214 Глава 3. Теория рассеяния
T |
+ f (E − E |
R |
+ iΓ/2)−1 |
+ const. |
(3.8.1) |
βα |
α |
Далее будет удобно использовать в качестве базиса обсуждавшиеся в предыдущем разделе ортонормированные дискретные многочастич- ные состояния ΦpEN; здесь p и Е − полные импульс и энергия, N −
индекс, принимающий только дискретные значения (хотя их может быть бесконечно много). В этом базисе S−матрица может быть
записана в следующем виде:
Sp′E′N′,pEN = δ3 (p′ − p)δ(E′ − E)SN′N (p, E), |
(3.8.2) |
Мы считаем, что вблизи резонанса амплитуда в системе центра масс S(0, E) ≡ S(E) имеет вид
SN′N (E) ≡ SN′N (0, E) = S0N′N + |
RN′N |
, |
(3.8.3) |
E − ER + iΓ / 2 |
ãäå S0 и R примерно постоянны, по крайней мере, в относительно узкой области энергий |E − ER| ≤ Γ.
В таком базисе условие унитарности S−матрицы принимает
вид обычного матричного уравнения
S (E)† S (E) = 1. |
(3.8.4) |
Подстановка формулы (3.8.3) показывает, что нерезонансная фоновая S−матрица унитарна:
S |
†S |
0 |
= 1, |
(3.8.5) |
0 |
а матрица вычетов R удовлетворяет двум условиям:
S |
†R − R†S |
0 |
= 0, |
(3.8.6) |
|||||
0 |
|||||||||
− |
i |
ΓS0†R |
+ |
i |
ΓR†S0 + R†R = 0. |
(3.8.7) |
|||
2 |
2 |
||||||||
Эти условия можно записать в более ясной форме, полагая
R ≡ −iΓÀS0 . |
(3.8.8) |
3.8. Резонансы |
215 |
В терминах А вышеприведенные условия унитарности имеют простой вид
À † = À, À 2 = À . |
(3.8.9) |
Любая такая эрмитова идемпотентная матрица называется проекционной матрицей. Эти матрицы всегда можно выразить в виде суммы диад из ортонормированных векторов u(r):
ÀN′N = å uN( r′) uN( r)* , |
å uN( r)* uN(s) = δrs . |
(3.8.10) |
r |
N |
Тогда дискретная часть S−матрицы имеет вид
L |
Γ |
O |
||||||||||||
S |
(E) = |
Mδ |
− i |
u(r) u(r)* PS |
. |
|||||||||
E − ER |
+ i Γ 2 å |
|||||||||||||
N′N |
å M |
N′N′′ |
N′ |
N′′ P |
0N′′N |
(3.8.11) |
||||||||
N′′ |
N |
r |
Q |
|||||||||||
Можно считать, что каждое слагаемое в сумме по r возникло от отдельного резонансного состояния, причем все эти состояния имеют одни и те же значения ER è Γ.
Какое отношение эти выражения имеют к вероятностям и сече- ниям?
Для простоты не будем сначала учитывать нерезонансное фоновое рассеяние, положив S0N′N равным δN′N. К общему случаю мы
вернемся чуть позже. Тогда для описанных в предыдущем разделе двухчастичных дискретных состояний в системе центра масс формула (3.8.11) принимает вид
Sj′σ′l′s′n′,jσlsn (E) = δj′jδσ′σδl′lδs′sδn′n
− i |
Γ |
å u(jr′σ′) l′s′n′ u(jσr)*lsn . |
(3.8.12) |
||
E − E |
R |
+ i Γ 2 |
|||
r |
|||||
Во всех случаях метка r включает индекс σR, задающий z−
компоненту полного углового момента резонансного состояния; для состояния с полным моментом jR величина σR принимает 2jR + 1
значение. Если нет других вырождений, индекс r сводится к значению σR, è
216 |
Глава 3. |
Теория рассеяния |
|||
u(jσσlsnR ) = δj |
R |
,jδσ |
R |
,σ ulsn , |
(3.8.13) |
ãäå ulsn — набор комплексных амплитуд (по теореме Вигнера−Эккарта не зависящих от σ). Представление (3.8.12) задает амплитуду Sj,
определенную формулой (3.7.7):
Sl′s′n′,lsn (E) = δl′lδs′sδn′n − iδj,jR |
Γ |
å ul′s′n′ ulsn* . (3.8.14) |
||
E − E |
R |
+ i Γ 2 |
||
r |
||||
Формула (3.8.10) теперь принимает вид
å |
ulsn |
2 +. . . = 1, |
(3.8.15) |
||
lsn |
|||||
где точки означают положительный вклад любых состояний, содержащих три и более частиц. Как мы увидим, величины |ulsn|2 имеют смысл относительных вероятностей распада резонансного состояния в различные возможные двухчастичные состояния.
Теперь формула (3.7.12) дает полное сечение всех реакций в канале n:
σtotal (n; E) = |
π(2jR + 1) |
ΓΓn |
, |
(3.8.16) |
||||||||||
k2 (2s |
+ 1)(2s |
+ 1) (E − E |
R |
)2 |
+ Γ2 |
4 |
||||||||
1 |
2 |
|||||||||||||
ãäå |
≡ Γå |
|||||||||||||
Γn |
ulsn |
2 . |
(3.8.17) |
|||||||||||
ls |
||||||||||||||
Это одна из форм записи знаменитой формулы Брейта−Вигнера для
одного уровня 27.
Те же результаты можно использовать и для вычисления сечения резонансного рассеяния из начального двухчастичного канала n в конечной двухчастичный канал n′. Подстановка формулы (3.8.14)
â (3.7.10) äàåò:
σ(n → n′; E) = |
π(2jR + 1) |
ΓnΓn′ |
. |
(3.8.18) |
|||||||||
k2 (2s |
+ |
1)(2s |
+ 1) (E − E |
R |
)2 |
+ Γ2 |
4 |
||||||
1 |
2 |
||||||||||||
Отсюда видно, что вероятности распада резонансного состояния в любой из конечных двухчастичных каналов n′ пропорциональны
3.8. Резонансы |
217 |
Γn′. Согласно (3.8.15) сумма всех Γn (включая вклады от конечных
состояний, содержащих три и более частицы) просто равна полной вероятности распада Γ, поэтому можно заключить, что Γn åñòü âåðî-
ятность распада резонансного состояния по каналу n.
Из формул (3.8.16) и (3.8.18) следует, что у соответствующих величин имеется характерный резонансный пик при значении энергии ER с шириной (т. е. полной шириной пика на половине его высоты), равной вероятности распада Γ. (Индивидуальные Γn часто называют парциальными ширинами.) Так как Γn ≤ Γ, полное сечение
в пике резонанса, грубо говоря, ограничено квадратом длины волны (2π/k)2. Это правило, что в области отдельного резонансного пика
сечение ограничено квадратом длины волны, универсально и применимо даже в классической физике (где роль условия унитарности выполняет закон сохранения энергии), например, при резонансном взаимодействии звуковых волн с пузырьками воды в море, или гравитационных волн с гравитационной антенной. (В последнем случае относительный вклад колебаний в любой лабораторной массе, приводящих к потере энергии за счет гравитационного излучения, очень мал, поэтому даже в резонансе сечение неизмеримо меньше квадрата длины волны 28.)
Наконец, часто бывает, что резонанс регистрируется, но измерения энергии недостаточно точны, чтобы разрешить его ширину. В этом случае экспериментально измеряется интеграл от полного сечения по области в окрестности резонансного пика. Для полного
сечения это равно |
||||||
z σtotal (n; E)dE = |
2π2 (2j |
R |
+ 1)Γ |
|||
n |
||||||
. |
(3.8.19) |
|||||
k2 |
(2s + 1)(2s + 1) |
|||||
R |
1 |
2 |
||||
Таким образом, подобные эксперименты могут определить только парциальную ширину распада резонансного состояния в состояние начальных частиц, но не полную ширину или относительные вероятности распадов.
Изложенный формализм можно применить и тогда, когда резонансные состояния с данным значением z-компоненты спина образуют мультиплет, связанный с какой-то группой симметрии. Например, если имеет место изоспиновая симметрия, то для резонанса с полным изоспином TR индекс r, нумерующий резонансные состояния, включает не только z−компоненту σR углового момен-
та, но и третью проекцию изоспина tR, принимающую значения
218 Глава 3. Теория рассеяния
-TR, -TR + 1, ..., TR. В этом случае предыдущие результаты для
полного и парциальных сечений не изменяются, так как каждый двухчастичный канал n имеет определенные значения t1, t2 z-êîì-
понент изоспина двух частиц и поэтому резонансное состояние, возникающее в этом канале, может иметь единственное значение tR = t1 + t2. Парциальные ширины Gn зависят от значений t1 è t2 только через множители CT1 ,T2
Наличие резонанса проявляется в характерном поведении фазовых сдвигов вблизи резонанса. Если вернуться к общей формуле (3.8.11) (продолжая считать S0 = 1), то из (3.8.10) видно, что для каждого отдельного резонансного состояния r существует собственный вектор матрицы SN′N(E) с собственным значением
exp(2id(r) (E)) = 1 - i - Γ+ G ,
E ER i 2
или иначе
Γ 2
tg d(r) (E) = - E - ER . (3.8.20)
Видно, что в интервале энергий порядка G вокруг резонансного значе- ния «собственная фаза» d(r)(E) скачком меняется от значения np (n —
положительное или отрицательное целое число) ниже резонанса до значения (n + 1)p выше резонанса. Однако чтобы с помощью этого
результата что-то узнать о вероятностях реакций, нужно знать собственные векторы uN(r) , которые, в общем случае, имеют компо-
ненты с произвольным числом частиц с разными импуль-сами, спинами и другими характеристиками.
Полученные результаты оказываются значительно более полезными в тех частных случаях, когда частицам в некотором канале N запрещен (обычно законами сохранения) переход в любой другой канал. Отсюда нетрудно включить в общую формулу (3.8.11) эффекты нерезонансного фона, связанные с матрицей рассеяния S0. Чтобы SN′N обращались в нуль при некотором N и всех N¢ ¹ N, необходимо, чтобы это же было верно для S0N′N , а также для uN(r′) при всех r, для которых uN(r) ¹ 0 . Из условия унитарности (3.8.5) следует, что
для такого N
S0N′N = exp(2iδ0N )δN′N