3.1. Состояния ин и аут |
149 |
Φg (t) ≡ |
z |
dα e− iEαtgaαfΦα . |
(3.1.20) |
|||||
Мы хотим показать, что при t |
→ −∞ è t → +∞ Ψ |
+(t) è Ψ −(t) |
||||||
g |
g |
|||||||
стремятся соответственно к Φg(t). После подстановки (3.1.17) в (3.1.19) |
||||||||
получаем: |
||||||||
± |
e− iEαtgaαfT |
±Φ |
β |
|||||
(t) = Φg (t) + z dαz dβ |
βα |
|||||||
Ψg |
. |
(3.1.21) |
||||||
(Eα − Eβ ± iε) |
||||||||
Не задумываясь, поменяем местами порядок интегрирования и рассмотрим сначала интегралы
Iβ ± ≡ z dα e−iEαtgbαgTβα ± .
(Eα − Eβ ± iε)
Ïðè t → −∞ можно замкнуть контур интегрирования по энергетической переменной Eα большой полуокружностью в верхней
полуплоскости, причем вклад в интеграл от этой полуокружности обращается в нуль благодаря множителю exp(−iEαt), который экспоненциально мал при t → −∞ è ImEα > 0. Поэтому интеграл равен
сумме вкладов от особенностей подынтегрального выражения в верхней полуплоскости. В общем случае, можно ожидать, что функции g(α) è Tβα± имеют особенности при значениях Eα с положительными
мнимыми частями, но, так же, как и для большой полуокружности, их вклад экспоненциально подавляется при t → −∞. (Конкрет1 - но, значение −t должно быть много больше, чем временная неопределенность волнового пакета g(α) и длительность соударения; именно
эти величины определяют, соответственно, положение особенностей g(α) è Tβα± в комплексной плоскости Eα.) В результате остается особенность в (Eα − Eβ ± iε)−1, которая лежит в верхней полуплоскости для Iβ−, íî íå äëÿ Iβ+. Отсюда мы заключаем, что Iβ+ обращается в нуль при t → −∞. Точно так же, при t → +∞ следует замкнуть
контур интегрирования в нижней полуплоскости, и в этом пределе Iβ− обращается в нуль. Мы приходим к выводу, что Ψg±(t) стремятся к Φg(t) ïðè t → ±∞, в согласии с основным условием (3.1.12).
* * *
150 Глава 3. Теория рассеяния
В дальнейшем удобно использовать следующее представле-
ние множителя (Eα − Eβ ± iε)−1 в (3.1.17). В общем случае |
||||||||||
(E ± iε)−1 = |
Pε |
m iπδ |
ε (E) , |
(3.1.22) |
||||||
E |
||||||||||
Pε |
= |
E |
, |
(3.1.23) |
||||||
E2 + ε2 |
||||||||||
E |
||||||||||
δε (E) ≡ |
ε |
. |
(3.1.24) |
|||||||
π(E2 + ε2 ) |
||||||||||
Ïðè |E| . ε функция (3.1.23) ведет себя как 1/E, и обращается
âíóëü ïðè Å → 0, òàê ÷òî ïðè ε → 0 она ведет себя как «главное
значение» P/E. Это позволяет придать смысл интегралам от произ-
ведения 1/E на любую гладкую функцию от Е, исключив бесконеч- но малую окрестность точки Е = 0. При |E| . ε функция (3.1.24) порядка ε, и при интегрировании по всем Е дает единицу, так что
âпределе при ε → 0 она ведет себя как всем знакомая δ-функция δ(E). С учетом этого обстоятельства можно опустить метку ε â ïðà-
вой части (3.1.22) и записать просто
(E ± iε) |
−1 = |
P |
m iπδ(E) . |
(3.1.25) |
E |
3.2.S-матрица
Âобщем случае экспериментатор приготовляет при t → −∞ ñî-
стояние, содержащее определенный набор частиц, и затем измеряет, во что превратится это состояние при t → +∞. Åñëè ïðè t → −∞ состояние приготовлено так, что содержит набор частиц α, òî îíî
есть ин-состояние Ψα+; если обнаружено, что при t → +∞ состояние содержит набор частиц β, то оно есть аут-состояние Ψβ−. Амплитуда вероятности перехода α → β дается скалярным произведением
Sβα = (Ψβ − , Ψα + ) . |
(3.2.1) |
Этот набор комплексных амплитуд известен как S-матрица 2. Если взаимодействие отсутствует, ин- и аут-состояния совпадают,
3.2. S-матрица |
151 |
è Sβα = δ(α − β). Таким образом, вероятность реакции α → β пропорциональна |Sβα − δ(α − β)|2. В разделе 3.4 мы детально рассмотрим связь Sβα с измеряемыми вероятностями и сечениями.
Видимо, следует подчеркнуть, что ин- и аут-состояния живут в двух разных гильбертовых пространствах. Они отличаются только своими метками, тем, как они выглядят соответственно при t → −∞ è t → +∞. Всякое ин-состояние можно разложить по аут-
состояниям, причем коэффициентами разложения и будут элементы S-матрицы (3.2.1).
Òàê êàê Sβα — матрица, связывающая два набора ортонорми-
рованных состояний, она должна быть унитарной. Чтобы подробнее показать это, применим условие полноты (3.1.5) к аут-состояниям и запишем
z dβSβγ* Sβα = z dβ(Ψγ+, Ψβ−)(Ψβ−, Ψα+) = (Ψγ +, Ψα+). |
|
Используя (3.1.15), находим: |
|
z dβS*βγ Sβα = δ(γ − α), |
(3.2.2) |
или короче S†S = 1. Аналогично, используя полноту инсостояний, получаем:
z dβSγβSαβ* = δ(γ − α) |
(3.2.3) |
или иначе SS† = 1 *.
Часто удобно вместо S-матрицы иметь дело с оператором S, для которого по определению матричные элементы между состояниями свободных частиц равны соответствующим элементам S-матрицы:
(Φβ , SΦα ) ≡ Sβα . |
(3.2.4) |
Явное, хотя и крайне формальное выражение (3.1.13) для ин-
èаут-состояний позволяет получить формулу для оператора S:
* Альтернативное доказательство приведено в конце этого раздела. Отметим, что для бесконечных матриц условия унитарности S†S = 1 è SS†= 1 не эквивалентны.
152 |
Глава 3. |
Теория рассеяния |
|
S = Ω(∞)† Ω(−∞) = U(+∞,−∞), |
(3.2.5) |
||
ãäå |
|||
U(τ, τ0 ) ≡ Ω(τ)† Ω(τ0 ) = exp(iH0τ) exp(−iH(τ − τ0 )) exp(−iH0τ0 ). (3.2.6)
Мы используем это выражение в следующем разделе для проверки лоренц-инвариантности S-матрицы, и в разделе 3.5 при выводе формулы для S-матрицы в зависящей от времени теории возмущений.
Методы предыдущего раздела можно применить для вывода полезной альтернативной формулы для S-матрицы. Обратимся вновь к формуле (3.1.21) для инсостояния Ψ+, перейдя на этот раз к пределу t → +∞. Теперь следует замкнуть контур интегрирования по Eα в нижней полуплоскости. Хотя, как и ранее, особенности в Tβα+ è g(α) не дают вклада при t → +∞, следует учесть вклад сингулярного множителя (Eα − Eβ + iε)−1. Контур идет по действительной оси от Eα = −∞ äî Eα = +∞, и замыкается по большой полуокружно-
сти в нижней полуплоскости, так что контур обходит особенность в направлении по часовой стрелке. Согласно известной формуле теории вычетов вклад в интеграл по Eαопределяется значением подынтегрального выражения в точке Eα = Eβ − iε, умноженному на (−2πi). Иными словами, в пределе ε → 0+ è t → +∞ интеграл по α â (3.1.21)
асимптотически ведет себя как
I β+ → −2iπe−iEβt z dαδ(Eα − Eβ ) g(α) Tβα+
и поэтому при t → +∞
Ψg+ (t) → z dβe− iEβtΦβ g(β) − 2iπz dαδ(Eα − Eβ )g(α)Tβα+ .
Однако разложение выражения (3.1.19) для Ψg+ по полному
набору аут-состояний дает:
Ψg+ (t) = z dαe−iEαtg(α)z dβΨβ−Sβα .
Òàê êàê Sβα содержит множитель δ(Eβ − Eα), это можно пере-
писать в виде:
Ψg+ (t) = z dβΨβ−e−iEβt z dαg(α)Sβα ,
3.2. S-матрица |
153 |
после чего, используя определяющее свойство (3.1.12) для аутсо- стояний, находим асимптотическое поведение при t → +∞:
Ψg+ (t) → z dβΦβe− iEβt z dαg(α)Sβα .
Сравнивая с нашим предыдущим результатом, находим:
ò dαg(α)Sβα = g(β) − 2iπò dαδ(Eα − Eβ ) g(α) Tβα+ |
|
или иначе |
|
Sβα = δ(β − α) − 2iπδ(Eα − Eβ )Tβα + . |
(3.2.7) |
Эта формула позволяет установить простое приближенное выражение для S-матрицы. В случае слабого взаимодействия V можно пренебречь разницей между инсостояниями и состояниями свободных частиц в (3.1.18), так что (3.2.7) принимает вид:
Sβα ≈ δ(β − α) − 2iπδ(Eα − Eβ )(Φβ , VΦα ). |
(3.2.8) |
Формула (3.2.8) известна под названием борновского приближения 3. Поправки более высокого порядка обсуждаются в разделе 3.5.
* * *
Уравнения Липпмана−Швингера (3.1.16) для ин- и аутсостоя-
ний можно использовать для доказательства 4 ортонормированности этих состояний и унитарности S−матрицы, а также для вывода
формулы (3.2.7), не используя при этом предельных переходов к t → å∞. Во-первых, подставляя соотношение (3.1.16) по очереди слева и справа в матричный элемент (Ψβ±, VΨα±) и приравнивая
результаты, находим, что
(Ψβ ±, VΦα ) + (Ψβ ±, V(Eα − H0 ± iε)−1 VΨα ± ) = (Φβ , VΨα ± ) + (Ψβ ±, V(Eβ − H0 m iε)−1 VΨα ± ).
Суммируя по полному набору промежуточных состояний Φγ, ïðè-
ходим к уравнению: