Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Табл. 2. 1. Стандартные импульсы и соответствующие малые группы для разных классов 4-импульсов. Здесь κ — произвольная положительная энер-

гия, например, 1 эВ. Тип малых групп почти очевиден: SO(3) — обычная группа вращений в трех измерениях (не содержащая пространственных инверсий), поскольку вращения — это единственные собственные ортохронные преобразования Лоренца, оставляющие частицу с нулевым импульсом в состоянии покоя. Группы SO(2,1) и SO(3,1) — группы Лоренца в (2 + 1) и (3 + 1) измерениях, соответственно. Группа ISO(2) — группа евклидовой геометрии, состоящая из вращений и трансляций в двух измерениях. Появление этой группы в качестве малой группы для случая р2 = 0 объяснено в основном тексте.

ких состояний. Нет нужды много говорить здесь о случае е, когда pμ = 0. Он соответствует вакууму, который инвариантен по отношению к действию U(Λ). В последующем изложении мы будем

рассматривать только случаи а и в, соответствующие частицам с массой М > 0 и М = 0.

Полезно сделать паузу и сказать несколько слов о нормировке таких состояний. Пользуясь обычной квантово-механичес- кой процедурой ортогонализации и нормировки, можно выбрать состояния со стандартным импульсом kμ, ортонормированными

в том смысле, что

являются собственными состояниями эрмитова оператора с собственными значениями k и k′, соответственно.) Отсюда вы-

текает, что представление малой группы в (2.5.8) и (2.5.11) должно быть унитарным *:

Что можно сказать о скалярных произведениях для произвольных импульсов? Используя унитарность оператора U(Λ) â

соотношениях (2.5.5) и (2.5.11), получаем, что скалярное произведение равно

* Малые группы SO(2,1) и SO(3, 1) для p2 > 0 è pμ = 0 не имеют нетривиальных

конечномерных унитарных представлений. Поэтому, если бы существовали состояния с данным импульсом pμ ïðè p2 > 0 èëè pμ = 0, которые бы

нетривиальным образом преобразовывались под действием элементов малой группы, то таких состояний должно было быть бесконечно много.

инвариантный интеграл от произвольной скалярной функции f(p) по 4-импульсам с -p2 = M2 ³ 0 è ð0 > 0 (т. е. для случаев а и в в

таблице) равен

z d4p d(p2 - M2 ) q(p0 )f(p) = z d3pdp0 d((p0 )2 - p2 - M2 ) q(p0 ) f(p, p0 )

X f(p, p2 + M2 )

=Y d3p

Y +

Z M2 p2 2

(q(p0) - ступенчатая функция: q(x) = 1 ïðè x ³ 0, q(x) = 0 ïðè

Òàê êàê ð¢ и р связаны соответственно с k¢ и k лоренцовским

преобразованием L(p), имеем:

p0δ3 (p′ − p) = k0δ3 (k′ − k)

и поэтому

Иногда выбирают нормировочный множитель N(p) просто равным единице, N(p) = 1, но в этом случае нужно следить за множителями p0/k0 в скалярных произведениях. Я предпочитаю более привычное соглашение

Рассмотрим два представляющих физический интерес слу- чая: частицы с массой M > 0 и частицы нулевой массы.

Случай положительной массы

В данном случае малой группой является трехмерная группа вращений. Ее унитарные представления могут быть разложены в

прямую сумму неприводимых унитарных представлений 7 D(j′) (R)

σ σ

размерности 2j + 1, где j = 0, 1/2, 1, … Последние можно построить из стандартных матриц бесконечно малых вращений Rik = δik + Θik, ãäå Θik = −Θki — бесконечно малые величины:

Здесь σ пробегает значения j, j − 1, …, −j. Для частицы массой M > 0

и спина j уравнение (2.5.11) принимает вид:

где элемент малой группы W(Λ, p) (вигнеровское вращение 5) опреде-

ляется формулой (2.5.10):

W(Λ, p) = L−1(Λp)ΛL(p).

Чтобы рассчитать результат этого вращения, следует выбрать «стандартный буст» L(p), который переводит 4-импульс kμ = (0, 0, 0, M) в 4-импульс pμ. Удобно выбрать его в виде

Lik(p) = δik + (γ − 1)p$ ip$ k ,

всех р. Для доказательства заметим, что можно записать буст

получается просто вращение на некоторый угол θ вокруг третьей оси: