Документ: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001), страницы 143-147

122	Глава 2. Релятивистская квантовая механика

состояния ¡¢k, принадлежащий преобразованному лучу TSk, может быть разложен по векторам состояний Y¢l:

ϒ′		=	ål		c		Ψ′.
	k		ål			kl		l
Из (2.А.1) следует, что
\| c		\| = \| c			\| =		1		,
	kk			k1					,
							2

à äëÿ l ¹ k è l ¹ 1

ckl = 0.

Ясно, что для любого данного k подходящим выбором фаз двух векторов состояний ¡¢k è Y¢l можно так настроить фазы двух ненулевых коэффициентов ckk è ñk1, чтобы они равнялись 12 . С этого момента векторы состояний ¡¢k è Y¢k, выбранные подобным образом, будут обозначаться U¡k è UYk. Как было показано,

U	1	bΨk + Ψ1 g = UΥk =	1	bUΨk + UΨ1 g.	(2.À.5)

2			2

Однако нужно еще определить UY для произвольных векторов состояний Y.

Рассмотрим произвольный вектор состояния Y, принадлежащий произвольному лучу R, и разложим его по Yk:

Y = åCkYk .	(2.À.6)
k

Любой вектор состояния Y¢, принадлежащий преобразо-

ванному лучу TR, может быть аналогичным образом разложен по полной ортонормированной системе векторов UYk:

Y¢ = åCk¢ UYk .

(2.À.7)

k

Из равенства величин

bΨk , Ψg

2

è

bUΨk , Ψ′g

2

вытекает, что для

всех k (включая k = 1)

|

C

k |

2

=

|

C′

2

,

(2.À.8)

k |

Приложение А

123

в то время как из равенства

bϒk , Ψg

2 è

bUϒk , Ψ′g

2 вытекает, что

äëÿ âñåõ k ¹ 1

+

C |2

= | C′

+ C′|

2 .

| C

k

(2.À.9)

1

k

1

Разделив (2.А.9) на (2.А.8), получаем соотношение

Re(C

/ C ) = Re(C′ / C′) ,

(2.À.10)

k

1

k

1

а с учетом (2.А.8)

Im(C

/ C )

= ± Im(C′

/ C′) .

(2.À.11)

k

1

k

1

Поэтому либо

C

/ C

= C′

/ C′

,

(2.À.12)

k

1

k

1

ëèáî

′

*

.

(2.À.13)

Ck / C1 = (Ck / C1)

Далее можно показать, что при всех k выбор должен быть один и тот же. (Этот этап доказательства был пропущен Вигнером.) Для этого предположим, что при некотором k имеем Ck/C1 = C′k/C¢1, а при некотором l ¹ k, напротив, Cl/C1 = (C¢l/C¢1)*. Предположим

также, что оба отношения комплексны, так что мы рассматриваем действительно два разных случая. (Это изначально требует, чтобы k ¹ 1 è l ¹ 1, а также k ¹ l.) Покажем, что такое невозмîæíî.

Определим вектор состояния F º bY1 + Yk + Yl g / 3 . Òàê êàê

все отношения коэффициентов в этом векторе состояния действительны, мы должны получить те же отношения в любом векторе состояния F¢, принадлежащем преобразованному лучу:

Φ′ ≡ α bUΨ1 + UΨk + UΨl g , 3

ãäå a — фазовый множитель, |a| = 1. Но тогда из равенства

вероятностей перехода

aΦ, Ψf

2

è

aΦ′, Ψ′f

2 вытекает, что

1 +

Ck¢

+

Cl¢

2

=

1 +

Ck

+

Cl

2

,

C¢

C

1

124 Глава 2. Релятивистская квантовая механика

и поэтому

C

C*

2

C

k

C

2

1 +

k

+

l

=

1 +

+

l

.

C*

C1

1

Это возможно только в том случае, если

F Ck Cl* I

F Ck

Cl

I

ReG

J

= ReG

J

*

H C1

C1 K

H C1

C1 K

или, иными словами,

åñëè

Imçæ

Ck

÷ö Imçæ

Cl

÷ö

= 0.

è C1 ø

Отсюда, в противоречии с нашими предположениями, либо Ck/ C1, ëèáî Cl/C1 должны быть действительны для любой пары k, l. Видим, что для заданного преобразования симметрии T, примененного к данному вектору состояний, для всех k должно быть выполнено либо условие (2.А.12), либо условие (2.А.13).

Вигнер исключил вторую возможность (2.А.13), поскольку, как он показал, всякое преобразование симметрии, для которого эта возможность реализуется, должно включать обращение времени, а в представленном доказательстве он рассматривал только симметрии типа вращений, не влияющие на направление времени. Мы изучаем здесь симметрии, включающие обращение времени на равных основаниях с другими симметриями, так что нам следует считать, что для каждого преобразования симметрии T и вектора состояния åkCkYk

выполнены либо (2.А.12), либо (2.А.13). В зависимости от того, какая из этих альтернатив выполняется, определим UY как тот из векторов состояний Y', принадлежащих лучу TR, фаза которого выбрана так, что либо C1 = C¢1, ëèáî C1 = C¢1*. Тогда либо

F		I	= åCkUYk ,
UG	åCkYk J		= åCkUYk ,
H	k	K	k
ëèáî		I
F		I	= åCk* UYk .
UG	åCkYk J		= åCk* UYk .
H	k	K	k

(2.À.14)

(2.À.15)

Приложение А	125

Осталось доказать, что для данного преобразования симметрии мы должны сделать тот же выбор между формулами (2.А.14) и (2.А.15) в случае произвольных значений коэффициентов Сk. Предположим, что (2.А.14) выполнено для вектора состояния åkAkYk, а (2.А.15) — для вектора состояния åkBkYk. Тогда из

инвариантности вероятностей переходов вытекает, что

2	2
å Bk* Ak	= å BkAk .

kk

или эквивалентно

åImcAk* Al h ImcBk* Bl h = 0 .	(2.À.16)
kl

Нельзя исключить, что (2.А.16) выполнено для пары векторов состояний åkAkYk è åkBkYk, принадлежащих разным лучам. Од-

нако для любой пары таких векторов состояний, у которых ни Ak, íè Bk не имеют все одинаковой фазы (так что (2.А.14) и (2.А.15) не одинаковы), всегда можно найти третий вектор состояния, для которого *

åImcCk* Cl h ImcAk* Al h ¹ 0 ,	(2.À.17)
kl
и также
åImcCk* Cl h ImcBk* Bl h ¹ 0 .	(2.À.18)

kl

*Åñëè äëÿ какой-то пары k, l и A*kAl, è B*kBl комплексны, выбираем все

Ñравными нулю, за исключением Ck è Cl, а эти коэффициенты выбираем с разными фазами. Если для какой-то пары k, l величина A*kAl комплексна, а B*kBl действительна, то должна существовать другая пара m, n (либо m, либо n, но не оба сразу, могут при этом равняться k или l), для которой

B*mBn комплексна. Если к тому же A*mAn комплексна, выбираем все С равными нулю, за исключением Cm è Cn, а у этих коэффициентов выбираем разные фазы. Если A*mAn действительна, то выбираем все С равными нулю, за исключением Ck, Cl, Cm è Cn, а у этих четырех коэффициентов выбираем разные фазы. Случай, когда B*kBl комплексна, а A*kAl действительна, разбирается аналогично.

126	Глава 2. Релятивистская квантовая механика

Как мы видели, из (2.А.17) следует, что для åkAkYk è åkCkYk

должен быть сделан выбор между (2.А.14) и (2.А.15), а из (2.А.18) следует, что один и тот же выбор должен быть сделан и для åkBkYk è åkCkYk. Таким образом, один и тот же выбор между

(2.А.14) и (2.А.15) должен быть сделан для двух исходных векторов состояния åkAkYk è åkBkYk. Итак, показано, что для данного

преобразования симметрии T все векторы состояний удовлетворяют либо (2.А.14), либо (2.А.15).

Теперь нетрудно доказать, что квантово-механический оператор U может быть либо линейным и унитарным, либо антилинейным и антиунитарным. Сначала предположим, что для всех векторов состояний удовлетворяется (2.А.14). Любые два вектора состояния Y è F можно разложить по полной системе:

Y = å AkYk , F =å BkYk ,

kk

соответственно, используя (2.А.14), получаем:

UaaY + bFf = UåbaAk + bBk gYk =åbaAk + bBk gUYk

k k

= aå AkUYk + bå BkUYk .

kk

Вновь используя (2.А.14), находим:

UaαΨ + βΦf = αUΨ + βUΦ ,

(2.À.19)

так что оператор U линеен. Пользуясь (2.А.2) и (2.А.3), находим, что скалярное произведение преобразованных состояний равно

(UY, UF) = å Ak* Bl (UYk , UYl ) = å Ak* Bk ,

kl	k
и, следовательно,
(UΨ, UΦ) = (Ψ, Φ),	(2.À.20)
так что оператор U унитарен.

Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Смотрите также: