144 |
Глава 3. Теория рассеяния |
Мы часто используем сокращенное обозначение, заменяя весь набор p1, σ1, n1; p2, σ2, n2, ... какой-нибудь одной греческой буквой, например, α. Приняв такие обозначения, можно записать (3.1.2)
â âèäå:
(Ψα′ , Ψα ) = δ(α′ − α), |
(3.1.3) |
ãäå δ(α′ − α) является суммой произведений дельта−функций и кро-
некеровских символов, стоящих в правой части (3.1.2). Кроме того, при суммировании по состояниям принимается, что
z dα. . . ≡ å z d3p1d3p2 . . . |
(3.1.4) |
n1σ1n2σ2 ... |
В частности, соотношение полноты для состояний, нормированных как в (3.1.3), имеет вид:
Ψ = ò dα Ψα (Ψα , Ψ) . |
(3.1.5) |
Закон преобразования (3.1.1) может быть справедлив только для частиц, которые по тем или иным причинам не взаимодействуют. Если положить Λνμ = δμν è aμ = (0, 0, 0, τ), òî U(Λ,a) = exp(iHτ), и среди прочего из (3.1.1) вытекает, что Ψα должно быть собствен-
ным состоянием энергии:
HΨα = Eα Ψα , |
(3.1.6) |
причем энергия есть просто сумма энергий отдельных частиц:
Eα = p10 + p20 + . . . , |
(3.1.7) |
без каких-либо членов взаимодействия, т. е. слагаемых, которые определяли бы связь между несколькими частицами.
С другой стороны, закон преобразования (3.1.1) применим для процессов рассеяния в моменты времени t → ±∞. Как пояснялось
в начале этой главы, в типичном опыте по рассеянию начальные частицы в момент времени t → −∞ находятся так далеко друг от друга,
что их можно считать еще не взаимодействующими, а в конеч-
ном состоянии при t |
→ +∞ они разлетаются так далеко, что уже |
не взаимодействуют. |
Поэтому имеется не один, а два набора |
3.1. Состояния ин и аут |
145 |
состояний, преобразующихся по закону (3.1.1): ин-состояния Ψα+ è |
||
аут-состояния |
Ψα− — это такие |
состояния, что если |
над ними произвести наблюдения при t → –∞ è t → ∞, соответ- |
||
ственно *, то |
будут обнаружены |
частицы, описываемые |
меткой α.. |
||
Поясним это определение. В том формализме, который используется здесь, для сохранения строгой лоренц−инвариантности
векторы состояний не меняются со временем, т. е. вектор состояния Ψ описывает всю пространственно−временную историю системы час-
тиц. (Такое описание известно как гейзенберговская картина, в противоположность шредингеровской картине, в которой операторы постоянны, а состояния меняются со временем.) Таким образом, мы не утверждаем, что Ψα± являются пределами зависящего от времени вектора состояния Ψ(t) ïðè t → å∞.
Однако в определении состояний неявно присутствует выбор инерциальной системы отсчета, из которой наблюдается система; разные наблюдатели видят эквивалентные векторы состояний, но не один и тот же вектор. В частности, предположим, что стандартный наблюдатель О устанавливает свои часы так, что значение t = 0 соответствует какому-то моменту времени, когда происходит процесс соударения. Другой наблюдатель О′, покоящийся относительно первого, устанавливает часы так, что t′ = 0 соответствует t = τ, иными словами, временные координаты двух наблюдателей связаны соотношением t′ = t − τ. Тогда, если наблюдатель О видит систему в состоянии Ψ, то наблюдатель О ′ видит систему в состоянии U(1,−τ)Ψ = exp(−iHτ)Ψ. Таким образом, то, как выглядит
состояние системы в состоянии задолго до или намного позже соударения (какой бы базис не использовал бы наблюдатель О) определяется применением оператора трансляции во времени exp(−iHτ), взятом при t → −∞ èëè ïðè t → +∞, соответственно. Конечно, если
состояние действительно является собственным состоянием оператора энергии, оно не может быть локализовано во времени — применение оператора exp(−iHτ) приводит к появлению несущественного фазового множителя exp(−iEατ). Поэтому мы должны
рассматривать волновые пакеты, т. е. суперпозиции состояний,
* Индексы «+» и «–» для ин- и аут-состояний могут показаться перепутанными, но это дань традиции. Такой выбор определяется знаками в формуле (3.1.16).
146 |
Глава 3. Теория рассеяния |
с ненулевой амплитудой g(α), медленно изменяющейся в некотором
интервале значений энергии E. Состояния ин и аут определяются так, что суперпозиция
exp(−iHτ)z dα g(α)Ψα ± = z dα e− iEnτ g(α)Ψα ±
ïðè τ << −1/ E èëè τ >> +1 / E имеет вид соответствующей су-
перпозиции состояний свободных частиц.
Чтобы конкретизировать сказанное, предположим, что генератор временных трансляций Н можно разбить на два слагаемых — гамильтониан свободных частиц Н0 и гамильтониан взаимодей-
ствия V: |
|
H = H0 + V , |
(3.1.8) |
причем собственные состояния Φα гамильтониана Н0 описываются так же, как и собственные состояния Ψα+ è Ψα− полного гамильтониана:
H0Φα = EαΦα , |
(3.1.9) |
(Φα′ , Φα ) = δ(α′ − α) . |
(3.1.10) |
Подчеркнем, что спектр оператора Н0 предполагается совпадающим со спектром полного гамильтониана Н. Из этого следует, что массы, входящие в Н0, должны быть реально измеряемыми физическими массами, которые не обязательно совпадают с «голыми» массами, входящими в Н. Разница, если она существует, должна быть включена не в Н0, а в гамильтониан взаимодействия V. Кроме того, все возможные связанные состояния в спектре Н должны быть введены в Н0 так, как будто они являются элементарными частицами *.
Теперь ин- и аут-состояния могут быть определены как собственные состояния не Н0, à Í:
* В нерелятивистских задачах можно включить потенциальную энергию связи в Н0. Приложение такого метода к «соударениям с перестройкой», когда некоторое связанное состояние присутствует только в начальном, но не в конечном состоянии, или наоборот, требует различного разбиения Н на Н0 и V в начальном и конечном состояниях.
3.1. Состояния ин и аут |
147 |
HΨ |
± = E |
α |
Ψ ± |
, |
(3.1.11) |
α |
α |
||||
удовлетворяющие условию: |
|||||
z dα e− iEα τgaαfΨα ± → z dα e− iEα τgaαfΦα |
(3.1.12) |
||||
ïðè τ → −∞ èëè τ → +∞, соответственно. |
|||||
Формулу (3.1.12) можно переписать как требование, что exp(−iHτ)z dα gaαf Ψα ± → exp(−iH0τ)z dα gaαf Φα
äëÿ τ → −∞ èëè τ → +∞, соответственно. Иногда это соотношение
переписывают как формулу для ин- и аут-состояний: |
||||
Ψ |
± = Ω |
∞ Φ |
α , |
(3.1.13) |
α |
(m |
) |
||
ãäå |
||||
Ω(τ) ≡ exp(+iHτ) exp(−iH0τ) . |
(3.1.14) |
|||
Однако следует иметь в виду, что Ω(å∞) в (3.1.13) приводит
к осмысленным результатам, только действуя на гладкую суперпозицию собственных состояний оператора энергии.
Немедленным следствием определения (3.1.12) является то, что ин- и аут-состояния нормированы точно так же, как состояния свободных частиц. Чтобы увидеть это, заметим, что поскольку левая часть в (3.1.12) получена действием унитарного оператора exp(−iHτ)
на не зависящее от времени состояние, его норма не зависит от времени и поэтому равна норме своего предельного значения при τ → ∞, т. е. норме в правой части формулы (3.1.12):
zdα dβ exp(−i(Eα − Eβ )τ) g(α) g* (β) (Ψβ± , Ψα ± )
=z dα dβ exp(−i(Eα − Eβ )τ) g(α) g* (β) (Φβ , Φα ) .
Так как это равенство предполагается выполненным для всех гладких функций g(α), то скалярные произведения должны быть
равны друг другу:
148 |
Глава 3. |
Теория рассеяния |
|
(Ψβ ± , Ψα |
± ) = (Φβ , Φα ) = δ(β − α) . |
(3.1.15) |
|
Для ряда приложений полезно получить явное, хотя и формальное решение уравнения (3.1.11) на собственные значения энергии, удовлетворяющее условиям (3.1.12). Запишем уравнение (3.1.11) в виде
(E |
α |
− H |
0 |
)Ψ ± |
= VΨ |
± . |
|||||||||
α |
α |
||||||||||||||
Оператор Eα − H0 íå |
является обратимым; он дает нуль при |
||||||||||||||
действии не только на свободное состояние частиц Φα, íî è íà êîí- |
|||||||||||||||
тинуум других состояний свободных частиц Φβ той же энергии. Так |
|||||||||||||||
êàê ïðè V → 0 ин- и аут-состояния как раз равны Φα, представляется |
|||||||||||||||
естественным записать формальное решение как сумму Φα è ñëà- |
|||||||||||||||
гаемого, пропорционального V: |
|||||||||||||||
Ψ ± |
= Φ |
α |
+ (E |
α |
− H |
0 |
± iε) |
−1 VΨ |
± . |
(3.1.16) |
|||||
α |
α |
||||||||||||||
Иначе, производя разложение по полному набору состояний |
|||||||||||||||
свободных частиц: |
|||||||||||||||
T ±Φ |
β |
||||||||||||||
Ψα ± = Φα + z dβ |
βα |
, |
(3.1.17) |
||||||||||||
(Eα − Eβ ± iε) |
|||||||||||||||
Tβα ± ≡ (Φβ , VΨα ± ) , |
(3.1.18) |
||||||||||||||
ãäå ε − положительная бесконечно малая величина, введенная для того, чтобы придать смысл оператору, обратному к Eα − H0. Полу- ченные уравнения носят название уравнений Липпмана−Швингера 1à.
Мы используем (3.1.17) в конце следующего раздела, чтобы полу- чить несколько более строгое доказательство ортонормированности ин- и аут-состояний.
Остается показать, что уравнение (3.1.17) с добавками +iε è −iε в знаменателе удовлетворяет условию (3.1.12) для ин- и аут-
состояний, соответственно. Для этого рассмотрим суперпозиции
Ψ ± |
(t) ≡ |
z |
dα e |
− iEαtgaαfΨα |
± , |
(3.1.19) |
g |