a,b ,

BΨkθ,a,b = (a sin θ + b cos θ)Ψkθ,a,b ,

Ψkθ,a,b ≡ U−1(R(θ))Ψk,a,b .

Согласно экспериментальным данным безмассовые частицы не обладают какой-либо непрерывной степенью свободы вроде θ. Чтобы

избежать появления подобного континуума состояний, мы должны потребовать, чтобы физические состояния (называемые теперь Ψk,s)

были собственными векторами А и В с a = b = 0:

Эти состояния различаются собственным значением оставшегося генератора

Так как импульс k определяет направление в трехмерном пространстве, σ равна компоненте углового момента в направлении

движения, иначе, спиральности частицы.

Теперь можно установить свойства лоренцовских преобразований произвольных безмассовых состояний. Заметим, во-первых, что с помощью общих соображений, приведенных в разделе 2.2, уравнение (2.5.32) обобщается для конечных α è β, принимая вид

а для конечных θ — âèä

Произвольный элемент малой группы W можно записать в виде (2.5.28), и поэтому

U(W)Ψk,σ = exp(iαA + iβB) exp(iJ3θ)Ψk,σ = exp(iθσ)Ψk,σ

так что из (2.5.8) находим:

Dσ′σ (W) = exp(iθσ)δσ′σ ,

ãäå θ — угол, определенный так же, как в (2.5.28). В результате

правило лоренцовского преобразования для безмассовой частицы произвольной спиральности задается уравнениями (2.5.11) и (2.5.18) и принимает вид

ãäå θ(Λ, p) определяется из равенства

W(Λ, p) ≡ L−1(Λp)ΛL(p) ≡ S(α(Λ, p), β(Λ, p))R(θ(Λ, p)) . (2.5.43)