2.4. Алгебра Пуанкаре |
81 |
находим, что конечные трансляции представляются в физическом гильбертовом пространстве в виде
U(1, a) = exp(−iPμaμ ). |
(2.4.26) |
Точно так же можно показать, что вращение Rθ íà óãîë |θ|
вокруг направления q представляется в физическом гильбертовом пространстве как
U(Rθ ,0) = exp(iJ × q). |
(2.4.27) |
Представляет интерес сравнить алгебру Пуанкаре с алгеброй Ли группы симметрии ньютоновской механики — группы Галилея. Можно вывести эту алгебру, начав с законов преобразования группы Галилея и повторив ту процедуру, которую мы использовали для вывода алгебры Пуанкаре. Однако, так как уже выведены соотношения (2.4.18)−(2.4.24), легче получить ал-
гебру Галилея как предел алгебры Пуанкаре при малых скоростях с помощью приема, который известен как контракция Иноню−Вигнера 4, 5. Следует ожидать, что для системы частиц с
типичными массой m и скоростью v операторы импульса и момента импульса порядка P mv, J 1 . С другой стороны, оператор энергии H = M + W, где полная масса М m и энергия, не связанная с массой (кинетическая и потенциальная), W mv2. Из уравнений (2.4.18)−(2.4.24) следует, что в пределе при v n 1
коммутационные соотношения принимают вид:
[Ji, Jj] = iεijkJk, [Ji, Kj] = iεijkKk, [Ki, Kj] = 0,
[Ji , Pj ] = iεijkPk , [Ki , Pj ] = −iMδ ij ,
[Ji, W] = [Pi, W] = 0, [Ki, W] = −iPi , [Ji, M] = [Pi, M] = [Ki, M] = [W, M] = 0,
где K 1/v. Произведение трансляции x → x + a и «буста» x → x + vt должно быть преобразованием x → x + vt + a, íî ýòî
неверно для действия указанных операторов в гильбертовом пространстве:
exp(iK × v) exp(-iP × a) = exp(iMa × v / 2) expai(K × v - P × a)f .
82 |
Глава 2. Релятивистская квантовая механика |
Появление фазового множителя exp(iMaЧv/2) показывает, что это проективное представление с правилом суперотбора, запрещающим суперпозицию состояний с разными массами. В этом отношении математика группы Пуанкаре проще, чем группы Галилея. Однако нет никаких причин, препятствующих формальному расширению группы Галилея путем добавления одного или более генераторов в ее алгебру Ли, которые коммутировали бы со всеми другими генераторами и имели бы собственные значения, равные массам различных состояний. В этом случае физические состояния реализуют обычное, а не проективное представление расширенной группы симметрии. По-видимому, разница проявляется лишь в обозначениях, не считая того, что при подобной интерпретации группы Галилея нет нужды в правиле суперотбора по массе.
2.5. Одночастичные состояния
Рассмотрим теперь классификацию одночастичных состояний в соответствии с тем, как они преобразуются под действием преобразований неоднородной группы Лоренца.
Все компоненты 4-вектора энергии−импульса коммутируют
друг с другом, поэтому естественно выражать физические векторы состояний через собственные векторы 4-импульса. Вводя метку σ
для обозначения всех других степеней свободы, рассмотрим векторы состояний Ψp,σ, удовлетворяющие условию
Pμ Ψ |
σ = pμ Ψ |
σ . |
(2.5.1) |
p, |
p, |
Для произвольных состояний, описывающих, например, несколько несвязанных частиц, метка σ сама может включать как
непрерывные, так и дискретные метки. Примем как часть определения одночастичного состояния, что метка σ может быть только
дискретной, и ограничимся пока что рассмотрением такого случая. (Однако конкретное связанное состояние двух или более частиц, например, низшее энергетическое состояние атома водорода, следует рассматривать как одночастичное состояние. Оно не является элементарной частицей, но различие между составными и элементарными частицами нам сейчас не важно.)
2.5. Одночастичные состояния |
83 |
Из уравнений (2.5.1) и (2.4.26) следует, что состояния Ψp,σ
преобразуются под действием трансляций по закону
U(1, a)Ψp,σ = e-ip×aΨp,σ .
Рассмотрим теперь, как преобразуются эти состояния под действием однородных преобразований Лоренца. Из формулы (2.4.9) следует, что в результате действия квантового однородного преобразования Лоренца U(Λ, 0) ≡ U(Λ) на состояние Ψp,σ возникает собственный вектор 4-импульса с собственным значением Λp:
PμU(Λ)Ψp,σ = U(Λ)[U−1(Λ)PμU(Λ)]Ψp,σ = U(Λ)(Λ−ρ1μPρ )Ψp,σ
= ΛμρpρU(Λ)Ψp,σ . |
(2.5.2) |
Поэтому U(Λ)Ψp,σ должно быть линейной комбинацией векторов состояний ΨΛp,σ′:
U(Λ)Ψp,σ = åCσ′σ (Λ, p)ΨΛp,σ′ . |
(2.5.3) |
σ′ |
Âобщем случае подходящим выбором линейных комбинаций Ψp,σ можно так выбрать метки σ, чтобы матрица Cσ′σ(Λ, p) стала блоч- но−диагональной, т. е. совокупность Ψp,σ с меткой σ, принимающей
значения внутри одного блока, сама была бы представлением неоднородной группы Лоренца. Естественно сопоставить состояния частицы конкретного типа с компонентами представления неоднородной группы Лоренца, которое неприводимо в том смысле, что его нельзя далее разложить указанным способом.
Конечно, разные сорта частиц могут соответствовать изоморф-
ным представлениям, для которых матрицы Cσ′σ(Λ, p) либо тожде-
ственны, либо совпадают с точностью до преобразования подобия.
Âнекоторых случаях удобно определить типы частиц как неприводимые представления более широких групп, включающих неоднородную собственную ортохронную группу Лоренца в качестве подгруппы; например, как мы увидим, для безмассовых частиц,
взаимодействия которых сохраняют симметрию по отношению к пространственным отражениям, принято рассматривать все компоненты неприводимого представления неоднородной группы
84 Глава 2. Релятивистская квантовая механика
Лоренца, включая пространственную инверсию, как один тип частиц.
Наша задача заключается в исследовании структуры коэффициентов Cσ′σ(Λ, p) для неприводимых представлений неодно-
родной группы Лоренца. Для этого заметим, что единственными функциями pμ, остающимися инвариантными по отношению ко всем собственным ортохронным преобразованиям Лоренца Λμν, являются квадрат этого 4-вектора p2 ≡ ημνpμpν è çíàê p0 ïðè p2 ≤ 0. Таким образом, для каждого значения р2 è (ïðè ð2 ≤ 0) определенного знака р0 можно выбрать «стандартный» 4-импульс kμ è âûðà-
зить любой 4-вектор pμ из этого класса в виде |
|
pμ = Lμ ν (p)kν , |
(2.5.4) |
ãäå Lμν — стандартное преобразование Лоренца, зависящее от pμ и неявно от выбора стандартного импульса kμ. Затем можно определить состояния Ψp,σ импульса р как
Ψp,σ ≡ N(p)U(L(p))Ψk,σ , |
(2.5.5) |
ãäå N(p) − числовой нормировочный множитель, который будет
далее установлен. До этого момента мы ничего не говорили о том, как метки σ связаны с разными импульсами. Уравнение (2.5.5) за-
полняет этот пробел.
Действуя на (2.5.5) произвольным однородным преобразованием Лоренца U(Λ), находим:
U(Λ)Ψp,σ = N(p)U(ΛL(p))Ψk,σ |
||
= N(p)U(L(Λp))U(L−1(Λp)ΛL(p))Ψ |
. |
(2.5.6) |
k,σ |
Суть последнего шага — в том, что преобразование Лоренца L−1(Λp)ΛL(p) переводит k в L(p)k = p, затем в Λp и назад в k, так что
это преобразование принадлежит подгруппе однородной группы Лоренца, состоящей из лоренцовских преобразований Wμν, оставляющих kμ инвариантным:
Wμ νkν = kμ (2.5.7)
.
Эта подгруппа называется малой группой 5. Для любого W, удовлетворяющего (2.5.7), имеем:
2.5. Одночастичные состояния |
85 |
U(W)Ψk,σ = å Dσ′σ (W)Ψk,σ′ . |
(2.5.8) |
σ′ |
Коэффициенты D(W) явлÿются представлением малой группы, т. е. для любых элементов W, W
å Dσ′σ (W, W)Ψk,σ′ = U(WW)Ψk,σ = U(W)U(W)Ψk,σ
σ′
= U(W)å Dσ′′σ (W, W)Ψk,σ′′ = å Dσ′′σ (W)Dσ′σ′′ (W)Ψk,σ′
σ′′ σ′σ′′
и поэтому
Dσ′σ ( |
|||||
WW) = å Dσ′σ′′ (W)Dσ′′σ (W) . |
(2.5.9) |
||||
σ′′ |
|||||
В частности, можно применить соотношение (2.5.8) к преобразованию малой группы:
W(Λ, p) ≡ L−1(Λp)ΛL(p) , |
(2.5.10) |
после чего (2.5.6) принимает вид:
U(Λ)Ψp,σ = N(p)å Dσ′σ (W(Λ, p))U(L(Λp))Ψk,σ′ ,
σ′
или, вспоминая определение (2.5.5),
F N(p) I |
å Dσ′σ (W(Λ, p))ΨΛp,σ′ . |
|||||
U(Λ)Ψp,σ = G |
J |
(2.5.11) |
||||
Λ |
||||||
H N( |
p) K |
σ′ |
||||
Помимо вопросов нормировки, задача определения коэффициентов Cσ′σ в законе преобразования (2.5.3) была сведена к задаче
нахождения представлений малой группы. Такой подход, заключа- ющийся в получении представлений какой-то группы типа неоднородной группы Лоренца из представлений малой группы, носит название метода индуцированных представлений 6.
В таблице 2.1 приведен удобный выбор стандартного импульса kμ и соответствующей малой группы для 4-импульсов разных
классов. Из этих шести классов 4-импульсов только для случаев а, в и е известна какая-то интерпретация в терминах физичес-