Приложение Б |
127 |
Случай симметрии, которая удовлетворяет (2.А.15) для всех векторов состояний, разбирается во многом аналогично. Возможно, читатель сам, без посторонней помощи воспроизведет доказательство. Однако, поскольку антилинейные операторы могут быть не слишком привычны, все же приведем здесь необходимые детали. Пусть (2.А.15) удовлетворяется для всех векторов состояний åkCkYk. Любые два вектора Y è F могут быть разложены как и ранее, так что
UaaY + bFf = UåbaAk + bBk gYk =åca* Ak* + b* Bk* hUYk
k k
= a* å Ak* UYk + b* å Bk* UYk .
kk
Вновь пользуясь (2.А.15), находим:
aaY + bFf = a |
Y + b |
F |
(2.À.21) |
||
U |
*U |
*U |
, |
так что U антилинеен. Используя (2.А.2) и (2.А.3), получаем, что скалярное произведение преобразованных состояний
(UY, UF) = å AkBl* (UYk , UYl ) = å AkBk* ,
kl |
k |
и поэтому |
|
(UΨ, UΦ) = (Ψ, Φ)* , |
(2.À.22) |
так что оператор U антиунитарен. |
Приложение Б. Групповые операторы
èгомотопические классы
Âэтом приложении мы докажем упомянутую в разделе 2.7 теорему, согласно которой фазы операторов U(T) для конечных преобразований симметрии T можно выбрать так, чтобы эти операторы образовывали представление группы симметрии, а не проективное представление, если только: а) генераторы группы можно определить так, чтобы в алгебре Ли не было цент-
128 |
Глава 2. Релятивистская квантовая механика |
ральных зарядов; б) сама группа односвязна. Кроме того, обсудим проективные представления для неодносвязных групп и связь этих представлений с гомотопическими классами группы.
Для доказательства теоремы вспомним метод, с помощью которого были построены операторы, соответствующие преобразованиям симметрии. Как описано в разделе 2.2, для параметризации этих преобразований мы вводим набор действительных переменных θa, так чтобы сами преобразования удовлетворяли
закону композиции (2.2.15):
T(θ)T(θ) = Td f(θ, θ)i .
Мы хотим построить операторы U(T(θ)) ≡ U[θ], удовлетво-
ряющие соответствующему условию *:
U[ |
]U[θ] = U[ f( |
, θ)] . |
(2.Á.1) |
||
θ |
θ |
Чтобы сделать это, проведем произвольные «стандартные» пути Θθa (s)
в пространстве групповых параметров, идущие из начала в каждую точку θ, причем Θθa (0) = 0 , Θθa (1) = θa , и определим Uθ(s) вдоль каж-
дого такого пути с помощью дифференциального уравнения
d |
a |
dΘθb (s) |
||||
Uθ (s) = itaUθ (s)hb |
(Θθ (s)) |
(2.Á.2) |
||||
ds |
||||||
ds |
||||||
с начальным условием |
||||||
Uθ (0) = 1, |
(2.Á.3) |
|||||
ãäå
L |
∂ |
θ |
O |
||||||||
a |
( |
θ |
|||||||||
[h−1 |
]ba (θ) ≡ M |
f |
, ) |
P |
. |
||||||
∂θb |
|||||||||||
N |
Qθ =0 |
||||||||||
Мы намерены в конце концов отождествить Uθ(1), но прежде следует выяснить некоторые
(2.Á.4)
операторы U[θ] с свойства Uθ(s).
* Здесь и далее квадратные скобки используются для того, чтобы отличать операторы U, построенные как функции групповых параметров, от операторов, являющихся функциями самих групповых преобразований.
Приложение Б |
129 |
Чтобы проверить закон композиции, рассмотрим две точки θ1 è θ2, и определим путь P, идущий из 0 в θ1, а затем в f(θ2, θ1):
R |
Θa |
(2s) , |
≤ |
s |
≤ |
||||||
| |
θ |
0 |
1 / 2 , |
||||||||
ΘaP |
(s) ≡ S |
1 |
(2s − 1), θ ) , |
1 / 2 ≤ s ≤ 1. |
(2.Á.5) |
||||||
|fa (Θ |
θ2 |
||||||||||
T |
1 |
||||||||||
В конце первого отрезка пути мы попадаем в точку, где опера-
òîð UP ( ) = Uθ (1). |
Чтобы вычислить U (s) вдоль второго отрезка |
||||||
ïóòè, |
1 |
P |
(2s − 1), θ |
). Äëÿ |
|||
нам нужно |
знать производную от fa (Θθ |
||||||
этого |
используем |
фундаментальное условие |
2 |
1 |
|||
ассоциативности |
|||||||
fa (f(θ3 , θ2 ), θ1) = fa (θ3 , f(θ2 , θ1)) . |
(2.Á.6) |
||||||
Сравнивая коэффициенты при θc в пределе θ |
3 |
→ 0, находим |
|||||
3 |
|||||||
∂fa (θ |
, θ |
) |
(f(θ |
, |
θ |
)) = hc (θ |
) . |
||||
2 |
1 |
hc |
2 |
2 |
(2.Á.7) |
||||||
∂θb |
a |
1 |
b |
||||||||
2 |
|||||||||||
Таким образом, дифференциальное уравнение (2.Б.2) для |
UP (s) |
||||||||||
вдоль второго отрезка совпадает с дифференциальным уравнением
äëÿ Uθ |
(2s − 1). Начальные условия для этих величин различны, |
|||||
2 |
||||||
однако |
UP (s)Uθ−1(1) удовлетворяет тому же дифференциальному |
|||||
1 |
||||||
уравнению, что и UP (2s − 1) , но вдобавок удовлетворяет и тому же |
||||||
начальному условию: при s = |
1 |
обе величины |
равны единице. |
|||
Отсюда мы заключаем, что для |
1 |
≤ s ≤ 1 |
||||
UP (s)Uθ−1(s) = Uθ |
(2s − 1) . |
|||||
1 |
2 |
|||||
и, в частности, |
||||||
UP (1) = Uθ |
2 |
(1)Uθ (1) . |
(2.Á.8) |
|||
1 |
||||||
Однако из этого не следует, что Uθ(1) удовлетворяет желаемому правилу композиции (2.Б.1), так как, хотя путь ΘP(s) èäåò èç θa = 0 â θa = fa(θ2, θ1), он в общем случае не будет совпадать с тем выбранным нами «стандартным» путем Θf(θ2 ,θ1) , который идет сразу из θa = 0 â θa = fa(θ2, θ1). Чтобы отождествить U[θ] c Uθ(1), нужно еще доказать, что Uθ(1) не зависит от пути из 0 в θ.
130 |
Глава 2. Релятивистская квантовая механика |
Для этого рассмотрим вариацию δU оператора Uθ(s), порожденную вариацией δΘ(s) ïóòè èç 0 â θ. Беря вариацию
(2.Б.2), приходим к дифференциальному уравнению
d |
δU = it |
δUha |
(Θ) |
dΘb |
+ it |
Uha |
(Θ)δΘc |
dΘb |
+ it |
Uha |
(Θ) |
dδΘb |
|
, |
|||||||||||||
ds |
a |
b |
ds |
a |
b,c |
ds |
a |
b |
ds |
||||
ãäå hba,c ≡ ∂hba / ∂Θc . Используя коммутационные соотношения ал-
гебры Ли (2.2.22) (без центральных зарядов) и совершая перегруппировку слагаемых, получаем
d |
(U−1δU)= |
d |
(iU−1t |
UhaδΘb ) |
||||||||
a |
||||||||||||
ds |
ds |
b |
||||||||||
+ iU−1t |
UδΘb |
dΘc |
(ha |
− ha |
+ Caedhehd ). |
(2.Á.9) |
||||||
a |
||||||||||||
ds |
c,b |
b,c |
b c |
|||||||||
Однако переходя к пределу θ3, θ2 → 0 в условии ассоциативности (2.Б.6), находим для всех θ
h(θ)ba,c = −fadeh(θ)bd h(θ)ce . |
(2.Á.10) |
ãäå fade – коэффициент, определенный формулой (2.2.19). Антисимметризация по b и c показывает, что последнее слагаемое в (2.Б.9) обращается в нуль:
hca,b − hba,c + Caedhbehcd = 0. |
(2.Á.11) |
|
Таким образом, из (2.Б.9) следует, что величина |
||
U−1δU − iU−1t |
UhaδΘb |
|
a b |
||
постоянна вдоль пути θ(s). Отсюда следует, что оператор Uθ(1)
стационарен при любой бесконечно малой вариации пути, оставляющей закрепленными конечные точки Θ(0) = 0 è Θ(1) = θ (а также Uθ(0) = 1). Однако из предположения б) вытекает, что любой путь от Θ(0) = 0 äî Θ(1) = θ можно непрерывно деформировать в любой другой путь, так что теперь можно рассматривать Uθ(1) как не зависящую от пути функцию только переменной θ:
Uθ (1) ≡ U[θ] . |
(2.Á.12) |
Приложение Б |
131 |
|
В частности, так как путь P приводит из 0 в f(θ2, θ1), имеем |
||
UP (1) = U[f(θ2 , θ1)], |
(2.Á.13) |
|
а тогда (2.Б.8) показывает, что U[θ] удовлетворяет закону груп-
пового умножения (2.Б.1), что и требовалось доказать.
Мы построили непроективное представление U[θ], и осталось
показать, что любое проективное представление ~[θ] òîé æå ãðóï-
U
пы с теми же генераторами представления ta может отличаться от U[θ] только фазой:
~ |
iα(θ) |
U[θ], |
||
U[θ] = e |
||||
òàê ÷òî ôàçà φ в законе умножения для |
~ |
|||
U[θ] |
||||
~ ′ ~ |
iφ(θ′,θ) ~ |
′ |
||
U[θ ]U[θ] = e |
U[f(θ , θ)] |
|||
может быть устранена простым изменением фазы ~[θ]. Чтобы пока-
U
зать это, рассмотрим оператор
− |
− |
~ ~ |
− |
~ |
φ |
θ′ θ |
) . |
U[θ] |
1 U[θ′] |
1 U[θ′]U[θ] = U[f(θ′, θ)] |
1 U[f(θ′, θ)]ei ( |
, |
|||
Операторы U[θ] è ~[θ] имеют одни и те же генераторы, поэтому
U
производная левой части по θ ′a обращается в нуль при θ ′ = 0 è
∂ |
− |
~ |
− |
~ |
||||||
0 = |
∂θb |
nU[θ] |
1 U[θ]s + iφb (θ)U[θ] |
1 U[θ] , |
||||||
ãäå |
||||||||||
L |
∂ |
O |
||||||||
φb (θ) ≡ hba |
(θ)M |
φ(θ′, θ)P |
. |
|||||||
∂θ |
b |
|||||||||
N |
Qθ′ =0 |
|||||||||
Дифференцируя полученное равенство по θc и выполняя антисим-
метризацию по b и c, получаем сразу же
0 = ∂φb (θ) − ∂φc (θ) . ∂θc ∂θb
Согласно известной теореме13 из предыдущего равенства следует, что в односвязном пространстве φb есть просто градиент