194 Глава 3. Теория рассеяния
Ψ± |
= Φ |
α |
+ (E |
α |
− H |
0 |
± iε) |
−1 V |
Ψ± . |
(3.5.20) |
sα |
s |
sα |
Теперь можно переписать (3.1.16) в виде
Tβα+ = (Φβ , VΨα+ ) = dΨs−β − (Eβ − H0 − iε)−1 VsΨs−β ,(Vs + Vw )Ψα+ i
= (Ψs−β , VwΨα+ ) + dΨs−β , Vs − Vs (Eβ − H0 + iε)−1(Vs + Vw )Ψα+ i ,
òàê ÷òî |
+ |
= (Ψ− |
Ψ+ ) + (Ψ− |
, V Φ |
|||||
T |
, V |
α |
) . |
(3.5.21) |
|||||
βα |
sβ |
w |
α |
sβ |
s |
||||
Второе слагаемое в правой части как раз совпадает с оператором Tβα+, который должен был бы получиться при наличии только силь-
ных взаимодействий:
T+ |
≡ (Φ |
, V |
Ψ+ ) = (Ψ− |
, V Φ |
α |
). |
(3. 5. 22) |
|
sβα |
β |
s |
sα |
sβ |
s |
|||
(Для доказательства следует при выводе (3.5.21) просто опустить везде Vw.) Формула (3.5.21) наиболее полезна в ситуации, когда это второе слагаемое обращается в нуль, т. е. когда процесс α → β
не может быть обусловлен только сильными взаимодействиями. (Например, в β-распаде ядер именно слабые ядерные силы пре-
вращают нейтроны в протоны, хотя и нельзя игнорировать нали- чие сильных ядерных сил, действующих как в начальном, так и в конечном состояниях.) Для подобных процессов матричный элемент (3.5.22) обращается в нуль, и уравнение (3.5.21) принимает вид
T+ |
= (Ψ− |
, V |
Ψ+ ) . |
(3. 5. 23) |
βα |
sβ |
w |
α |
До сих пор все делалось точно. Однако подобный способ переписывания Т−матрицы становится весьма полезным, когда опера-
òîð Vw настолько мал, что можно пренебречь влиянием этого взаимодействия на состояние Ψα+ в (3.5.23) и заменить Ψα+ на состояние Ψsα+, учитывающее только сильное взаимодействие Vs. Â ýòîì ïðè-
ближении уравнение (3.5.23) принимает вид
T+ |
g(Ψ− |
, V |
Ψ+ |
) . |
(3. 5. 24) |
βα |
sβ |
w |
sα |
3.6. Следствия унитарности |
195 |
Эта формула верна в первом порядке по Vw, но во всех порядках по Vs. Такое приближение очень часто используется в физике; например, элемент S-матрицы для β- èëè γ-распада ядер вычисля-
ется с помощью формулы (3.5.24), где Vs — сильное ядерное взаимодействие, Vw — слабое ядерное или электромагнитное взаимодействие, соответственно, а Ψsβ− è Ψsα+ — конечное и начальное
состояния ядер.
3.6. Следствия унитарности
Условие унитарности S-матрицы позволяет получить интересное и полезное соотношение, связывающее амплитуду Mαα рассеяния вперед для произвольного многочастичного состояния α ñ ïîë-
ной вероятностью всех реакций в этом состоянии. Напомним, что в общем случае, когда состояния β è α могут как совпадать, так и не
совпадать, S-матрица может быть записана в виде (3.3.2):
Sβα = δ(β − α) − 2πiδ4 (pβ − pα )Mβα .
Тогда условие унитарности принимает вид
δ(γ − α) = z dβSβγ* Sβα = δ(γ − α) − 2πiδ4 (pγ − pα )Mγα
+ 2πiδ4 (pγ − pα )Mαγ* + 4π2 z dβδ4 (pβ − pγ )δ4 (pβ − pα )Mβγ* Mβα .
Сокращая δ(γ − α) и множитель 2πδ4(pγ − pα), находим, что при pγ = pα
0 = −iMγα + iMαγ* + 2πz dβδ4 (pβ − pα )Mβγ* Mβα . |
(3.6.1) |
Это соотношение особенно полезно в частном случае α = γ, когда
оно принимает вид
Im Mαα = −πz dβδ4 |
(pβ − pα ) |
Mβα |
2 |
(3.6.2) |
||
. |
Используя (3.4.11), это выражение можно представить в виде формулы для вероятности всех реакций, вызываемых данным начальным состоянием α в объеме V:
3.6. Следствия унитарности |
197 |
|||
В частности, для упругого двухчастичного рассеяния |
||||
f(a ® b) º - |
4p2E E |
|||
1 2 |
Mβα . |
(3.6.9) |
||
E |
||||
С помощью выражения (3.4.18) для относительной скорости uα ìîæ-
но переписать условие унитарности (3.6.4) в виде
k |
||
Im f(a ® a) = |
4p sα . |
(3.6.10) |
Такая форма записи условия унитарности (3.6.4) носит название
оптической теоремы 22.
Можно получить любопытное следствие оптической теоремы, говорящее многое о картине рассеяния при высоких энергиях. Следует ожидать, что амплитуда рассеяния f есть гладкая функция угла, так что должен существовать некоторый телесный угол DW,
в пределах которого величина |f|2 почти равна (например, с точностью до множителя 2) своему значению при рассеянии вперед. От-
сюда полное сечение ограничено величиной |
||||||||||||||||
sα ³ z |
f |
2dW ³ |
1 |
f(a ® a) |
2 DW ³ |
1 |
Im f(a ® a) |
2 DW. |
||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||
С помощью (3.6.10) находим верхний предел на DW: |
||||||||||||||||
DW £ 32p2 |
k2sα . |
(3.6.11) |
||||||||||||||
Как мы увидим в следующем разделе, обычно полные сечения являются при больших энергиях постоянными или медленно растут с энергией. Поэтому из (3.6.11) вытекает, что телесный угол вокруг направления вперед, в пределах которого дифференциальное сече- ние примерно постоянно, сужается по меньшей мере как 1/k2 ïðè k ® ¥. Этот все более узкий пик в направлении вперед при больших
энергиях называется дифракционным пиком.
Возвращаясь к общему случаю реакций с участием произвольного числа частиц, можно использовать (3.6.2) совместно с CPT èí-
вариантностью, чтобы установить связь полных вероятностей взаимодействия частиц и античастиц. Так как оператор CPT