3.5. Теория возмущений |
189 |
Метод расчета, основанный на формуле (3.5.3) и преобладавший при вычислениях S-матрицы в 1930-х годах, называется сей- час старой теорией возмущений. Очевидным недостатком этого метода является то, что энергетические знаменатели в (3.5.3) маскируют лоренц-инвариантность S-матрицы. Все же метод иногда применяется в тех случаях, когда необходимо выяснить, каким образом различные промежуточные состояния порождают сингулярности S-матрицы. В большей части этой книги мы будем опираться на видоизмененную версию формулы (3.5.3), известную как
зависящая от времени теория возмущений и обладающую тем преимуществом, что лоренц-инвариантность становится более очевидной, хотя несколько затемняется вклад отдельных промежуточных состояний.
Простейший способ вывода хронологически упорядоченного разложения по теории возмущений заключается в использовании формулы (3.2.5), согласно которой оператор S равен
S = U(∞,−∞),
U(τ, τ0 ) ≡ exp(iH0τ) exp(−iH(τ − τ0 )) exp(−iH0τ0 ).
Дифференцируя это выражение по τ, получаем дифференциальное
уравнение |
||||
d |
||||
i |
U(τ, τ0 ) |
= V(τ)U(τ, τ0 ), |
(3.5.4) |
|
dτ |
||||
V(t) ≡ exp(iH0t)V exp(−iH0t). |
(3.5.5) |
|||
(Говорят, что операторы с такой зависимостью от времени определены в картине взаимодействия, чтобы отличить их временную зависимость от зависимости OH(t) = exp(iHt)OHexp(-iHt), предписываемой гейзенберговской картиной в квантовой механике.) Как уравнение (3.5.4), так и начальное условие U(τ0, τ0) = 1 очевидно удов-
летворяются решением интегрального уравнения
τ |
||
U(τ, τ0 ) = 1 − izτ0 |
dtV(t)U(t, τ0 ). |
(3.5.6) |
Итерируя это интегральное уравнение, получаем разложение U(τ,τ0) по степеням V:
3.5. Теория возмущений |
191 |
тот же интеграл по всем t1,..., tn. Поэтому можно переписать выражение (3.5.8) в виде
∞ |
|||
S = 1 + å |
(−i)n |
z−∞∞ dt1dt2 . . . dtnTlV(t1). . . V(tn )q. |
(3. 5. 10) |
n ! |
|||
n=1 |
|||
Иногда это выражение называют рядом Дайсона 20. Если все V(t) в разные моменты времени коммутируют, ряд можно просуммировать, и тогда
S = expFH −iz−∞∞ dtV(t)IK .
Ясно, что обычно так не бывает; в общем случае (3.5.10) даже не сходится и является в лучшем случае асимптотическим разложением по степеням входящей в V константы связи.
Однако иногда (3.5.10) записывают формально в виде
S = T expFH −iz−∞∞ dtV(t)IK ,
где символ Т указывает, что вычисление этого выражения следует производить, разложив его в ряд и хронологически упорядочив каждый член разложения.
Теперь можно сразу же указать один большой класс теорий, для которых S-матрица явно лоренц-инвариантна. Так как ее элементы являются матричными элементами оператора S между состояниями свободных частиц Φα, Φβ и т. д., все, что требуется, это чтобы S-опе- ратор коммутировал с генераторами U0(Λ,a): H0, P0, J0 è K0.
Чтобы удовлетворить этому требованию, предположим, что V(t) можно записать как интеграл по трехмерному пространству:
V(t) = z d3xH (x, t) , |
(3. 5. 11) |
|
ãäå H(x) − скаляр в том смысле, что |
||
U |
(Λ, a)H (x)U−1(Λ, a) = H (Λx + a). |
(3. 5. 12) |
0 |
0 |
|
(Приравнивая коэффициенты при a0 в бесконечно малых преобразованиях, можно убедиться, что зависимость H(t) от времени совместима с (3.5.5).)
192 Глава 3. Теория рассеяния
Теперь можно записать S как сумму четырехмерных интег-
ралов
∞ |
|||
S = 1 + å |
(-i)n |
z−∞∞ dx1 . . . dxnTlH (x1). . . H (xn )q. |
(3. 5. 13) |
n! |
|||
n=1 |
|||
Все выражение стало явно лоренц-инвариантным, если не считать процедуры хронологического упорядочивания произведения операторов.
Хронологическое упорядочивание двух мировых точек x1, x2 лоренц-инвариантно, если только разность x1 - x2 не является пространственноподобной, т. е. если (x1 - x2)2 > 0. Таким образом, хро-
нологическое упорядочивание в (3.5.13) не приводит к выделению специальной лоренцовской системы отсчета, если (хотя это и не единственное условие) все H(x) коммутируют на пространственноподобных или светоподобных расстояниях *:
[ |
H |
x |
H |
( |
x |
¢)] = 0 ïðè ( |
x |
- |
x |
¢) |
2 |
³ 0. |
(3.5.14) |
( ), |
Результаты раздела 3.3 можно использовать для того, чтобы полу- чить формальное, не основанное на теории возмущений доказательство, что взаимодействие (3.5.11), удовлетворяющее (3.5.12) и (3.5.14), действительно приводит к S-матрице с правильными свойствами относительно лоренцовских преобразований. Для бесконечно малого буста из (3.5.12) имеем
i[K0 , H (x, t)] = t × ÑH (x, t) + x × |
∂ |
H (x, t), |
(3.5.15) |
||
¶t |
|||||
так что, интегрируя по x и полагая t = 0, получаем: |
|||||
K0 , z d3xH (x,0) |
|||||
[K0 , V] = |
= [H0 , W], |
(3.5.16) |
|||
ãäå |
|||||
W ≡ z d3x x H (x,0). |
(3.5.17) |
||||
* Мы записываем условие на x и x¢ â âèäå (x1 - x2)2 ³ 0, à íå (x1 - x2)2 > 0,
поскольку, как будет показано в гл. 6, лоренц-инвариантность может быть нарушена неприятными особенностями при x = x¢.
3.6. Следствия унитарности |
193 |
Если (как это обычно имеет место) матричные элементы H(x, 0) между собственными состояниями Н0 являются гладкими функциями собственных значений энергии, то это же верно как для V, что необходимо для справедливости теории рассеяния, так и для W, что необходимо для доказательства лоренц-инвариантности. Другие условия лоренц-инвариантности — перестановочные соотношения (3.3.21) — также выполнены, если и только если
0 = [W, V] = z d3xz d3 y x[H (x,0), H (y,0)] . |
(3. 5. 18) |
Это условие, конечно, следует и из условия «причинности» (3.5.14), но само по себе дает менее ограничительное достаточное условие лоренц-инвариантности S-матрицы.
Теории такого класса — не единственные лоренц-инвариант- ные теории. Однако и самые общие теории не слишком от них отличаются. В частности, всегда должно быть выполнено перестановочное соотношение, похожее на (3.5.14). Оно не имеет аналога в случае нерелятивистских систем, для которых хронологическое упорядочивание всегда инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея. Именно это условие столь жестко ограничивает возможность соединения лоренц-инвариантности с принципами квантовой механики.
* * *
Методы, описанные в данном разделе, полезны лишь в том случае, когда оператор взаимодействия достаточно мал. Однако существует модифицированная версия такого приближения, известная под названием борновского приближения искаженных волн и применимая в том случае, когда оператор взаимодействия содержит только два слагаемых
V = Vs + Vw , |
(3.5.19) |
причем Vw ìàëî, à Vs велико. Можно определить Ψsα± êàê òå èí- è
аут-состояния, которые были бы в случае, если бы взаимодействие описывалось только слагаемым Vs: