Приложение В |
137 |
ëèáî ñ+ = ñ−= 0, ëèáî eiφ = 1. Таким образом, при eiφ ¹ 1 èíâà-
риантность по отношению к обращению времени требует двукратного вырождения этих состояний, не считая того, которое связано с их спинами.
Конечно, если имеется дополнительный оператор «внутренней» симметрии S, под действием которого состояния преобразу-
ются по закону
SYp,σ,± = e± iφ/2Y−p,σ,m ,
можно переопределить оператор обращения времени как T¢ º S–1T, и такой оператор не будет перемешивать состояния Yp,σ,± äðóã ñ
другом. Только при отсутствии внутренней симметрии можно приписать удвоение состояний частиц самому обращению времени.
Вернемся к вопросу о квадрате T. Вторичное применение
преобразования (2.В.8) дает |
|||||||
T2Y |
σ |
, |
± |
= (-1)2j em iφY |
σ |
± . |
(2.Â.9) |
p, |
p, |
, |
|||||
Если, следуя Вигнеру, предположить, что T2 пропорционален единичному оператору, мы должны иметь eiφ = e−iφ, è òàê êàê
отсюда следует, что фаза действительна, она может равняться только +1 или –1. Выбор eiφ = –1 все еще будет требовать дву-
кратного вырождения одночастичных состояний, помимо того вырождения, которое связано с их спином. В рамках гипотезы Вигнера все частицы должны проявлять такое удвоение числа состояний. Однако нет оснований не взять произвольную фазу f â
(2.В.8), которая могла бы равняться нулю для одних частиц, и быть отличной от нуля для других. Поэтому тот факт, что для наблюдаемых частиц не выявлено дополнительное двукратное вырождение, не исключает возможности, что для каких-то других частиц это вырождение существует.
Можно также рассмотреть возможностьP более сложных представлений оператора четности , для которого
PYp,σ, n = å PnmY−p,σ,m , |
(2.Â.10) |
m |
где матрица P унитарна и в остальном произвольна. В противоположность обращению времени, всегда можно диагонализовать
138 |
Глава 2. Релятивистская квантовая механика |
эту матрицу с помощью выбора базиса для состояний. Однако такой выбор базиса может оказаться не тем, в котором оператор обращения времени действует просто, так что в принципе операторы P è T совместно могут привести к дополнительным вырождениям, которые не требуются операциями P èëè T ïî-
отдельности.
Как обсуждается в гл. 5, всякая квантоваяCPT теория поля считается удовлетворяющей симметрии , действующей на одночастичные состояния по правилу
CPTΨ |
= (−1)j −σ Ψ |
, |
(2.Â.11) |
p,σ,n |
p,−σ,nc |
ãäå nc обозначает античастицу (или зарядово–сопряженную частицу) к частице n. В этом преобразовании не допускаются никакие фазы или матрицы (хотя,CPT конечно, всегда можно ввести фазы или матрицы, объединив с подходящими внутренними симметриями). Отсюда вытекает, что
(CPT)2 Ψ |
= (−1)2j Ψ |
, |
(2.Â.12) |
p,σ,n |
p,−σ,n |
так что предложенная ВигнеромCPTвозможность появления знака –(–1)2j при действии оператора ( )2 в квантовой теории поля не реализуетсяT .
Пока является хорошей симметрией для некоторого класса
явлений, такой же хорошей симметрией является и комбинирован- |
|||
ная инверсия CP ≡ (CPT)T–1. Для состояний, обычным образом пре- |
|||
образующихся под действием T, |
|||
TΨp,σ, n Ψ−p,−σ, n , |
(2.Â.13) |
||
оператор CP также действует обычным образом: |
|||
CPΨp,σ, n Ψ−p,σ, nc , |
(2.Â.14) |
||
Тогда оператор C ≡ CPP–1 просто заменяет частицы на античас- |
|||
тицы и наоборот: |
|||
CΨp,σ, n Ψ |
σ |
nc . |
(2.Â.15) |
p, |
, |
||
С другой стороны, если T имеет нестандартное представление (2.В.8), из (2.В.11) имеем:
Задачи |
139 |
|
CPΨp,σ,± = em iφ/2Ψ− p,σ,mc . |
(2.Â.16) |
|
В частности, возможно, что вырождение, |
отмеченное значками |
|
±, может быть тем же самым, что и вырождение частица-
античастица,CPT так что античастица (определеннаяCP посредством ) состояния Y± åñòü Yå . В этом случае имело бы необыч-
ное свойство не менять частицы на античастицы CPи обратноT . До тех пор, пока рассматриваются подобныеP частицы,CP и имеют тот же смысл, который обычно имеют иCP . TНо это не просто вопрос определения — на другие частицы и действовали бы обычным образом.
Неизвестны примеры частиц, реализующих нестандартные представления инверсий, и мы далее такие возможности рассматривать не будем. Начиная с этого момента, будем считать, что инверсии действуют так, как было принято в разделе 2.6.
Задачи
1. Пусть наблюдатель О видит W-бозон (спин 1 и масса m ¹ 0) ñ
импульсом p, направленным вдоль оси y, и z-компонентой спина s. Второй наблюдатель О ¢ движется относительно первого со скоростью v в направлении оси z. Как наблюдатель О ¢
опишет состояние W-бозона?
2. Пусть наблюдатель О видит фотон импульсом p в направлении оси y и вектором поляризации в направлении оси z. Второй наблюдатель О ¢ движется относительно первого со скоростью v в направлении оси z. Как О ¢ опишет состояние фотона?
3. Получите перестановочные соотношения генераторов группы Галилея непосредственно из закона группового умножения (не используя результаты для группы Лоренца). Включите наиболее общий набор центральных зарядов, которые не могут быть устранены переопределением генераторов группы.
4. Покажите, что операторы PμPμ è WμWμ, ãäå Wμ º eμνρλJνρPλ,
коммутируют с операторами лоренцовских преобразований U(L, a).
140 |
Глава 2. Релятивистская квантовая механика |
||
5. |
Рассмотрите физику в двух пространственных и одном вре- |
||
менном измерении, предполагая инвариантность по отноше- |
|||
нию к «группе Лоренца» SO(2,1). Как можно было бы описать |
|||
спиновые состояния отдельной массивной частицы? Как эти |
|||
состояния вели бы себя по отношению к преобразованиям |
|||
Лоренца? Что можно сказать об инверсиях |
P è |
T? |
|
6. Как и в задаче 5, рассмотрите физику в |
äâóõ |
пространст- |
|
венных и одном временном измерениях, предполагая инвариант- |
|||
ность по отношению к «группе Лоренца» SO(2,1). Как можно было |
|||
бы описать спиновые состояния отдельной безмассовой частицы? Как эти состояния вели бы себя по отношениюP ê Tпреобразованиям Лоренца? Что можно сказать об инверсиях и ?
Список литературы
1. Dirac, P.A.M. The Principles of Quantum Mechanics, 4th edn (Oxford University Press, Oxford, 1958) (есть рус. пер.: Дирак П.А.М. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1980).
2. Wigner, E.P. Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quantenmechanik der Atomspektren (Braunschweig, 1931), pp. 251-253. Для безмассовых частиц см.: Wigner, E.P., in Theoretical Physics (International Atomic Energy Agency, Vienna, 1963), p. 64.
3. Wick, G.C., Wightman, A.S., and Wigner, E.P., Phys. Rev., 88, 101 (1952).
3a. См., например, в книге: S. Weinberg, Gravitation and Cosmology (Wiley, New York, 1972), Section 2.1.
4. Inö nü , E. and Wigner, E.P., Nuovo Cimento, 9, 705 (1952).
5. Wigner, E.P., Ann. Math., 40, 149 (1939).
6. Mackey, G.W., Ann. Math., 55, 101 (1952); 58, 193 (1953); Acta Math., 99, 256 (1958); Induced Representations of Groups and Quantum mechanics (Benjamin, New York, 1968).
Список литературы |
141 |
7. См., например, книги: Edmonds, A.R. Angular Momentum in Quantum Mechanics (Princeton University Press, Princeton, 1957), ch. 4 (есть рус. пер.: Эдмондс А. Угловой момент в квантовой механике. М.: Атомиздат, 1968); Rose, M.E.
Elementary Theory of Angular Momentum (John Wiley & Sons, New York, 1957), ch. 4; Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Изд. 3-е. М.: Наука, 1974, § 58; Wu-Ki Tung. Group Theory in Physics (World Scientific, Singapore, 1985), Sections 7.3 and 8.1.
8. Lee, T.D. and Yang C.N., Phys. Rev., 104, 254 (1956); Wu, C.S. et al., Phys. Rev., 105, 1413 (1957); Garwin, R., Lederman, L., and Weinrich, M., Phys. Rev., 105, 1415 (1957); Friedman, J.J. and Telegdi, V.V., Phys. Rev., 105, 1681 (1957).
9. Christenson, J.H., Cronin, J.W., Fitch, V.L., and Turlay, R.,
Phys. Rev. Letters., 13, 138 (1964).
10. Kramers, H., Proc. Acad. Sci. Amsterdam, 33, 959 (1930); см. также: Dyson, F.J., J. Math. Phys., 3, 140 (1962).
11. Bargmann, V., Ann. Math., 59, 1 (1954), Theorem 7.1.
12. См., например, книгу: Turnbull, H.W. and Aitken, A.C. An Introduction to the Theory of Canonical Matrices (Dover Publications, New York, 1961), p. 164.
13. См., например, книгу: Flanders, H. Differential Forms (Academic Press, New York, 1963), Section 3.6.
14. Введение в теорию гомотопических классов и групп см., например, в книгах: Hocking, J.C. and Young, G.S. Topology (AddisonWesley, Reading, MA, 1961), Chapter 4; Nash, C. and Sen, S.
Topology and Geometry for Physicists (Academic Press, London, 1983), Chapters 3 and 5.
15. Wigner, E.P., in: Group Theoretical Concepts and Methods in Elementary Particle Physics, ed. by F. Gü rsey (Gordon & Breach,
New York, 1964), p. 37.
3
Теория рассеяния
Общие принципы релятивистской квантовой механики, изложенные в предыдущей главе, применялись нами до сих пор только к состояниям отдельных стабильных частиц. Такие одночастичные состояния сами по себе не очень интересны. Что-то нетривиальное может случиться только в том случае, когда две или более частицы взаимодействуют друг с другом.
Однако реальные эксперименты в общем случае не описываются простой последовательностью взаимодействий частиц. Поэтому (по крайней мере, в ядерной физике и физике элементарных частиц) рассматривается базисный модельный эксперимент, в котором несколько частиц сближаются друг с другом с макроскопиче- ски больших расстояний и взаимодействуют в микроскопически малой области, после чего продукты взаимодействия вновь разлетаются на макроскопические расстояния.
Физические состояния до и после соударения образованы частицами, столь удаленными друг от друга, что их можно считать невзаимодействующими, так что эти состояния можно описывать прямыми произведениями обсуждавшихся в предыдущей главе одночастичных состояний. В таком эксперименте измеряемой величи- ной является распределение вероятностей, или «сечения», для переходов между начальным и конечным состояниями удаленных друг от друга фактически невзаимодействующих частиц.
В данной главе описан формализм 1, использующийся для вы- числения этих вероятностей и сечений.
3.1. Состояния ин и аут |
143 |
3.1. Состояния ин и аут
Если состояние образовано несколькими невзаимодействующими частицами, можно считать, что под действием преобразований неоднородной группы Лоренца оно преобразуется как прямое произведение одночастичных состояний. Чтобы пометить одночастичные состояния, будем использовать их 4-импульсы pμ и z-компоненты спина (или спиральности для безмассовых частиц) σ.
Кроме того, поскольку мы будем иметь дело с несколькими сортами частиц, введем дополнительную дискретную метку n, отмечающую тип частицы и включающую описание ее массы, спина, заряда и т. д. Общий закон преобразования имеет вид
U(Λ, a)Ψp1,σ1,n1;p2 ,σ2 ,n2 ;... = expe−iaμ (p1μ + p2μ +. . .j
× (Λp1)0 (Λp2 )0 . . .
p10p20 . . .
å D(j′1)
σ′σ′ ...
σ1σ1
1 2
(W(Λ, p ))D(j2 ) |
(W(Λ, p )). . . |
||||
1 |
σ′ |
σ |
2 |
(3.1.1) |
|
2 |
2 |
||||
× ΨΛp |
,σ′ |
,n |
;Λp |
,σ′ |
,n |
;... , |
|
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
||
ãäå W(Λ,p) — вигнеровское вращение (2.5.10), а D(j) |
(W(Λ, p)) — èç- |
||||||
σ′σ |
|||||||
вестные (2j + 1)−мерные унитарные матрицы представления трех- |
|||||||
мерной группы вращений. (Такое правило верно для массивных частиц; для любой безмассовой частицы матрица заменяется на δσ′σ expaiσθ(Λ, p)f, ãäå θ — угол, определенный формулой (2.5.43).)
Состояния нормированы, как в (2.5.19):
e |
Ψ ′ |
, |
σ′ |
′ ′ |
σ′ |
′ |
;... |
, Ψ |
, |
σ |
1 |
,n1;p2 , |
σ |
2 |
,n2 ;... j |
||||||||
p1 |
1 |
,n1;p2 |
, 2 |
,n2 |
p1 |
||||||||||||||||||
= δ3 (p′ |
− p )δσ′σ |
δ |
′ |
δ3 (p′ |
− p |
)δσ′ σ |
δ |
′ . . . |
(3.1.2) |
||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
n1n1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
n2n2 |
||||||||||||||
± перестановки,
причем включено слагаемое «± перестановки», чтобы учесть возможность того, что произведена некоторая перестановка частиц n′1, n′2, ...,принадлежащих такому же сорту, что и частицы n1, n2, ... (Êàê
подробнее обсуждается в гл. 4, если эта перестановка включает не- четную перестановку частиц с полуцелым спином, следует брать знак «минус», во всех остальных случаях — знак «плюс». В данной главе все это несущественно.