Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

отсчета, в которой одна из частиц (например, первая) покоится, uα

есть просто скорость другой частицы. Это однозначно определяет вид uα в произвольных инерциальных системах отсчета *:

ãäå p1, p2 è m1, m2 − 4-импульсы и массы двух частиц в начальном состоянии α.

Попутно заметим, что в «системе центра масс», в которой полный 3-импульс равен нулю,

p1 = (p, E1), p2 = (−p, E2)

как и следовало ожидать для относительной скорости. Однако в такой системе отсчета uα не является физической скоростью; в частности,

из (3.4.18) видно, что для ультрарелятивистских частиц эта величина может достигать значения 2.

Обратимся к интерпретации множителя δ4(pβ − pα)dβ, называ-

емого фазовым объемом. Он появляется в общей формуле (3.4.11) для вероятностей переходов, а также в формулах (3.4.13) и (3.4.15) для вероятностей распадов и сечений. Ограничимся случаем лоренцовской системы центра масс, в которой полный 3-импульс начального состояния равен нулю:

(Äëÿ Nα = 1 это отвечает случаю распада покоящейся частицы.) Если импульсы частиц в конечном состоянии равны p′1, p′2, ..., òî

*Из (3.4.17) очевидно, что uαE1E2 - скаляр. Кроме того, когда частица 1 покоится, то p1 = 0, E1 = m1, è p1×p2 = - m1E2, òàê ÷òî èç (3.4.17)

следует:

uα = E22 − m22 / E2 =| p2 |/E2 ,

что есть просто скорость частицы 2.

ãäå E ≡ Eα − полная энергия начального состояния. Каждый из интегралов по p′k, скажем, по p′1, может быть тривиально взят, если просто опустить дельта−функцию от импульсов:

понимая при этом, что, где бы не появился импульс p′1 (например,

â E1′), его следует заменить на

Аналогично можно использовать оставшуюся дельта−функцию

для вычисления еще одного любого из оставшихся интегралов.

В простейшем случае, когда в конечном состоянии находятся две частицы, формула (3.4.21) принимает вид

Подробнее, расписывая d3p'2 в сферических координатах в импульсном пространстве и выражая энергии частиц через модули их импульсов и массы, получим:

(3.4.23) ãäå p′2 = − p′1 è dΩ ≡ sinθ dθ dϕ − дифференциал телесного угла для p′1. Выражение (3.4.23) можно упростить, пользуясь стандартной

формулой

δ(f(x)) = δ(x − x0 )/| f′ (x0 )| ,

ãäå f(x) − произвольная действительная функция с одним простым

нулем в точке x = x0. В нашем случае аргумент дельта-функции Е′1+ Å′2 − Е в (3.4.23) имеет единственный нуль при |p′1| = k′, ãäå

186 Глава 3. Теория рассеяния

Таким образом, можно опустить дельта-функцию и дифференциал d|p′1| в (3.4.23), разделив на (3.4.27):

èпонимая при этом, что k′, E′1 è E′2 везде далее задаются формулами (3.4.24)−(3.4.26). В частности, дифференциальная вероятность

(3.4.13) распада одночастичного состояния с нулевым импульсом

èэнергией Е на две частицы равна

а дифференциальное сечение двухчастичного рассеяния 12 → 1′2′

дается формулой (3.4.15) в виде

ãäå k ≡ |p1| = |p2|.

Рассмотренный случай Nβ = 2 особенно прост, но есть и один красивый результат для Nβ = 3, который стоит упомянуть. Формула (3.4.21) при Nβ = 3 принимает вид

ãäå dΩ3 − дифференциал телесного угла для p′3, à θ23 è ϕ23 − полярный и азимутальный углы p′2 относительно направления p′3. Ориентация плоскости, в которой лежат векторы p′2 è p′3, определяется углом ϕ23 и направлением p′3, а остающийся угол θ23 фиксируется законом

сохранения энергии:

так что можно взять интеграл по cos θ23, просто опустив дельта−

функцию и разделив на эту производную:

Заменив импульсы на энергии, получим окончательно

Вспомним теперь, что величина (3.4.16). полученная суммированием |Mβα|2 по спинам и умножением на произведение энергий,

является скалярной функцией 4-импульсов. Если приближенно заменить этот скаляр константой, то из (3.4.31) следует, что для фиксированного начального состояния распределение событий на плоскости Е′2, Å′3 однородно. Всякое отклонение реально наблюдаемого

распределения событий от однородного — важное указание на динамику процесса распада, включая возможные центробежные барьеры или резонансные промежуточные состояния. Картинка этой

плоскости с нанесенными на ней точками экспериментальных событий носит название диаграммы Далица 19. Именно Далиц впервые использовал ее в 1953 году для анализа нелептонного распада

K+ → π+ + π+ + π–..

3.5. Теория возмущений

Исторически наиболее полезной техникой для вычисления элементов S−матрицы оказалась теория возмущений, т. е. разложение

по степеням взаимодействия V в гамильтониане Н = Н0 + V. Уравнениями (3.2.7) и (3.1.18) S−матрица задается в виде:

Sβα = δ(β − α) − 2iπδ(Eβ − Eα )Tβα+ ,

Tβα+ = (Φβ , VΨα+ ),

ãäå Ψα+ удовлетворяет уравнению Липпмана−Швингера (3.1.17):

Подействовав на это уравнение оператором V и взяв скалярное произведение с Φβ, получим интегральное уравнение для T+:

Ряд теории возмущений для Tβα+ получается из (3.5.1) с помощью

итераций: